Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет №20
Вопрос №1
1.
Уравнение неразрывности. Гидравлическая форма уравнения неразрывности
Уравнение неразрывности (сплошности).
Рис.11
Зафиксируем некоторый объем W, а S – поверхность этого объема. Пусть внутри этого объема нет источников и стоков, через которые жидкость подается в объем или утекает из него. Пусть жидкость в W протекает без образования пустот. Тогда интеграл вида:
(16)
покажет нам изменение массы жидкости в объеме W за единицу времени. Это изменение массы мы можем подсчитать другим способом:
(17)
Если жидкость больше вытекает из W, то есть масса ее в W уменьшается, то , а плотность при этом уменьшается, то есть И наоборот. Поэтому
(18)
По теореме Остроградского-Гаусса:
(19)
Подставляя в (18), получим:
(20)
Формула (20) справедлива для любого объема W, поэтому:
(21)
Это есть уравнение неразрывности в дифференциальной форме для движения сжимаемой жидкости. (20)- интегральная форма уравнения неразрывности. Уравнение неразрывности связывает скорость и плотность в каждой точке (объеме) сжимаемого течения.
Поскольку , то (21) можно записать:
(22)
Подставим (22) в (21) (23)
получим вторую дифференциальную форму уравнения неразрывности:
(24)
Частные случаи УН:
1. Установившееся течение сжимаемой жидкости , но . При этом и уравнение неразрывности приобретает вид:
(25)
2. Несжимаемое течение – установившееся и неустановившееся .
(26)
Гидравлическая форма уравнение неразрывности.
Рассмотрим установившееся течение сжимаемой жидкости в трубе произвольного сечения.
Рис.12
По формуле (18) получим:
(27)
Поскольку через боковую поверхность жидкость не протекает.
(28)
Заменив на входе в трубу , получим:
(29)
Выводы:
1. При установившемся течении сжимаемой жидкости массовый расход жидкости через любое поперечное сечение одинаков вдоль трубы.
2.При установившемся течении несжимаемой жидкости объемный расход жидкости через любое поперечное сечение одинаков вдоль трубы.
Живым сечением называют такую поверхность, в каждой точке которой вектор скорости ортогонален.
1. Если выбрать и - в виде живых сечений и обозначить их и , то:
(30)
2. Если при этом живые сечения плоские, распределение скорости в них – равномерное, а жидкость несжимаема, то:
. (31)
Вопрос №2
Уравнение Бернулли для струйки вязкой несжимаемой жидкости.
Уравнение Бернулли для струйки вязкой несжимаемой жидкости.
Рис.1
S1
S2
Рассмотрим неустановившееся движение вязкой жидкости. Уравнение движения в форме Громеки-Ламба:
(1)
Выделим в жидкости линию тока. Вектор дуги . Вдоль линии тока . Умножим (1) скалярно на :
(2)
1) , то .
2)
где - дифференциал по линии тока .
Уравнение (2) примет вид:
(3)
Проинтегрируем (3) вдоль линии тока от сечения S1 к сечению S2.
(4)
где . Если из массовых сил действует только сила тяжести: . Тогда: .
Введем обозначения: (5)
-диссипативный член или потеря энергии.
(6)
-инерционный напор.
Тогда уравнение (4) примет вид:
или (7)
Если течение стационарное , то
(8)
это уравнение называется уравнением Бернулли для струйки вязкой несжимаемой жидкости.
Рассмотрим смысл всех слагаемых этого уравнения:
- потенциальная энергия положения ЖЧ в сечении i, отнесенная к единице веса;
- кинетическая энергия ЖЧ в сечении i, отнесенная к единице веса;
- работа сил давления за время dt, отнесенная к единице веса.
- величина равная работе сил вязкости при перемещении жидкости от S1 к S2, отнесенной к единице веса. При этом энергия, равная этой работе, необратимым образом переходит из механической формы в тепловую. То есть механическая энергия единицы веса уменьшается.
Запишем уравнение Бернулли в виде:
(9)
Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии: изменение механической энергии ЖЧ равно работе внешних сил давления и вязкости.
Для нестационарного течения. Если , то жидкость разгоняется; при этом механическая энергия уменьшается. Если жидкость замедляется; при этом механическая энергия растёт. Инерционный член выражает обратимые преобразования энергии при ускорении или замедлении.