Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 1
Занятие 6 (Фдз 7).
Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
6.1. Характеристическая матрица, характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Нахождение собственных значений из характеристического уравнения и собственных векторов из однородной системы уравнений с характеристической матрицей.
6.1. Собственные значение и собственные векторы линейного оператора обычно находят по матрице оператора.
Пусть ; - базис линейного пространства ; - координаты вектора в базисе ;
- матрица оператора в базисе ; - единичная матрица.
называется характеристической матрицей.
Определитель после его вычисления дает
многочлен степени относительно переменной . Полученный многочлен называется характеристическим многочленом.
Уравнение
(1)
называется характеристическим уравнением. Это уравнение позволяет найти все собственные числа (значения) оператора (и действительные и комплексные), они называются также собственными числами матрицы .
Таким образом, собственные числа – корни характеристического уравнения. Следует особо отметить, что собственные числа оператора не зависят от базиса, они одни и те же в любом базисе пространства .
Ниже будем искать только действительные собственные числа оператора и отвечающие им собственные векторы.
После того, как характеристическое уравнение решено, и действительные собственные числа оператора найдены, собственные векторы оператора (они называются также собственными векторами матрицы ) находятся из систем линейных уравнений, матричное представление которых имеет вид:
. (2)
Множество всех ненулевых решений системы (2) – собственные векторы линейного оператора (матрицы ) с собственным значением .
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Решение.
Запишем характеристическое уравнение
.
- корни кратности 1 характеристического многочлена. Это - собственные числа матрицы .
Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- все собственные векторы матрицы с собственным числом . Все эти векторы находятся по вектору , умножением на произвольное число . Поэтому, в качестве собственного вектора матрицы с собственным значением в ответе обычно указывается вектор .
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- все собственные векторы матрицы с собственным числом . Здесь вектор служит "определяющим" собственным вектором матрицы , отвечающим собственному числу данной матрицы.
Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Решение.
Запишем характеристическое уравнение
.
Это уравнение имеет два комплексных корня , где . Таким образом, собственные числа матрицы - комплексные числа . Обычно ограничиваются нахождением действительных собственных чисел матрицы и соответствующих им собственных векторов. Ответ в этом случае таков: заданная матрица не имеет ни одного действительного собственного числа, и значит, не имеет собственных векторов с действительными координатами.
Однако у матрицы имеются собственные векторы с комплексными координатами. Найдем их.
Сначала найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .
.
Если 2-е уравнение полученной системы умножить на , то получим 1-е уравнение этой системы. Поэтому, система эквивалентна системе из одного уравнения.
Положим в ней , получим . Следовательно, - собственный вектор матрицы , отвечающий собственному числу . Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора , умножением на произвольное комплексное число .
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .
.
Положим , получим . Следовательно, - собственный вектор матрицы , отвечающий собственному числу . Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора , умножением на произвольное комплексное число .
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Решение.
Собственные числа матрицы найдем из характеристического уравнения
.
- корень кратности 2 и - корень кратности 1 характеристического уравнения.
Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- все собственные векторы.
"Определяющий" собственный вектор для числа – вектор .
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- все собственные векторы.
"Определяющий" собственный вектор для числа – вектор .
Пример 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , если оператор действует по правилу , где .
Решение.
Поставленная задача уже была решена в примере 7 занятия 5 исходя из определений собственного вектора и собственного значения линейного оператора. Здесь приведем другое решение, основывающееся на матрице оператора и характеристическом уравнении.
1) Найдем матрицу оператора в стандартном базисе пространства :
.
.
,
,
,
.
Полученные столбцы приводят к следующей матрице .
Характеристическое уравнение:
.
Его корни - собственные значения оператора .
2) Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- собственные векторы матрицы с собственным числом , они представляют линейную комбинацию трех "определяющих" собственных векторов: .
Вектор эквивалентен матрице .
Вектор эквивалентен матрице .
Вектор эквивалентен матрице .
Таким образом, собственному числу оператора отвечают собственные матрицы: .
3) Теперь найдем собственные векторы матрицы для числа . - все собственные векторы матрицы с собственным числом . Они представляют линейную комбинацию на векторе: , который приводит к матрице
.
Итог: собственному числу оператора отвечают собственная матрица .
Сравнение полученных результатов с результатами примера 7 занятия 5 показывает их полную идентичность.
Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу .
Решение.
.
. (3)
Найдем теперь матрицу оператора в стандартном базисе пространства .
Полагая из (3) находим
- первый столбец матрицы .
- второй столбец матрицы .
- третий столбец матрицы .
- собственные числа матрицы и одновременно собственные значения линейного оператора .
.
Собственному вектору отвечает многочлен .
Собственному вектору отвечает многочлен .
Следовательно, многочлены вида являются собственными многочленами (отвечающими собственному значению ) заданного линейного оператора .
_____________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
1.1. , 1.2. , 1.3. .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу . Провести решение с помощью матрицы оператора в стандартном базисе пространства .