Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Комунальний вищий навчальний заклад
«Бериславський педагогічний коледж імені В. Ф. Беньковського»
Херсонської обласної ради
|
Предмет: Основи початкового курсу математики Модуль № 2 Семестр: VІ Кількість годин: 2 |
ЛЕКЦІЯ № 14 (89-90)
Тема: Числові функції
|
Розглянуто і затверджено на засіданні предметної (циклової) комісії викладачів фізико-математичних дисциплін та нових інформаційних технологій Протокол № ___ від _________ 2013р. Голова предметної (циклової) комісії: _________________ Г. Ю. Шкворченко |
м. Берислав
Тема лекції: Числові фунуції
Студенти повинні знати:
Студенти повинні вміти:
Тип лекції: тематична
Ключові поняття: функція, область визначення функції, область значення функції, пряма пропорційність, обернена пропорційність, лінійна функція, графік функції.
План
Основна література
С. 125-132.
Інтернет-ресурси
Структура лекції
1. Поняття функції. Способи задання функцій
Означення. Функція – це залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню змінної х відповідає єдине значення у.
y = f (x)
y = x + 25
Змінну х називають незалежною змінною (аргументом), а змінну у – залежною змінною (функцією). Говорять також, що у є функцією від х.
f, g, h... – функції
Означення. Область визначення функції (D (y)) – множина значень, яких набуває незалежна змінна х.
, D (y) = R, крім 3.
Означення. Область значень функції (E (y)) – множина значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх значеннях х.
Означення. Числова функція – це функція, в якої область визначення і множина значень є числові множини.
Способи задання функції:
Аналітичний спосіб означає задання функції формулою, що показує кількість і послідовність операцій над аргументом х, які необхідні для того, щоб дістати значення цієї функції. Якщо при цьому не зазначається область визначення функції, то під останньою розуміють множину допустимих значень аргументу, тобто множину тих значень аргументу, для яких за формулою можна знайти відповідні значення функції.
Табличний спосіб задання функції полягає в написанні таблиці відповідних значень аргументу та функції. Цей спосіб задання функції часто застосовують в експериментальних дослідженнях, а також у математиці: таблиці квадратів і кубів чисел, таблиці значень тригонометричних функцій та ін.
Н.:
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
у |
1 |
4 |
9 |
16 |
Графік функції – це зображення на координатній площині множини упорядкованих пар. Прямі Ох і Оу взаємно перпендикулярні, О – точка перетину цих прямих і початок координат. Ох – вісь абсцис, Оу – вісь ординат.
Означення. Графіком функції , називають множину точок координатної площини, де , а
Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що вихідною інформацією про цю функцію є її графік. При цьому для довільного значення х з області визначення Х можна знайти відповідне значення у функції. Прикладом графічного способу задання функції є електрокардіограми, за якими медики аналізують роботу серця.
У математиці графічне зображення функцій використовують і тоді, коли функція задана аналітичним чи табличним способом. Якщо треба з’ясувати загальний характер поведінки функції та її особливості на деяких підмножинах області визначення, графік, завдяки його наочності є дуже корисним.
Найчастіше графіком функції є деяка лінія координатної площини. Проте не кожна лінія є графіком функції. Справа в тому, що при заданому значенні аргументу х існує лише одне відповідне йому значення функції у. Тому на кожній прямій, паралельній осі ординат, може лежати не більше однієї точки графіка функції.
Наприклад, лінія, зображена нижче не є графіком функції.
х
у
0
Отже, якщо кожному елементу х числової множини Х за правилом f відповідає єдине число у, то говорять, що на множині Х задано числову функцію f (х), і пишуть: . При цьому х називають аргументом, а у – значенням функції. Множину Х називають областю визначення функції, а множину значень, які функція набуває, - її множиною значень; останню позначають через f (Х).
Для області визначення і множини значень функції f застосовують також відповідно позначення і .
Функцію f (х) можна вважати заданою, якщо задано її область визначення Х і правило f , за яким для довільного х з області визначення Х можна знайти (обчислити) відповідне йому значення у, у = f (х).
Питання для узагальнення
2. Лінійна функція, її графік
Означення. Лінійною називається функція, яку можна задати формулою y = kx + b, де х – аргумент, k і b – дані числа.
Графіком цієї функції є пряма.
Через дві точки можна провести одну й тільки одну пряму, тому для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок.
Властивості:
у
k > 0
х
k < 0
Наприклад. Задано функцію . Яка це функція? Знайти її область визначення. Чи є вона зростаючою на якій-небудь множині?
Розв’язання. Оскільки , то задану функцію можна записати у вигляді: ; .
Отже, задана функція є лінійною. Її областю визначення як лінійної функції є множина R. Оскільки ця функція спадна на R, то вона не може бути зростаючою на будь-якій множині Р.
Питання для узагальнення
3. Пряма пропорційність, її властивості і графік
Означення. Лінійну функцію, що задається формулою y = kx, де k0 називають прямою пропорційністю. Число k у формулі називають коефіцієнтом пропорційності.
Графіком є пряма, що проходить через початок координат. Якщо k > 0, графік лежить у І і ІІІ координатних чвертях, якщо k < 0, то графік лежить у ІІ і ІV чвертях.
Прямопропорційні залежності: якщо значення змінної х зростають, то зростають і значення змінної у.
Приклад S = V · t, t – const, V – збільшується і S – збільшується.
Пряма пропорційність – це окремий випадок лінійної функції при , а . Тому справедливі такі твердження:
0
у
х
k > 0
На рис. зображено графіки прямої пр
0
у
х
k < 0
опорційності для .
4. Для прямої пропорційності відношення двох довільних значень аргументу, що існує, дорівнює відношенню відповідних значень функції: .
Для прямої пропорційності з додатним коефіцієнтом із збільшенням (зменшенням) значення аргументу в кілька разів відбувається збільшення (зменшення) значення функції у стільки ж разів.
Наприклад. Точка (2; 4) належить графіку прямої пропорційності. Записати формулу цієї залежності.
Розв’язання. Згідно з означенням прямої пропорційності, шукана формула має вигляд , де k – деяке число, відмінне від нуля. Оскільки точка (2; 4) належить графіку розглядуваної функції, то , звідки .
Отже, шуканою формулою є .
Питання для узагальнення
4. Обернена пропорційність, її властивості і графік
Означення. Оберненою пропорційністю називається функція виду , де k – деяке число, що не дорівнює нулю.
Число k у формулі називають коефіцієнтом оберненої пропорційності.
Областю визначення оберненої пропорційності є множина R \ {0}.
Графіком оберненої пропорційності є гіпербола. На рис. зображено графіки оберненої пропорційності для .
0
у
х
k < 0
0
у
х
k > 0
Для оберненої пропорційності відношення двох довільних значень аргументу дорівнює оберненому відношенню відповідних значень функції: .
Для оберненої пропорційності з додатним коефіцієнтом збільшенню (зменшенню) аргументу в кілька разів відповідає зменшення (збільшення) значення функції у стільки ж разів.
Наприклад. Знайти формулу оберненої пропорційності, якщо при значенні аргументу х = 2 функція набуває значення у = – 2.
Розв’язання. За означенням оберненої пропорційності шуканою формулою є , де k – деяке число, відмінне від нуля. Оскільки за умовою х = 2 і у = – 2 задовольняють цю формулу, то маємо . Звідси .
Отже, шуканою формулою є .
Отже, функція задана формулою , де х – незалежна змінна, k0 – дане число називається обернена пропорційність.
Графіком є гіпербола, яка складається з двох віток. Якщо k > 0, то вітки гіперболи лежать у І і ІІІ чвертях, якщо k < 0, то у ІІ і ІV чвертях.
Властивості:
Приклад: , S – const, t – зменшується, V – збільшується.
Питання для узагальнення
5. Функціональна пропедевтика в початковій школі
Поняття функції є одним із фундаментальних математичних понять. Велика увага його формуванню надається в курсі математики середньої школи.
В початковій школі формуються початкові уявлення про функціональну залежність, хоч можливості досить обмежені, але вчитель повинен їх використовувати.
І етап
Одні з найпростіших видів функціональної залежності є пряма і обернена пропорційності.
Якщо є 3 величини а, b, с і відношення двох дорівнює третій, тобто , причому а (це третя величина) стала, то перші дві величини змінюються прямо пропорційно.
Чим більша кількість, тим більше вартість при однаковій ціні.
Ціна =
Якщо ж одна з трьох величин дорівнює добутку двох інших, тобто , і її значення однакове (стале), то дві інші пов’язані обернено пропорційною залежністю.
Вартість = ціна · кількість
↓ ↓ ↓
стала = k у х
(однакова)
При сталій (однаковій) вартості чим більша кількість, тим менша ціна і навпаки.
У початковій школі учні отримують перші уявлення про ці залежності. І перш за все тому, що вони мають загальноосвітнє значення, зустрічаються в повсякденному житті дітей.
Приклади:
|
№ |
а |
b |
с |
|
1) |
Ціна товару |
Кількість товару |
Вартість товару |
|
2) |
Норма виробітку |
Час роботи |
Загальний виробіток |
|
3) |
Маса 1 предмета |
Кількість предметів |
Загальна маса |
|
4) |
Врожайність |
Площа |
Врожай |
|
5) |
Швидкість |
Час |
Відстань |
|
6) |
Витрати матеріалу на 1 виріб |
Кількість виробів |
Загальні витрати |
|
7) |
Продуктивність праці |
Час |
Загальний виробіток |
|
8) |
Місткість 1 посудини |
Кількість посудин |
Загальна місткість |
|
9) |
Заробіток за 1 годину |
Час |
Загальний заробіток |
З величинами діти знайомляться через задачі.
Спочатку вчаться розв’язувати прості задачі з пропорційними величинами (після ознайомлення з діями ділення і множення).
Перші уявлення – при ознайомленні з конкретним смислом дії множення.
Наприклад:
Маса однієї посилки 3 кг. Яка маса 6 таких посилок?
Маса порося 18 кг. Яка маса 3-х поросят?
Банка вміщує 3 л соку. Скільки соку треба, щоб заповнити 4 таких банки?
На дитяче пальто витрачають 2 м драпу. Скільки таких пальт можна пошити з 6м драпу?
Перші задачі спочатку можна коротко записати «традиційно».
1 пос. – 3 кг
6 пос. – ?
А далі показати інший варіант в таблиці.
|
Маса 1 посилки |
Кількість посилок |
Загальна маса посилок |
|
3 кг |
6 |
? |
3
3
3
3
3
3
Якщо важко вибрати дію, ілюструємо кресленням:
Далі звертається увага на зв'язок між величинами; як знаходити масу 1 предмета, кількість, загальну масу і т.д. Тобто встановлюється залежність між величинами і формулюються висновки.
Корисні вправи:
|
Ціна |
Кількість |
Вартість |
|
2 |
6 |
? |
|
3 |
? |
18 |
|
? |
4 |
20 |
|
Ціна |
Кількість |
Вартість |
|
5 |
10 |
? |
|
5 |
15 |
? |
|
5 |
20 |
? |
|
5 |
30 |
? |
Аналогічно:
однакова кількість (4; 4; 4; 4)
однакова вартість (40; 40; 40; 40).
Кожний рядок – окрема задача.
Встановлюємо, про які величини йдеться в задачі. Які величини відомі?
Яку треба знайти? Як?
Далі аналізуємо:
У цій роботі потрібна система.
ІІ етап
Задачі на знаходження четвертого пропорційного.
Наприклад. Маса 6 однакових посилок 18 кг. Яка маса чотирьох таких самих посилок?
Умову доцільно подати в таблиці (складати разом).
(про одну – 2 даних
про другу – 1 дане
третя – однакова)
|
Маса 1 посилки |
Кількість |
Загальна маса |
|
Однакова |
6 4 |
18 кг ? |
Задачі на четверте пропорційне називають задачами на потрійне правило.
Є три величини: відомо 2 значення – однієї; 1 значення другої величини, а друге – треба знайти; значення третьої величини – стале.
Потрійне правило прийшло в Європу з Індії через посередництво Хорезмі і Леонардо Фібоначчі, а з Європи до нас. Його довго вважали самим корисним в комерції і життєвій праці. Це «ключ купців» – так його називали. При вивченні арифметики (до ІХ ст.) його заучували догматично: «перемнож 2 останні, діли на першу».
На знаходження трьох величин за даним сюжетом можна скласти 12 задач на знаходження четвертого пропорційного.
|
Ціна а |
Кількість b |
Вартість с |
|
|
Пряме зведення до 1 |
Однакова |
- ? |
|
|
Однакова |
- ? |
||
|
Обернене зведення до 1 |
Однакова |
- ? |
|
|
Однакова |
- ? |
Аналогічно 4 задачі при однаковій кількості. Це 8 задач з прямою пропорційності.
Ще 4 задачі при однаковій вартості.
Три прийоми розв’язування задач на знаходження четвертого пропорційного:
1. Спосіб прямого зведення до 1
2. Спосіб оберненого зведення до 1
3. Спосіб відношення
Всі вони вивчаються в початковій школі.
Отже, поняття функції є одним із фундаментальних математичних понять. Велика увага його формуванню надається в курсі математики середньої школи.
В початковій школі формуються початкові уявлення про функціональну залежність, хоч можливості досить обмежені, але вчитель повинен їх використовувати.
Загальний висновок
Така залежність між змінними x та y, в якій кожному значенню змінної x із деякої множини D відповідає єдине значення змінної y, називається функціональною залежністю, або функцією. Змінну x називають аргументом даної функції, чи незалежною змінною. Змінну y називають функцією від x, чи залежною змінною.
Щоб задати функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш уживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули у=f(x), де f(x) – вираз, що містить змінну х. У такому випадку говорять, що функція задана формулою або що функція задана аналітично.
На практиці часто використовується табличний спосіб завдання функції. При цьому способі приводиться таблиця, що вказує значення функції для наявних у таблиці значень аргументу. Прикладами табличного завдання функції є таблиця квадратів, таблиця кубів, таблиця температур.
Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданою формулою, вважають множину усіх значень змінної, при яких ця формула має сенс.
Запитання для узагальнення студентам
Повідомлення домашнього завдання
§ 16, п. 99 – 103, впр. 5, 7 (С. 265), 1 (С. 271), 2 (С. 277).