У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Характеристическая матрица характеристический многочлен и характеристическое уравнение

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 20.2.2025

PAGE  1

Занятие 6 (Фдз 7).

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

6.1. Характеристическая матрица, характеристический многочлен и характеристическое уравнение.  Нахождение собственных значений из характеристического уравнения и собственных векторов из однородной системы уравнений с характеристической матрицей.

6.1. Собственные значение и собственные векторы линейного оператора  обычно находят по матрице оператора.

Пусть ;   - базис линейного пространства ;    - координаты вектора  в базисе ;  

- матрица оператора  в базисе ;  - единичная матрица.

называется характеристической матрицей.

Определитель   после его вычисления дает

многочлен степени  относительно переменной  .  Полученный многочлен называется характеристическим многочленом.

Уравнение

                                             (1)

называется характеристическим уравнением.  Это уравнение позволяет найти все собственные числа (значения) оператора  (и действительные и комплексные), они называются также собственными числами матрицы .

Таким образом, собственные числа – корни характеристического уравнения.   Следует особо отметить, что собственные числа оператора  не зависят от базиса, они одни и те же в любом базисе пространства .

Ниже будем искать только действительные собственные числа оператора  и отвечающие им собственные векторы.

После того, как характеристическое уравнение решено, и действительные собственные числа  оператора  найдены, собственные векторы оператора  (они называются также собственными векторами матрицы ) находятся из систем линейных уравнений, матричное представление которых имеет вид:

         .                                                (2)

Множество всех ненулевых решений системы (2) – собственные векторы линейного оператора  (матрицы ) с собственным значением .

Пример 1.  Найти собственные значения и собственные векторы  матрицы .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение

.

- корни кратности 1 характеристического многочлена. Это - собственные числа матрицы .

Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .

- все собственные векторы матрицы с собственным числом . Все эти векторы находятся по вектору , умножением на произвольное число .  Поэтому, в качестве собственного вектора матрицы  с собственным значением  в ответе обычно указывается вектор .

Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .

- все собственные векторы матрицы с собственным числом .  Здесь вектор  служит "определяющим" собственным вектором  матрицы , отвечающим собственному числу  данной матрицы.

Пример 2.  Найти собственные значения и собственные векторы  матрицы .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение

.

Это уравнение имеет два комплексных корня , где  .  Таким образом, собственные числа матрицы  - комплексные числа .  Обычно ограничиваются нахождением действительных собственных чисел матрицы и соответствующих им собственных векторов. Ответ в этом случае таков: заданная матрица не имеет ни одного действительного собственного числа, и значит, не имеет собственных векторов с действительными координатами.

Однако у матрицы  имеются собственные векторы с комплексными координатами. Найдем их.

Сначала найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .

.

Если 2-е уравнение полученной системы умножить на , то получим 1-е уравнение этой системы.  Поэтому, система эквивалентна системе   из одного уравнения.

Положим в ней , получим .  Следовательно,     -  собственный вектор матрицы , отвечающий собственному числу . Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора , умножением на произвольное комплексное число .  

Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .

.

Положим , получим .  Следовательно,     -  собственный вектор матрицы , отвечающий собственному числу . Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора , умножением на произвольное комплексное число .  

Пример 3.  Найти собственные значения и собственные векторы  матрицы .

Решение.

Собственные числа матрицы  найдем из характеристического уравнения

.

- корень кратности 2  и  - корень кратности 1  характеристического уравнения.

Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .

- все собственные векторы.

"Определяющий" собственный вектор для  числа    – вектор .  

Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .

 - все собственные векторы.

"Определяющий" собственный вектор для  числа    – вектор .

Пример 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , если оператор  действует по правилу  , где .

Решение.

Поставленная задача уже была решена в примере 7 занятия 5 исходя из определений собственного вектора и собственного значения линейного оператора.  Здесь приведем другое решение,  основывающееся на матрице оператора и характеристическом уравнении.

1) Найдем матрицу  оператора  в стандартном базисе пространства :

               .

.

,

,

,

.

Полученные столбцы приводят к следующей матрице .

Характеристическое уравнение:

.

Его корни  - собственные значения оператора .

2)  Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .

-  собственные векторы матрицы с собственным числом , они представляют линейную комбинацию трех "определяющих" собственных векторов: .

Вектор  эквивалентен матрице  .

Вектор  эквивалентен матрице  .

Вектор  эквивалентен матрице  .

Таким образом, собственному числу  оператора отвечают собственные матрицы:  .

3)  Теперь найдем собственные векторы матрицы   для  числа . -  все собственные векторы матрицы с собственным числом .  Они представляют линейную комбинацию на векторе: , который приводит к матрице

.

Итог: собственному числу  оператора отвечают собственная матрица .

Сравнение полученных результатов с результатами примера 7 занятия 5 показывает их полную идентичность.

Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где ,  и оператор  действует по правилу  .

Решение.

.

.                                                        (3)            

Найдем теперь матрицу  оператора  в стандартном базисе  пространства .

Полагая  из (3) находим

- первый столбец матрицы .

   - второй столбец матрицы .

   - третий столбец матрицы .

- собственные числа матрицы  и одновременно собственные значения линейного оператора .

.

Собственному вектору  отвечает многочлен .

Собственному вектору  отвечает многочлен .

Следовательно, многочлены вида  являются собственными многочленами (отвечающими собственному значению ) заданного линейного оператора .

_____________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти собственные значения и собственные векторы матриц

1.1.  ,    1.2. ,    1.3.  .

2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где ,  и оператор  действует по правилу  .  Провести решение с помощью матрицы оператора в стандартном базисе  пространства .




1. страницах и нужны формы
2. Курсовая работа- Политическая культура- смысл и методологическое значение категории
3. Notes Vrgs He studied psychology nd computer science
4. мозаичной модели структуры мембраны предложенной Сингером биологическая мембрана представляет собой два
5. договор об отчуждении исключительного права лицензионный договор договор коммерческой концессии
6. записка справка заключение
7. Институт развития образования
8. Тема 6. Переддоговірні документи їх характеристика Протоколи розбіжностей складають у випадках
9. Регулярное выражение несет регулярный язык; для всякого регулярного языка имеется несущее его регулярное в
10. Исламские проекты в контексте социально-политического развития