Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Частотные методы анализа упругой системы станка
упругий система амплитуда станок
Расчетная схема
Частотные методы анализа УС (или ЭУС) станков представляют собой исследование амплитуды и фазы вынужденных колебаний УС в зависимости от соотношения между собственной циклической частотой и циклической частотой возмущающего воздействия.
При всем конструктивном многообразии станков в целом и различии в конструкции узлов станка все они обладают некоторыми общими свойствами, которые позволяют, приняв некоторые ограничения, прийти к нескольким простейшим схемам. Так, сложную многомассовую систему любого конкретного узла можно путем упрощений и «отбрасывания» менее значимых элементов привести к одномассовой или двухмассовой системе. Податливости отдельных звеньев заменяются приведенной податливостью, массы звеньев заменяются приведенным моментом инерции и т.д. При изучении колебательных процессов в станках задаются входной координатой - силовым циклическим воздействием на узел и получают выходную координату - чаще всего геометрическое перемещение (отжим, прогиб, деформацию).
Общие свойства вынужденных колебаний шпиндельного узла (рис. 1, а) можно рассмотреть на примере простейшей системы (рис. 1, б) с одной степенью свободы, с одной сосредоточенной массой т, упругой жесткостью j и коэффициентом вязкого сопротивления β. На систему действует циклическая внешняя возмущающая сила F0 *sint.
Рис. 1. Расчетные схемы эквивалентной упругой системы с одной степенью свободы
Блок-схема (рис. 1, в) разомкнутой эквивалентной системы представляет связь входной координаты (циклической возмущающей силы) и выходной координаты (перемещения).
Основное уравнение механики связывает силы внешнего воздействия с силами инерции. Согласно основному уравнению механики все внешние силы уравновешиваются силами реакций и силами инерции
или внеш = упр + неупр + инерц,
где Fупр = R = cy - силы упругого сопротивления, которые пропорциональны перемещению;
Fнеупр = - силы неупругого (вязкого) сопротивления, которые пропорциональны скорости движения;
Fвнеш = F(t) = F0 sint - циклическая сила внешнего воздействия;
Fинерц = ma = - силы инерции, пропорциональные ускорению.
Таким образом уравнение можно представить в виде
.
Разделив правую и левую части уравнения на массу т, и приняв новые обозначения, получим
,
где 2b = m - коэффициент неупругого сопротивления;
ω02 = c/m квадрат собственной циклической частоты;
F = F0/m - сила внешнего воздействия.
Если заданы начальные условия (t=t0, y=y0, ), общее решение уравнения имеет вид
,
где ycm = F0/c - статический прогиб.
Приняв новые обозначения решение можно представить в виде
y = ae-btsin(ω01t + j1) + Asin (t - j).
Первая часть решения представляет собственные затухающие колебания с собственной циклической частотой ω01 (ω01№ω0 при наличии вязкого сопротивления b№0 и ω01=ω0 при b=0 - отсутствии вязкого сопротивления), амплитудой ae-bt и углом начальной фазы j1. Скорость затухания зависит от множителя b в показателе степени e-bt, т.е. от коэффициента неупругого сопротивления.
Вторая часть решения уравнения - это вынужденные колебания упругой системы с частотой возмущающего воздействия и амплитудой А. Эта амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения /ω0 - собственной циклической частоты ω0 и частоты возмущающего воздействия, а также от отношения b/ω0 - коэффициента вязкого сопротивления к круговой частоте собственных колебаний.
Временная характеристика упругой системы
Графическое представление выходных колебаний упругой системы станка (решения основного уравнения) и возмущающей силы при установившемся режиме называется временной характеристикой (ВХ) упругой системы станка. При установившемся режиме частоты результирующих выходных колебаний и возмущающей силы равны.
Рис. 2. Временные характеристики упругой системы станка
На рисунке изображены временные характеристики упругой системы при одинаковых периодах возмущающей силы и выходных колебаний Твход=Твых. Время запаздывания (сдвиг по фазе) между возмущающей силой и вынужденными колебаниями определяется углом сдвига j и равно отношению угла сдвига к частоте вынужденных колебаний t =j/w.
Фазо-частотная характеристика упругой системы
Зависимость угла сдвига выходной координаты j от частоты возмущающей силы называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) упругой системы станка
jус(w) =
Как видно из графика ФЧХ:
— при весьма незначительной круговой частоте вынуждающих колебаний угол сдвига по фазе пренебрежимо мал, т.е. w ® 0 Ю j ® 0;
— при резонансной частоте вынуждающих колебаний, когда частота вынуждающих колебаний совпадает с частотой собственных колебаний упругой системы станка w = ω0 Ю j = -p/2;
— при частоте возмущающей силы намного большей частоты собственных колебаний w ® ∞, (w >> ω0) Ю j ® -p.
При этом, чем большее значение имеет коэффициент неупругого сопротивления b, тем ветви ФЧХ становятся более пологими.
Рис. 3. Фазо-частотная характеристика системы:
а) экспериментальная, б) теоретическая
Амплитудно-частотная характеристика упругой системы
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний упругой системы станка от частоты Аус(w) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). АЧХ определяется как отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала возмущающей силы
Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика
Аус(w)=,
где =,
Авход = F0 - возмущающая внешняя сила;
- статический прогиб от силы Р0 упругой системы, обладающей жесткостью j
m - динамический коэффициент.
Таким образом
Аус(w)=
Как видно из формулы Аус(w) АЧХ зависит прямо пропорционально от динамического коэффициента m и обратно пропорционально от жесткости системы j.
Рис. 5. Влияние возмущающей частоты и вязкого сопротивления на амплитуду колебаний (АЧХ)
При частоте воздействия возмущающей силы F0 равной нулю (w=0) или при частоте воздействия возмущающей силы F0 во много раз меньшей (w<<ω0) частоты собственных колебаний, динамический коэффициент становится равным единице (m=1) и АЧХ определяет податливость упругой системы (1/c = е).
При частоте воздействия возмущающей силы F0 во много раз превышающей (w>>ω0) частоту собственных колебаний величина АЧХ весьма мала из-за малости величины динамического коэффициента m.
При частоте воздействия возмущающей силы F0 равной (w = ω0) частоте собственных колебаний АЧХ становится зависимой от величины коэффициента неупругого сопротивления b и если вязкое сопротивление пренебрежимо мало (b®0), то при резонансе амплитуда стремительно возрастает (Аус®∞) из-за увеличения динамического коэффициента (m®∞).
Амплитудно-фазовая частотная характеристика упругой ситемы
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) станка совмещает в себе АЧХ и ФЧХ. АФЧХ используется для оценки динамической устойчивости станков (обозначается W (i)) и представляет некую обобщенную характеристику динамических качеств системы.
АФЧХ является комплексной величиной и ее графически представляют на комплексной плоскости с действительной абсциссой (Re) и мнимой ординатой (iJm):
W (i) = Re + iJm.
Каждому значению частоты колебаний соответствует в полярных координатах своя амплитуда (модуль) А и аргумент (разность фаз) j:
A = ;
Рис. 6. Комплексная система координат для представления АФЧХ
=.
Посредством этих величин, учитывая, что
Re = Acosj, a Jm = Aisinj
динамическую характеристику для любой частоты можно представить в виде:
W (i) = Acosj + Aisinj = A (cosj + isinj).
Как было показано ранее, в общем случае, когда возмущающая внешняя сила и сила неупругого сопротивления не равны нулю (b№0 и Fsint№0) амплитуда вынужденных колебаний равна:
= yстm,
где yст - статический прогиб под действием внешней силы, yст = F/c;
m - динамический коэффициент;
0 - собственная циклическая частота упругой системы;
b - коэффициент неупругого сопротивления.
Возведем в квадрат значение амплитуды, выраженное через координаты АФЧХ и через статический прогиб и динамический коэффициент
A2 = ()2 = (Re)2 + (Jm)2
A2 = (Re)2 + (Jm)2
Произведем преобразования в правой части равенства
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение для знаменателя
Из последнего выражения можно определить Re и Jm:
Таким образом, уравнение динамической характеристики W (i) имеет вид:
W (i) = Re + iJm =
Если принять обозначения:
= - инерционная постоянная, с;
- постоянная времени демпфирования, с,
то после преобразований уравнение динамической характеристики W (i) примет вид:
W (i) = Re + iJm =+.
При построении графика динамической характеристики W (i) (т.е. АФЧХ) сдвиг по фазе j принимают отрицательным и откладывают по часовой стрелке, (случай, когда выходная координата отстает от входной, что наиболее характерно для станков) значение действительной части Re откладывается по оси абсцисс, а значение мнимой части Jm по оси ординат.
Рис. 7. Амплитудно-фазовая частотная характеристика
упругой системы с одной степенью свободы
На практике, при построении экспериментальных АФЧХ механических систем кривая зависимости W (i) может выглядеть совсем иначе, начинаться и заканчиваться в разных (отличных от теоретической кривой) точках, иметь несколько петель. Это происходит из-за того, что любая механическая система состоит из нескольких подсистем - звеньев, каждая из которых является сложной системой со множеством степеней свободы. При определенных допущениях и упрощениях каждую из подсистем приводят к однокоординатной (с одной степенью свободы) системе со своей собственной резонансной частотой своей упругой жесткостью и вязким неупругим сопротивлением. Подсистемы могут соединяться между собой как последовательно, так и параллельно. При последовательном соединении звеньев их АФЧХ умножаются (перемножаются модули-амплитуды и складываются фазы-аргументы), а при параллельном соединении АФЧХ складываются по правилу векторов (раздельно складываются вещественные и мнимые части) при заданных частотах. При рассмотрении системы, состоящей из шпиндельного узла, верхней и нижней кареток суппорта график АФЧХ может иметь вид.
Рис. 8. Экспериментальные АФЧХустойчивой - 1 и неустойчивой - 2 систем
Каждая петля означает свою резонансную частоту для какого-то составляющего элемента общей УС станка. Например, точка 1 соответствует резонансу верхней каретки суппорта, точка 2 - резонанс шпиндельного узла, точка 3 - резонансная частота нижней каретки суппорта. Каждая резонансная петля (точка локального резонанса) имеет свою амплитуду колебаний, расположенную на радиусе вспомогательной описанной окружности, проведенной из центра координат до касания с кривой АФЧХ.
Для оценки виброустойчивости станка используется частотный критерий Найквиста. В соответствии с этим критерием об устойчивости системы можно судить по тому, захватывает ли кривая АФЧХ точку с координатами [-1Re; 0iJm]. Т.е. для устойчивой системы должно выполняться условие:
Re0 < |1|.
На приведенном графике кривая АФЧХ под номером 1 соответствует устойчивой системе, кривая 2 - неустойчивой.