Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Нацiональна академiя наук України
Фiзико-технiчний iнститут низьких температур
iм. Б.I.Вєркiна
Масальцев Леонiд Олександрович
УДК 514.77
ГЕОМЕТРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ПIДМНОГОВИДIВ
ОДНОРIДНИХ РIМАНОВИХ ПРОСТОРIВ
01.01.04 - геометрiя i топологiя
Автореферат
дисертацiї на здобуття наукового ступеня
доктора фiзико-математичних наук
Харкiв - 2006
Дисертацiєю є рукопис.
Робота виконана в Харкiвському нацiональному унiверситетi
iм.В.Н.Каразiна.
Офiцiйнi опоненти:
доктор фiзико-математичних наук, професор
БАНАХ Тарас Онуфрiйович,
Львiвський нацiональний унiверситет iм.I.Франка
(м.Львiв), професор кафедри геометрiї i топологiї;
доктор фiзико-математичних наук, професор
ДIСКАНТ Валентин Iванович,
Черкаський державний технологiчний унiверситет
(м.Черкаси), завiдувач кафедри вищої математики;
доктор фiзико-математичних наук, професор
ФОМЕНКО Валентин Трофимович,
Таганрізький державний педагогичний iнститут
(м.Таганріг), Росiйська Федерацiя,
завiдувач кафедри алгебри і геометрії.
Провiдна установа:
Iнститут математики НАН України (м.Київ),
вiддiл топологiї.
Захист вiдбудеться 27 грудня 2006 р. об 11 год. на засiданнi
спецiалiзованої вченої ради Д 64.175.01 у Фiзико-технiчному iнститутi
низьких температур iм. Б.I.Вєркiна НАН України за адресою:
, Харкiв, пр.Ленiна,47.
З дисертацiєю можно ознайомитись в бiблiотецi Фiзико-технiчного
iнституту низьких температур iм.Б.I.Вєркiна НАН України
(61103, Харкiв, пр.Ленiна, 47)
Автореферат розiсланий 11.11. 2006 р.
Вчений секретар
спецiалiзованої вченої ради Горькавий В.О.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальнiсть теми. Однорiднi рiманові многовиди є
природнiм узагальненням просторiв сталої кривини. Вони
характеризуються властивістю локальної однорiдностi i
класифiкованi у вимiрах 3 i 4 (W.Thurston, P.Scott, S.Ishihara,
L.Berard-Bergery, R.O.Filipkewicz). Методи побудови однорідних
ріманових просторів та їхні геометричні властивості висвітлено в
огляді Ю.Г.Никонорова, Е.Д.Родiонова і В.В.Славського.
Проблеми iзометричного занурення певних рiманових
многовидiв в iншi є класичними i вирiшувались у роботах багатьох
вiдомих математикiв (D.Hilbert, А.Д.Александров, Н.В.Ефімов,
О.В.Погорелов, L.Nirenberg, E.Calabi, М.Л.Громов, В.А.Рохлін).
Розвинутою є теорiя iзометричних занурень одних просторiв сталої
кривини в iншi (E.Cartan, А.Е.Лібер, T.Otsuki, S.S.Chern, N.Kuiper,
Н.В.Ефімов, О.В.Погорелов, Е.Г.Позняк, Е.Р.Розендорн, І.Х.Сабітов,
Е.В.Шикін, J.D.Moore, О.А.Борисенко, Ю.А.Амiнов,
Ю.А.Ніколаєвський). Проблема iзометричного занурення
однорiдних рiманових просторiв у простори сталої кривини є досить
новою (H.J.Rivertz(1999), J.D. Moore, J.-M.Morvan(2001)). Разом з
тим дуже важливою й актуальною є проблема гаусова вiдображення
в однорiдних просторах (E.Ruh, J.Vilms, D.Hoffman, R.Osserman, Liu
Xiabo, M.Obata, R.Bryant, Ch.Epstein, Ю.А.Амiнов, О.А.Борисенко,
Ю.А.Ніколаєвський, В.Т.Фоменко, J.Weiner, В.О.Горькавий).
Важливою є задача пошуку в однорiдних рiманових просторах
пiдмноговидiв з певними властивостями, наприклад - мiнiмальних
лiнiйчатих пiдмноговидiв, поверхонь з плоскими лiнiями кривини,
тощо (H.Wente, W.Y.Hsiang, H.B.Lawson, М.doCarmo, M.Dajczer,
J.Barbosa, L.P.Jorge, M.Kokubu, В.Т.Фоменко).
В диференцiальнiй геометрiї сутєву увагу та цікавість викликать
перетворення Бiанкi i Беклунда поверхонь вiд'ємної сталої кривини
та їх багатовимiрнi узагальнення (Ю.А.Амiнов, K.Tenenblat,
C.L.Terng, A.Sym, В.О.Горькавий).
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертацiйне дослідження проведене в Харківському
національному університеті ім. В.Н. Каразіна. Воно є складовою
частиною таких проектів: "Дослідження локальних і глобальних
властивостей ріманових многовидів і підмноговидів" (номер
держреєстрації 0198U005532);
"Геометрія підмноговидів. Геометричні і топологічні методи в
теорії динамічних систем та алгебрі" (номер держреєстрації
0103U007812);
" Зовнішня геометрія багатовимірних підмноговидів" (номер
держреєстрації 0103U004243);
Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи
полягає в доведенні певних зовнішньогеометричних властивостей
підмноговидів однорідних ріманових просторів.
Об'єкт і предмет дослідження Об'ектом і предметом
дослідження є підмноговиди однорідних просторів і, відповідно,
аналоги понять, добре відомі для підмноговидів евклідових
просторів. До числа таких понять можна віднести, наприклад,
поняття "плоскої" лінії кривини, гаусова образа поверхні, лінійчатої
мінімальної поверхні тощо.
Для досягнення поставленої мети ми формулюємо наступні
задачі.
. Дослідити ізометричні занурення однорідних ріманових
многовидів в евклідові простори та простори сталої кривини.
. Описати поверхні Іоахимсталя (з однією сім'єю плоских ліній
кривини) в сфері Sі просторі Лобачевського H.
3. Вивчити властивості гаусова відображення в групі Лі Sі
знайти для нього аналог теореми Ру-Вильмса про його
гармонійність.
. Вивчити гармонійні властивості гаусових відображень в просторі Лобачевського H.
5. Узагальнити теореми Дж.Вайнера про дотичну індікатрису
(тантрису) на випадок кривих в Sі H.
6. Узагальнити теорему Ш.Делоне про властивість профільних
кривих поверхонь обертання сталої середньої кривини на мінімальні
поверхні обертання в Sі H.
7. Знайти мінімальні лінійчаті поверхні в однорідних геометріях
SxR, HxR, Nil, Sol.
8. Дослідити на стабільність мінімальні лінійчаті поверхні в
однорідних тривимірних геометріях.
. Описати мінімальні поверхні в евклідовому просторі R з
гаусовим образом сталої кривини.
. Знайти взаємозв'язок між багатовимірним перетворенням
Беклунда (в сенсі К.Тененблат-С.Тернг) і багатовимірним
перетворенням Біанкі (в сенсі Ю.А.Амінова).
. Знайти вигляд геометричного перетворення Беклунда в Sі
H в глобальних координатах.
. Вивчити властивості бідотичного перетворення Біанкі для
псевдосферичних підмноговидів Hn в евклідовому просторі Rn.
Методи дослідження: методи диференціальної і ріманової
геометрії, теорії диференціальних рівнянь, теорії гармонійних
відображень ріманових просторів.
Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній
роботі знайдені і досліджені нові властивості однорідних ріманових
многовидів, які пов'язані з їх зовнішньою геометрією:
. Доведена неможливість ізометричного занурення площини
Лобачевського Hв евклідів простір Rn у вигляді гелікоідальної
поверхні, а також неможливість ізометричного занурення
багатовимірного простору Лобачевського Hn в евклідів простір Rn+m
у вигляді мінімального підмноговиду з плоскою нормальною
зв'язністю.
. Доведена неможливість ізометричного занурення деяких
однорідних геометрій в евклідові простори у вигляді
гіперповерхонь. Досліджена задача ізометричного занурення
тривимірних геометрій SL, Nil, Sol в чотиривимірний простір
сталої кривини.
. Одержано представлення поверхонь Іоахимсталя в
тривимірній сфері S і просторі Лобачевського H і узагальнення
теореми Г.Венте для поверхонь сталої середньої кривини з сім'єю
"плоских" ліній кривини.
. Одержані аналоги теореми Ру-Вильмса для гармонійних
гаусових відображень в Sі H.
5. Доведено узагальнення теореми Дж.Вайнера про дотичну
індикатрису для замкненої сферичної кривої в S і H.
6. Одержано узагальнення класичної теореми Ш.Делоне для
мінімальних поверхонь обертання в Sі H.
7. Визначені мінімальні лінійчаті поверхні в тривимірних
геометріях SxR, HxR, Nil, Sol.
8. Знайдені всі мінімальні поверхні в R, гаусів образ яких має
сталу внутрішню кривину.
. Встановлений зв'язок між багатовимірним перетворенням
Беклунда(в сенсі Тененблат-Тернг) і багатовимірним
перетвореннням Біанкі (в сенсі Ю.А.Амінова).
. Досдіджено бідотичне перетворення Біанкі
псевдосферичних підмноговидів Hn в евклідовому просторі Rn.
Практичне значення одержаних результатів. Робота має
теоретичний характер. Результати дисертації можуть бути
використані для подальших досліджень з геометрії підмноговидів
однорідних ріманових просторів. Матеріали, що містяться в
дисертації, можуть бути використані для читання спецкурсів з
диференціальної геометрії і геометрії підмноговидів і проведення
геометричних семінарів.
Особистий внесок здобувача. Всі результати, що наведені в
дисертації і виносяться на захист, одержані особисто здобувачем.
Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації
доповідались і обговорювались на Міжнародних конференціях з
геометрії і топології (Черкаси,1997,1999,2001,2003,2005 роки), на
робочому семінарі "Актуальні проблеми в геометрії підмноговидів"
в Міжнародному математичному центрі С.Банаха у Варшаві
(листопад 2001р.), на семінарі фізичного факультету Варшавського
університету (грудень 2003р., керівник проф.А.Сим), на семінарі
"Геометрія в цілому", присвяченому 85-річчю з дня народження
О.В.Погорелова (травень 2004р.,Харків), на науковій конференції
"Каразінські читання" (червень 2004р., Харків), на міжнародній
конференції-школі з геометрії і аналізу, присвяченій 75-річчю акад.
Ю.Г.Решетняка(2004р., м.Новосибірськ), на семінарі з геометрії на
кафедрі математичного аналізу МДУ ім.М.В.Ломоносова(Москва,
листопад 2004р., керівник проф.І.Х.Сабітов), на семінарі "Topology
and its Applications" у Львівському національному університеті
ім.І.Франка (березень 2006р., керівники проф.М.М.Зарічний і
проф.Т.О.Банах), на семінарі з геометрії Черкаського державного
технологічного університету (квітень 2006р., керівник
проф.В.І.Діскант), на семінарі відділу топології інституту
математики НАН України (квітень 2006р., керівник член-кор. НАН
України проф.В.В.Шарко). Також результати неодноразово
доповідались і обговорювались на Харківському місцевому семінарі
з геометрії, (керівники акад. О.В.Погорелов, член-кор. НАН України
О.А.Борисенко, проф. Ю.А.Амінов).
Публікації. Основні результати за темою дисертації
опубліковані в 31 науковій праці: в 21 статті, що опубліковані в
журналах, включених до переліку видань ВАК України, і в 10 тезах
доповідей наукових конференцій. З статей [6], [13], [17] в
дисертацію включені тільки результати, що належать автору. В
работі [6] це леми 2-6 і теорема, в роботі [13] - теореми 1,2,3, в
роботі [17] - теорема 1. В статті [20] автором написаний розділ 5.
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі
вступу, чотирьох розділiв, висновків та списку використаних
джерел, що містить 143 назви. Обсяг дисертації - 309 сторінок
тексту.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі окреслено стан і обгрунтовано актуальність проблеми, визначено мету, методи, задачі, предмет та об'єкт дослідження, висвітлено наукову новизну, теоретичне значення одержанних результатів дослідження та публікації автора за темою дисертації.
У першому розділі досліджується проблема ізометричного занурення однорідних ріманових просторів в простори сталої кривини.
У підрозділі 1.1. узагальнюється результат Е.Р.Розендорна щодо неможливості ізометричного занурення поверхні з метрикою ds= du+ B(u)dv з обмеженою функцією Bu, у вигляді гелікоідальної поверхні в евклідів простір R. Поверхня F називається гелікоідальною в евклідовому просторі Rm, якщо існує базис з одиничних взаємно-ортогональних нормалей ni (i=1,…m-2), в якому від параметру v не залежать всі коефіцієнти других квадратичних форм і всі коефіцієнти скруту. Доведено наступне твердження.
Теорема 1.1 На кожній регулярній класу C гелікоідальній поверхні в евклідoвому просторі Rm (m>3) метрика ds= du+ B(u)dvє такою, що функція Bu обмежена.
У підрозділі 1.2. розглянуті ізометричні занурення областей -вимірного простору Лобачевського Hn з плоскою нормальною зв'язністю в евклідів простір Rn+m.
Підмноговид евклідoва простору з нульовим тензором скрута
називається підмноговидом з плоскою нормальною зв'язністю.
Задача ізометричного занурення областей простору Лобачевського Hn в евклідів простір Rn+m з плоскою нормальною зв'язністю досліджувалась в роботах Ю.А.Амінова і J.D.Moore'a. В дисертації доведена наступна теорема.
Теорема 1.2. Область D простору Лобачевского Hn не можна ізометрично в класі C занурити в евклідів простір Rn+m (m> n-2) у вигляді мінімального підмноговиду з плоскою нормальною зв'язністю.
Підрозділ 1.3. присвячено задачі ізометричного занурення нілмноговидів у вигляді гіперповерхонь в евклідів простір. У роботі Х.Я.Ривертца(1999) було доведено, що тривимірна група Гейзенберга Nil з довільною лівоінваріантною метрикою не допускає регулярного занурення в евклідів простір R. В дисертації цей результат поширюється на дійсну групу Гейзенберга довільного непарного виміру.
Теорема 1.3. Не існує C-регулярного ізометричного занурення 2n+1-вимірної групи Гейзенберга Hn в евклідів простір Rn+2 у вигляді гіперповерхні.
Відомо, що існує три однозв'язних 4-вимірних нільпотентних групи Лі: R,N ilxR, Nil. Для них одержано наступний результат.
Teорема 1.4. Не існує C-регулярного ізометричного занурення 4-вимірних груп NilxR, Nil з довільними лівоінваріантнимі метриками в евклідів простір R.
У вступі було зауважено, що існує 19 чотиривимірних однорідних геометрій: S, R, H, PC, HC, SxS, SxR, S xH, R xH, H xH, SxR, HxR, SLxR, NilxR, Sol, F , Nil , Solm,n (включно з Sol xR), Sol. Однорідність ріманова многовиду означає, що для довільних двох точок x,y існує ізометрія f, що відображає довільний окіл U точки x на окіл f(U) точки y=f(x).
У підрозділі 1.4. розглянуто питання про ізометричне занурення HxR ,SL xR, Sol xR в п'ятивимірний евклідів простір R.
Теорема 1.5. Не існує ізометричного занурення класу C кожної з однорідних геометрій: a)SLxR, b)H xR, c)SolxR в п'ятивимірний евклідів простір R.
Пiдрозділ 1.5. присвячено розв'язанню задачі ізометричного занурення однорідних геометрій Nil, SL , Sol в чотиривимірний простір Mc сталої секційної кривини c. Тривимірна геометрія Nilабо група Гейзенберга представляє собою дійсну групу Лі з законом множення: (x,y,z)(x’,y’,z’)=(x+x’,y+y’,z+z’+xy’) і з лівоінваріантною рімановою метрикою. Доведена
Теорема 1.6. Не існує ізометричного класу C занурення довільної області геометрії SL в простір сталої кривини Mc.
Тривимірна геометрія SL є універсальним накриттям групи SL з лівоінваріантною метрикою.
Теорема 1.7. Не існує ізометричного класу C занурення довільної області геометрії SL в простір сталої кривини c.
Тривимірна геометрія Sol представляє собою групу Лі з законом множення
(x,y,z)(x’,y’,z’)=(x+e-z x’, y+ez y’, z+z’)
і з лівоінваріантною метрикою. Дослідження задачі ізометричного занурення цього ріманова многовиду в простір Mc дає іншу у порівнянні з Nil і SL відповідь.
Теорема 1.8. 1) Не існує ізометричного класу C занурення довільної області геометрії Sol в простір сталої кривини Mc коли c відмінно від 1.
) Існує ізометричне аналітичне занурення геометрії Sol в гіперболічний простір H(-1), наприклад,
x= 2/2cosh(z+z),
x= 2/2 ez+z cos2/2x,
x= 2/2 ez+z sin2/2x,
x = 2/2 e-z-z cos2/2y,
x = 2/2 e-z-z sin2/2y
де H(-1)= ((x,x, x,x,x)|-x+ x+ x +x + x = -1, x >0)
верхня пола гіперболоїда в псевдоевклідовому просторі R,1 з метрикою
ds= -dx + dx + dx + dx+ dx і z- довільна стала.
У другому розділі досліджуються поверхні сталої середньої кривини і гаусове відображення у тривимірних просторах S і H.
Підрозділ 2.1. присвячено поверхням Іоахимсталя в стандартній тривимірній сфері S. Визначимо поверхню Іоахимсталя в S як поверхню, кожна лінія кривини якої з однієї сім`ї належить деякій цілком геодезичній 2-сфері, причому всі ці цілком геодезичні сфери проходять через фіксовану геодезичну лінію в S. Відомо класичне представлення поверхонь Іоахимсталя в евклідoвому просторі. В підрозділі 2.1. одержано аналогічне представлення поверхонь Іоахимсталя в .
Теорема 2.1 Поверхня в S, яка задана рівняннями (1) з довільними функціями R=R(s), T=T(t), є поверхнею Іоахимсталя.
X(s,t)= cos(R+s)+2sins sinR (T e-2r +1)-1 ,
Y(s,t)= sin(R+s)+2cos sinR (T e-2r +1)-1 , (1)
Z(s,t)= 2sint Te-r sinR (T e-2r +1)-1 ,
W(s,t)= 2cost Te-r sinR (T e-2r +1)-1 , (r’=cotR)
Якщо мінімальна поверхня в R має одну сім'ю плоских ліній кривини, то і інша сім'я також складається з плоских ліній. В евклідoвому просторі такими поверхнями є катеноїд, мінімальна поверхня Енепера і однопараметрична сім'я поверхонь Боне. H.Wente довів, що в гіперболічному просторі подібною властивістю "планарності" однієї сім'ї ліній кривини наділені лише мінімальні поверхні обертання. В дисертації встановлено, що аналогічне твердження справедливе в S, але для більш широкого класу поверхонь сталої середньої кривини.
Теорема 2.2. Єдиними поверхнями сталої середньої кривини в S без омбілічних точок, що мають одну сім'ю ліній кривини, розміщених на цілком геодезичних сферах, є поверхні обертання (сферичні поверхні Делоне).
У підрозділі 2.2. досліджуються поверхні Іоахимсталя в просторі H Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхньому напівпросторі. Поверхні Іоахимсталя визначимо як поверхні, в яких кожна лінія кривини з однієї сім'ї належить деякій цілком геодезичній площині, причому всі дані площини проходять через фіксовану геодезичну лінію в H. В роботі одержано наступне представлення поверхонь Іоахимсталя в .
Теорема 2.4. Поверхня в H, яка задана рівняннями (2) з довільними функціями R=R(s)>0, T=T(t) є поверхнею Іоахимсталя
X(s,t)= s sinhR(s) cost cosh-1 f(s,t),
Y(s,t)= s sinhR(s) sint cosh-1 f(s,t), (2)
Z(s,t)= s coshR(s) –s sinh R(s)tanh f(s,t),
Справедливе також узагальнення результата H.Wente на поверхні сталої середньої кривини з однією сім'єю плоских ліній кривини.
Теорема 2.5. Поверхнями сталої середньої кривини в H без омбілічних точок, які мають одну сім'ю ліній кривини, розміщених на цілком геодезичних площинах, є поверхні обертання (гіперболічні поверхні Делоне).
Підрозділ 2.3. присвячено задачі знаходження поверхонь в сфері S, що мають гармонійне гаусове відображення. Нехай (M,g) і (N,g’) ріманови многовиди, f: M N диференційовне відображення. Інтегралом енергії відображення називається величина
E(f)=1/2gijfaifbjg’ab(detg)/2 dx …dxn ,
Де xi - локальні координати на M ,ya -локальні координати на N, і відображення f задано ya =fa(x,…,xn ). Диференційовне відображення ріманових просторів називається гармонійним, якщо воно є критичною точкой інтеграла енергії. Теорема E.Ruh-J.Vilms'а стверджує, що грасманове відображення підмноговиду евклідoвого простору гармонійне тоді і тільки тоді, коли вектор середньої кривини H є паралельним в нормальній зв'язності. Зокрема, якщо підмноговид представляє собой гіперповерхню Mn евклідового простору, то його гаусове відображення гармонійне тоді і тільки тоді, коли середня кривина поверхні є сталою. В 1995 р. Liu Xiabo запропонував новий підхід до визначення гаусова відображення підмноговиду Mk в компактній групі Лі G, який полягає в наступному. Позначим через Gk(g) грасманів многовид, що складається зі всіх k-вимірних лінійних підпросторів алгебри Лі g даної групи G. Нехай Lx - лівий зсув на елемент x і dLx - диференціал лівого зсува. Диференціал переводить дотичні вектори з TyM в дотичні вектори простору TxyM і по лінійності цю дію можна продовжити на підпростіри в TyM. Liu Xiabo назвав гаусовим відображенням підмноговиду наcтупне відображення
G: M Gk(g), x (dLx-1)TxM,
де x належить Mk. Таким чином, при гаусовому відображенні дотичному простору TxM до підмноговида Mk відповідає k-вимірий підпростір в алгебрі Лі g, яка розглядається як дотичний простір TeG в одиниці e групи G.
Тому, вивчаючи регулярну поверхню Mв S, визначимо гаусове відображення g(n) наступним чином
g(n):M S , x(dLx-1)(n), (3)
де x належить M, n - вектор нормалі до поверхні M в точці x.
Ми розглядаємо поверхню M з метрикою, індукованою її ізометричним зануренням в S, а сферу S з стандартною метрикою, індукованою її зануренням в R. Справедливе наступне твердження.
Теорема 2.7. Гаусове відображення g(n): S є гармонійним тоді і тільки тоді, коли поверхня M має сталу середню кривину в S.
В цьому підрозділі також досліджені і інші властивості гаусова відображення g(n). Доведена
Теорема 2.8. a) Нехай поверхня M занурена в S, а її перша і друга фундаментальні форми мають вигляд
ds= ew(u,v)(du+dv), (4)
II= L(u,v)du+2M(u,v)dudv + N(u,v)dv. (5)
Тоді метрична форма S, що індукована гаусовим відображенням g(n), дорівнює
dsg = (e-2w(L +M)+ew–M)du+2(e-2w M(L+N)+L-N)dudv +
(e-2w(N+M)+ew+2M)dv. (6)
b) Гаусове відображення g(n) S є конформним тоді і тільки тоді, коли поверхня M є цілком омбілічною в S.
Наслідок 2.1. Поверхня M має вироджений гаусів образ тоді і тільки тоді, коли її внутрішня кривина Kint=0.
Відомо, що гаусів образ мінімальної поверхні в евклідoвому просторі R утворює всюди щільну множину на сфері. В дисертації встановлено, що для поверхонь сталої середньої кривини в S справедливі наступні твердження.
Наслідок 2.3. Гаусове відображення g(n):M S компактної регулярної поверхні сталої середньої кривини в S перетинається з кожним великим колом.
Теорема 2.9. Гаусів образ регулярної поверхні g(n(M ))сталої середньої кривини в S вироджений тоді і тільки тоді, коли M є поверхнею обертання, ізометричною до поверхні
X(u,v)= (a cosu, a sinu, b cosv, b sinv ),
де a+b =1. При цьому g(M )представляє собою велике коло на S.
У підрозділі 2.4. досліджені гармонійні властивості гаусових відображень в просторі Лобачевського H.
Поняття гіперболічного гаусова відображення незалежно ввели Ch. Epstein i R.Bryant. Наведемо його конструкцію для поверхні в H.
В кожній точці поверхні X(u,v) в H, в напрямку нормалі n(u,v) випустимо геодезичну, яка має своїм граничним значенням точку g(u,v), що належить ідеальній межі dH. Якщо середня кривина поверхні H відмінна від нуля, то обравши орієнтацію нормалі так, щоб H була додатньою, одержимо однозначно визначене відображення g:X(u,v) g(u,v), яке і носить назву гіперболічного гаусова відображення. R.Bryant для поверхонь сталої середньої кривини 1 в H(-1)знайшов аналог представлення Вейєрштраса і з'ясувалось, що багато властивостей цих поверхонь подібні до властивостей мінімальних поверхонь в R.
Вивчаючи поверхні в просторі Лобачевського, ми використовуємо його модель на гіперболоїді
H(-1)= ((x,x, x,x)|-x+ x+ x +x= -1, x >0)
в псевдоевклідовому просторі R,1 з метрикою ds= -dx + dx + dx + dx. В цій моделі в кожній точці поверхні X(u,v) є рухомий репер з чотирьох векторів X, Xu, Xv, n, де n - вектор одиничної нормалі до поверхні в H.
Можна кожній точці поверхні X(u,v)поставити у відповідність наступний вектор g(n), що належить до одиничної сфери S,
g(n)=(G/G, G/G, G/G)= ((X+n)/(X+n), (X+n)/(X+n), (X+n)/(X+n)), (7)
Теорема 2.10. Відображення g(n): (X(u,v),ds)(S ,g ) що задано формулою (7), є гармонійним, якщо поверхня має сталу середню кривину 1 в H.
Інший варіант гаусова відображення в Hn був визначений М.Обатою. Це відображення ставить у відповідність кожній точці поверхні Fl цілком геодезичну площину pl, яка торкається поверхні в даній точці. В підрозділі 2.4. розглядається грасманове відображення, яке кожній точці поверхні X(u,v) ставить у відповідність вектор n(u,v) простороподібної нормалі до X(u,v) в просторі Мінковського R,1. Таке визначення грасманова відображення раніше використовувалось в роботах О.А. Борисенка. За умови, що на поверхні n(u,v) індукується невироджена ріманова метрика, ми доводимо, що грасманове відображення є гармонійним, якщо середня кривина поверхні X(u,v) в H є сталою.
Теорема 2.11. Відображення f: (X(u,v),ds(n(X),dn) з невиродженим грасмановим образом є гармонійним тоді і тільки тоді, коли X(u,v) має сталу середню кривину.
Підрозділ 2.5. присвячено задачам, пов'язанним з поняттям дотичної індикатриси (тантриси) регулярних кривих у просторах сталої кривини. В статях J.Weiner'а і B.Solomon'а досліджувалося наступне питання: коли занурена сферична крива в S, яка гомеоморфна колу, є тантрисою іншої замкненої сферичної кривої ? J.Weiner довів, що занурена крива, яка гомеоморфна колу, в S утворює тантрису іншої сферичної кривої в евклідовому просторі тоді і тільки тоді, коли її повна геодезична кривина дорівнює нулю і вона не містить ніякої дуги з повною геодезичною кривиною . Спочатку опишемо результати, одержані в дисертації у випадку сфери S.
Ми розглядаємо варіант дотичної індикатриси гладкої кривої r(t)=(x(t),y(t),z(t),w(t)), причому вважаємо, що параметр t є довжиною дуги. Нехай m - деяка фіксована точка S. З'єднаємо точку m і r(t) геодезичною g в S і перенесемо вектор r’(t) паралельно вздовж g з точки r(t) в точку m. Результат Tr’паралельного переносу вектора r’належить одиничній сфері дотичного простору TmS. Назвемо тантрисою (індикатрисою дотичної) кривої r(t) в сфері S, яка параметризована довжиною дуги t, сферичну криву Tr’(t) (таке визначення тантриси належить J.Weiner'у).
Теорема 2.12. Тантриса Tr’кривої r(t) в S має наступне рівняння :
Tr’=Atr’(t) = (1+w)((x/1+w, y/1+w,z/1+w )’.
Останнє рівняння означає, що сферична тантриса кривої r(t) в T(0,0,0,1)S(яке можно ототожнити з підпростіром w=1), співпадає, (після паралельного переносу простору R: (x,y,z,w) (x,y,z,w-1)), з евклідівою тантрисою кривої r (t)= (x/1+w, y/1+w, z/1+w) яка є стереографічною проекцією r(t) на підпростір w=0, з діаметрально протилежної точки (0,0,0,-1).
За формою тантриси Tr’кривої r в S можно відновити саму криву.
Теорема 2.13. Нехай Tr’=(a(t),b(t),c(t)) тантриса кривої r=(x(t),y(t),z(t),w(t)) в S. Тоді
x(t)= 2a/(1+a +b +c), y(t)= 2b/(1+a +b +c),
z(t)= 2c/(1+a +b +c), x(t)=(1-a–b-c)/(1+a +b +c),
де a, b, c –відповідно, інтеграли від функцій a,b,c.
Доведене наступне твердження, що є аналогом відповідної теореми J.Weiner'а в евклідoвому просторі.
Теорема 2.14. 1) Занурене коло в S утворює тантрису деякої сферичної кривої в S тоді і тільки тоді, коли вона має повну геодезичну кривину нуль і не містить в собі ніякої дуги з повною геодезичною кривиною . Якщо тантриса не має самоперетинів в , то вона обмежує область на сфері площею 2.
У підрозділі 2.6. досліджуються поверхні з нульовим нормальним скрутом в евклідoвому просторі R. Нагадаємо визначення нормального скруту. Нехай t - деякий дотичний вектор до поверхні F в точці x. Через вектор t, двовимірну нормальну площину і точку x проведемо тривимірний простір E(t), який переріже поверхню F по лінії r. Значення скруту лінії r в точці x називається нормальним скрутом поверхні F для напрямка t в точці x.
В роботах С.Б. Кадомцева і В.Т.Фоменка досліджувалась множина A двовимірних поверхонь чотиривимірного евклідoвого простору R, нормальний скрут яких в довільній точці за будь-яким напрямком дорівнює нулю. С.Б. Кадомцев одержав умову приналежності поверхні множини A до деякої гіперплощини в R. В.Т.Фоменко досліджував поверхні множини A в залежності від властивостей еліпсу нормальної кривини. Він довів низку теорем, в яких в залежності від розташування еліпса нормальної кривини з приналежності поверхні до множини випливає, що або поверхня є гіперплоскою, або гіперсферичною зі сталою середньою і нульовою внутрішньою кривинами. В доповнення до його результатів ми доводимо наступне твердження.
Теорема 2.18. Нехай в кожній точці поверхні F класу C в R напівосі a i b еліпсу нормальної кривини зв'язані співвідношенням a=cb(c=const). Тоді, якщо F належить A, то F є або гіперплоска поверхня, або гіперсферична з сталою середньою і нульовою внутрішнньою кривинами.
В теоремі 2.18. одержано також вирази коефіцієнтів скрута у випадку, коли точка поверхні не є коловою, тобто a відмінно від b. З цього випливає,що якщо еліпс нормальної кривини не є колом, то справедливе наступне твердження відносно інваріанту Уітні, який дорівнює сумі індексів особливостей довільного нормального векторного поля на поверхні в .
Наслідок 2.6. Нехай F -замкнена компактна поверхня класу C в R4, кожна точка якої не є коловою. Тоді якщо F належить A, то її інваріант Уітні дорівнює нулю.
Якщо еліпс нормальної кривини поверхні в кожній точці не є колом, то справедливий також наступний висновок.
Наслідок 2.7. Нехай F - компактна замкнена поверхня класу C в R4, кожна точка якої не є коловою. Тоді якщо F належить A і її гаусів скрут є невід'ємним (недодатнім), то F є або гіперплоскою поверхнею, або гіперсферичною зі сталою середньою і нульовою внутрішньою кривинами.
У третьому розділі вивчаються мінімальні поверхні в однорідних геометріях.
У підрозділі 3.1. викладений новий метод доведення класичної теореми Ch.Delaunay про профільні криві поверхонь обертання сталої середньої кривини в евклідoвому просторі. Ідея полягає в представленні процеса котіння плоскої фігури вздовж осі за допомогою кривої в групі ізометрій площини. Це дозволяє одержати разом з новим методом доведення певне доповнення до класичного результату Ch. Delaunay.
Теорема 3.1. Тільки фокуси конічних перерізів при їх котінні вздовж прямої описують профільні криві поверхонь обертання сталої середньої кривини (поверхонь Делоне) в R.
У підрозділі 3.2. метод попереднього підрозділу застосовується при вивченні профільних кривих мінімальних поверхонь обертання в тривимірній сфері S і просторі Лобачевського H. Розглянемо спочатку випадок H і визначемо криву в гіперболічній площині H, яка є аналогом евклідової параболи. Нехай d -відстань в моделі Пуанкаре гiперболічної площини H з метрикою ds= (du+dv
)/v , w=u+iv, v>0. Визначимо множину точок PH, які задовольняють умові d(w,eit)= d(w,l), де l - пряма лінія в H, що задана рівнянням Rew=0. Таким чином, PH представляє собою множину точок, равновіддалених від прямої l і від фіксованої точки eit. Виходячи з відомої властивості параболи в евклідoвій площині, крива PH може розглядатися, як аналог параболи для гіперболічної площини H. Природно назвати точку eit фокусом параболи PH, а пряму l –директрисою.
Лема 3.2. Рівняння параболи PH з фокусом eit і з директрисою Rew=0 має вигляд: 2sinht|w|=|w|+1 –ucosht.
Далі за допомогою лем 3.2. - 3.7. доводиться наступне твердження, що є аналогом класичної властивості генератриси катеноїда в евклідoвому просторі.
Теорема 3.2. Генератриса катеноїда обертання гіперболічного простору H представляє собою траєкторію фокуса параболи PH, яка одержується при котінні її вздовж осі в площині H.
У випадку сферичного простору S розглядаються профільні криві мінімальних поверхонь обертання.
Теорема 3.3. Генератриса катеноїда обертання сферичного простору S представляє собою траєкторію фокуса параболи PS, яка одержується при котінні її вздовж геодезичної в сфері S.
У підрозділі 3.3 знайдено всі повні мінімальні лінійчаті поверхні в тривимірних геометріях S xR i H xR.
Нагадаємо, що підмноговид M ріманова простору N називається лінійчатим, якщо існує його шарування ковиміру одиниця на цілком геодезичні підмноговиди простору N.
Класична теорема Catalan'а стверджує, що єдиною повною мінімальною лінійчатою поверхнею в евклідoвому просторі R, що не є площиною, є гелікоїд.
H.B.Lawson довів, що кожна геодезично-лінійчата мінімальна поверхня в тривимірной сфері представляє собою відкриту область на сферичному гелікоїді
F(x,y)=(coskx cosy, sinkx cosy, cosx siny, sinx siny ).
M.doCarmo і M.Dajczer знайшли рівняння гелікоїда простору Лобачевського H.
При дослідженні лінійчатих поверхонь в S xR ми розглядаємо цей многовид як гіперповерхню евклідова простору R з координатами (x ,x ,x ,x ) i рівнянням (x)+(x ) +(x ) =1.
Теорема 3.4. Повними лінійчатими мінімальними поверхнями в S xR є: 1) цілком геодезичні поверхні вигляду Sx x i gxR, де g –геодезична S , 2) гелікоїд, що допускає наступну параметризацію ( з точністю до ізометрії):
X(s,t)= coss cost, X(t,s)= sint sins, X(s,t)= sins, X(s,t)=bt,
де b - стала.
В цьому підрозділі знайдено також всі повні мінімальні лінійчаті поверхні в H xR. Розглянемо многовид H xR як гіперповерхню в просторі Мінковського R,1 з метрикою <x,y>=-xy+xy+xy+xy, що задана рівнянням: -(x)+(x)+(x) =-1.
Теорема 3.5. Повними лінійчатими мінімальними поверхнями в H xR є: 1) цілком геодезичні поверхні вигляду H x(x)і gxR, де g - геодезична H, 2) два типа поверхонь, параметризованих наступним чином:
1) X =chs cht, X =chs sht, X =shs, X =bt,
) X =chs, X = shs cost, X = shs sint, X =bt.
де b- стала.
У підрозділі 3.4. розглянуто мінімальні лінійчаті поверхні в групі Гейзенберга. Тривимірна група Гейзенберга або геометрія Nil представляє собою тривимірну дійсну групу Лі з множенням
Lax = (a,a,a)(x,y,z) = (x+a,y+a,z+a+ay)
та з лівоінваріантною метрикою ds= dx +dy +(dz-xdy). Секційна кривина в кожній точці групи Гейзенберга знаходится у межах –/4< R(X,Y) < 1/4 і тому представляє собою тривимірну однозв`язну ріманову групу Лі зі знакозмінною секційною кривиною. Поперше ми вивчаємо поведінку геодезичних Nil. Знайдено всі геодезичні лінії, що виходять з довільної точки цієї однорідної геометрії. Виявляється, що їх природньо класифікувати як "горизонтальні", "вертикальні" та "гвинтівні". Наступна теорема описує всі лінійчаті мінімальні поверхні, що розшаровані на "горизонтальні" геодезичні.
Теорема 3.6. Лінійчата мінімальна поверхня в Nil, що розшарована на "горизонтальні" геодезичні, допускає параметризацію в одному з двох наступних виглядів
R(s,t)=(s cost-aCtgt+ b, s sint, s /4sin2t+s(-a ctgt+b )ssint+
a /2ctgt+c t+d),
де a, b, c, d- довільні дійсні сталі, або
r(s,t)= (c3(t)s, c6(t), a c6(t)+b ),
де c3, c6 -довільні диференційовні функції від змінної t.
Знайдено також всі мінімальні лінійчаті поверхні, що є шаруванням з "вертикальних" геодезичних .
Теорема 3.7. Лінійчата мінімальна поверхня, що розшарована на "вертикальні" геодезичні, має параметризацію
R(s,t)= (s, as+b, t)
де a,b - довільні дійсні сталі.
В цьому підрозділі досліджено також стабільність деякіх повних лінійчатих мінімальних поверхонь в Nil.
Нагадаємо деякі відомості, що відносяться до проблеми стабільності мінімальної поверхні M в тривимірному ріманову просторі N. Нехай s,t - координати на поверхні M, r(s,t)- радіус-вектор поверхні, n(s,t)- вектор нормалі до M в даній точці і w(s,t) кусково-диференційовна функція з компактним носієм, що задана на поверхні. Тоді для другої варіації площи поверхні , що визначається радіусом-вектором r(s,t)+w(s,t)n(s,t) справедлива формула
DS = (|dw| –(Ric(n,n)+||h||)w)ds
де Ric(n,n)- кривина Річі простору N в напрямі одиничної нормалі n, ||h|| - квадрат довжини другої квадратичної форми поверхні, ds - елемент площи поверхні M. Мінімальна поверхня M називається стабільною, якщо DS для довільних функцій-варіацій w з компактним носієм на M. В дисертації доведена
Теорема 3.9. Наступні повні мінімальні поверхні в Nil є стабільними для довільних дійсних сталих a,b,c:
•,,вертикальна площина'' r(s,t)=(0,s,t),
•"вертикальна площина" r(s,t)=(s,as+b,t),
•експоненціальний образ вертикальної площини nil
r(s,t)=(s,as+b,t+1/2s(as+b),
•довільна "похила площина, паралельна осі Ох"
r(s,t)=(s,t,at+b)
•експоненціальний образ "похилої площини" nil r(s,t)=(s,t, as+
bt+c+1/2st.
При доведенні використано критерій стабільністі, який був доведений в роботі D.Fischer-Colbrie i R.Schoen'a: поверхня є стабільною тоді і тільки тоді, коли існує додатня функція g на M, що задовольняє рівнянню Lg=0 всюди на M.
У підрозділі 3.5. вивчаються мінімальні поверхні в стандартній тривимірній геометрії Sol. Тривимірна геометрія Sol може бути представлена, як матрична група, що гомеоморфна R, з лівоінваріантною метрикою ds=ez dx +e-2zdy +dz. Ми знаходимо приклади мінімальних лінійчатих поверхонь в Sol, а також мінімальних поверхонь, інваріантних відносно деякої однопараметричної групи ізометрій Sol. Техніка знаходження мінімальних лінійчатих поверхонь схожа з тою, що була використана в попередньому підрозділі, але на відміну від Nil, в геометрії Sol є сім'я цілком геодезичних поверхонь.
Серед геодезичних, що виходять з довільної точки Sol є "вертикальна" (x=x , y = y ) i "горизонтальні" (x=2-1/2e-z0t+x, y= 2-1/2ez0t+y , z=z) з них можно утворити шарування, що і будуть лінійчатими мінімальними поверхнями.
Наслідок 3.2. Мінімальними лінійчатими поверхнями в Sol, що є шаруваннями з "вертикальних" геодезичних, є поверхні r(s,t)=(s,as+b,t)або r(s,t)=(as+b,s,t), де a,b - довільні сталі.
Наслідок 3.3. Цілком геодезичними поверхнями в Sol, що є шаруваннями з "вертикальних" геодезичних є поверхні вигляду r(s,t)=(s,b,t)i r(s,t)=(a,s,t).
Теорема 3.10 Довільна мінімальна поверхня, що є шаруванням з "вертикальних" геодезичних, є стабільною.
Знайдено також повні мінімальні поверхні, що є шаруваннями з "горизонтальних" геодезичних.
Теорема 3.11. Довільна повна мінімальна лінійчата поверхня, що є шаруванням з "горизонтальних" геодезичних представляє собою або аналог "площини " z=z, або аналог "гелікоїда" з параметризацією (8) (а також поверхні, які одержуються з них діедральними ізометріями в Sol)
x(s,t)= 2-1/2 e-st+a , y(s,t)=2-1/2 es t+b ,z(s,t)=s, (8)
Відомо, що коли метрика на групі Лі біінваріантна, то кожна однопараметрична підгрупа є геодезичною відносно відповідної зв'язностi Левi-Чiвiта. У випадку Sol лівоінваріантна метрика не є біінваріантною, і тому не кожна однопараметрична підгрупа є геодезичною. Алгебра Лі sol3 має базисними векторами e, e, e з дужками :[e,e]=0, [e,e]=e, [e,e]= -e.
Справедливе наступне твердження.
Теорема 3.12. Мінімальні поверхні в Sol, інваріантні відносно дії однопараметричної підгрупи exp(ae+be) допускають параметризацію
R(s,t)=(at+s,bt,z(s))
де функція z(s) знаходится з рівнянням (a ez+b2 e-2z )/2 dz =cs.
У підрозділі 3.6. знайдено всі мінімальні поверхні в евклідoвому просторі R, гаусів образ яких має сталу кривину.
Нехай X - ріманова поверхня, z=x+iy - її локальний параметр і відображення
F=(f ,…,fn ):X Rn представляє собою мінімальну поверхню в n-вимірному евклiдoвому просторі. Розглянемо Cn - значну функцію g=Fz. Тоді конформність відображення F равносильна умові g=0, а те що відображення F задає мінімальну поверхню, рівносильно умові gz=0. В комплексному проективному просторі CPn-1 позначимо через Qn-2 квадрику, що визначається рівнянням
z +…+zn =0
Голоморфні функції g:X Qn-2 задають гаусове відображення двовимірної мінімальної поверхні в евклідoвому просторі Rn в комплексну квадрику Qn-2, яка ізометрична дійсному грасманіану G(2,n) орієнтованих двовимірних площин в Rn. D.Hoffman і R.Osserman довели, що коли мінімальна поверхня лежить в R, то внутрішня кривина k її гаусова образа може бути сталою тільки для двох значень k = 1 або k =2. Якщо k =1, то S лежить повністю в R, якщо k =2, то S є комплексною кривою в C. Ми знаходимо всі мінімальні поверхні в R, гаусів образ яких має сталу внутрішню кривину.
Теорема 3.16. Нехай S - мінімальна поверхня в R, гаусов образ якої має сталу кривину k. Тоді k може приймати значення 1,2,1/2, причому
) якщо k =1, то S лежить повністю в деякому R,
2) якщо k =2, то S є комплексною кривою в деякому C,
3) якщо k =1/2, то S лежить в R і є поверхнею вигляду
F = ReUzdz,
де zt=(1,2z,6/2z,z,z),
а U- довільна cпеціальна унітарна матриця 5-го порядку.
У четвертому розділі досліджено перетворення Біанкі - Беклунда в просторах сталої кривини.
Підрозділ 4.1. присвячено висвітленню зв'язку між багатовимірним перетворенням Біанкі, що було знайдено Ю.А.Аміновим, і теорією лінійних псевдосферичних конгруенцій, започаткованою K.Tenenblat i C.L.Terng.
Класичне перетворення Біанкі переводе поверхню F сталої від'ємної гаусової кривини -1 в поверхню F’в тривимірному евклідoвому просторі R. Кожній точці p в F відповідає точка p’в F’так, що виконані наступні умови :
) відстань в R між p і p’дорівнює одиниці: |pp’|=1;
) кут між дотичними площинами в точках p i p’дорівнює 90;
3) відрізок pp’належить прямій перетину площин дотичних площин.
Л.Біанкі довів, що при ціх умовах поверхня F’також має сталу від'ємну внутрішню кривину -1. Ю.А.Амінов встановив аналогічну властивість для області n-вимірного простору Лобачевського сталої від'ємної секційної кривини -1, що занурена в 2n-1-вимірний евклідів простір Rn-1. Відповідне перетворення визначається наступним чином. Нехай x=x(u ,…, un)- радіус-вектор області підмноговиду Hn сталої секційної кривини -1, (ui )- напівгеодезичні координати, в яких лінійний елемент має вигляд ds = eun(du+…+dun-1 )+dun. Тоді багатовимірне перетворення Біанки підмноговиду x(Hn )ставить йому у відповідність підмноговид x (Hn ) за формулою x =x-xun. Оскільки лінія un є геодезичною Hn, то можна сказати, що багатовимірне перетворення Біанкі задається диференціюванням вздовж сім'ї геодезичних ліній, ортогональних до деякої орісфери Hn. Ю.А.Амінов довів, що x (Hn ) також є підмноговидом сталої від'ємної кривини -1.
K.Tenenblat i C.L.Terng розробили теорію лінійних псевдосферичних конгруенцій між двома n-вимірними підмноговидами M і M’в Rn-1. Під лінійною конгруенцією між M і M’в Rn-1 розуміють дифеоморфізм l:M M’такий, що для кожної точки p з M пряма, що з'єднує точки p і p’=l(p), є спільною дотичною до підмноговидів M і M’. Для лінійної конгруенції l між двома n-вимірними підмноговидами в Rn-1 нормальні площини у відповідних точках p і p’мають виміри (n-1)і обидві ортогональні до прямої pp’. Отже, обидві нормальні площини лежать в (2n-2)-вимірному підпросторі і між ними існує (n-1) екстремальне значення кутів. Згідно Tenenblat i Terng, лінійна конгруенція l:MM’називається псевдосферичною, якщо: 1) відстань |pp’|є сталою і дорівнює r; 2)n-1 кутів між нормальними просторами однакові і дорівнюють сталому значенню t. Tenenblat i Terng довели, що якщо існує псевдосферична конгруенція l:MM’між двома n-вимірними підмноговидами в Rn-1, то обидва підмноговида мають сталу від'ємну секційну кривину –(sint)r-2.
В підрозділі 4.1. досліджуються псевдосферичні конгруенції для яких кут t дорівнює 90. Ми називаємо такі лінійні конгруенції в Rn-1 псевдосферичними конгруенціями Біанкі і доводимо наступний результат. Доведена
Теорема 4.2. Кожна псевдосферична конгруенція Біанкі l:Hn Hnr в евклідoвому просторі Rn-1 може бути реалізована за допомогою деякого багатовимірного перетворення Біанкі вздовж сім'ї геодезичних ліній Hn.
У підрозділі 4.2. розглянуто перетворення Біанкі-Лі-Беклунда в просторах сталої кривини H(-1) i S(1). У попередньому підрозділі було описано класичне перетворення Біанкі, де кут між дотичними площинами у відповідних точках двох поверхонь дорівнював t= 90. C.Лі дав аналітичну інтерпретацію побудови Біанкі, а А.Беклунд узагальнив перетворення Біанкі на випадок довільного t. За основу покладено диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку
(rt-s)(1+p+q)-2 = -sintd-2, (9)
яке характеризує поверхню z=z(x,y)сталої від'ємної гаусової кривини
-d-2sint в декартових координатах R, де zx =p, zy=q, zxx=r, zxy=s, zyy=t. Нехай (x,y,z) i(x’,y’,z’)- координати точок p і p’(відповідно), а (x,y,z,p,q) і (x’,y’,z’,p’,q’)-відповідні елементи поверхонь. В цих позначеннях умови дотичного перетворення Біанкі-Лі-Беклунда приймають вигляд:
(x-x’)+(y-y’) +(z-z’) –d =0 ,
p(x-x’)+q(y-y’)-z+z’=0,
p(x-x’)+q(y-y’)-z+z’=0,
pp’+qq’+1- cost((1+p+q)(1+(p’)+(q’)))/2 =0
Беклунд і Ли довели, що це перетворення визначено тільки на поверхнях від'ємної гаусової кривини –dsint і допускається рівнянням (9), тобто перетворена поверхня S’вигляду z’=z’(x’,y’)також задовольняє рівнянню (9). Л.Біанкі показав за допомогою метода рухомого реперу, що для поверхонь сталої від'ємної зовнішньої кривини в сферичному або гіперболічному тривимірному просторі існує аналогічне перетворення. Цікавою є задача визначення перетворення Беклунда в глобальних координатах для просторових форм поряд з відповідним диференціальним рівнянням, що задає поверхню сталої зовнішньої кривини.
Теорема 4.3. Перетворення Біанкі-Лі-Беклунда в гіперболічному просторі H (-1)в моделі Пуанкаре з метрикою ds = (dx +dy +dz )z-2 описується системою рівнянь: (x-x’)+(y-y’) +(z-z’) –zz’coshd +z’ =0 ,
p(x-x’)+q(y-y’)-z+z’coshd =0,
p(x-x’)+q(y-y’)-zcoshd +z’=0, (10)
pp’+qq’+coshd- cost((1+p+q)(1+(p’)+(q’)))/2 =0.
Перетворення (10) визначено на поверхнях z=z(x,y)сталої зовнішньої кривини –sint sinhd i допускається рівнянням:
(1+p+q+z(r(1+q)-2pqs+t(1+p)+z(rt-s))(1+p+q)-2 = -sintsin d.
Аналогічна теорема 4.4. одержана для поверхонь сталої зовнішньої кривини в сфері S. У останьому підрозділі 4.3. досліджується бідотичне перетворення Біанкі підмноговиду сталої від'ємної секційної кривини Hn евклідoвого простору Rn. Перетворення Біанкі має важливу властивість, яка полягає в тому, що вектор ryn є спільним дотичним вектором до Hn і до l(Hn). Виходячи з цього, Ю.А.Амінов і А.Sym визначили бідотичне перетворення Біанкі для двовимірних псевдосферичних поверхонь евклідіва простору R. Нехай двовимірна поверхня H параметризована орісферичною системою координат (y ,y ) з метрикою ds = ey2 dy +dy і має радіус-вектор r(y,y). Говорять, що двовимірна поверхня l(H)з радіусом-вектором
R(y,y )=r(y ,y )-ry2 , одержується бідотичним перетворенням Біанкі з H, якщо вектор ry2 є також дотичним вектором до перетвореної поверхні l(H)в точці з координатами (y ,y ). Ю.А.Амінов і А.Sym довели, що в такому випадку перетворена поверхня l(H )також є псевдосферичною. В цьому підрозділі ми узагальнюємо дану властивість перетворення Біанкі на n-вимірні підмноговиди Hn сталої секційної кривини -1 в евклідoвому просторі Rn, доповнюючи умову бідотичності деякою умовою на коефіцієнти скруту базиса нормалей занурення.
Теорема 4.5. Нехай R=r-ryn - радіус-вектор регулярного бідотичного перетворення Біанкі псевдосферичного підмноговиду l(Hn ) евклідoвого простору Rn. Нехай n ,…, nn - ортонормований базис нормальних полей до Hn, причому nn - спільне нормальне векторне поле до Hn і до l(Hn). Якщо коефіціенти скруту mrs|i базиса задовольняють умові mrs|i =0 для 0<r,s<n ,то l(Hn ) має сталу секційну кривину -1.
ВИСНОВКИ
У дисертації розвинуто теорію підмноговидів однорідних
ріманових просторів, одержані результати доповнюють вже відомі в
теорії ізометричних занурень, гаусова образу і мінімальних
підмноговидів. Проведені дослідження дозволяють сформулювати
такі висновки.
. Доведена неможливість ізометричного занурення площини
Лобачевського H в евклідів простір Rn у вигляді гелікоідальної
поверхні, а також простору Лобачевського Hn в евклідів простір Rn+M
у вигляді мінімального підмноговиду з плоскою нормальною
зв'язнiстю.
. Доведена неможливість ізометричного занурення деяких три-
і чотиривимірних однорідних геометрій в евклідoвi простори у
вигляді гіперповерхонь.
. Повністю вирішена задача ізометричного занурення
тривимірних геометрій SL, Nil, Sol в чотирівимірний простір
сталої кривини.
. Одержані представлення поверхонь Іоахимсталя в S і H, а
також узагальнення теореми H.Wente для поверхонь сталої середньої
кривини з сім'єю плоских ліній кривини.
. Отримані аналоги теореми Е.Ruh-J.Vilms'a для гармонійних
гаусових відображень в S і H.
6. Доведена версія теореми J.Weiner'а про дотичну індикатрису
замкненої сферичної кривої в S і H.
7. Одержано узагальнення класичної теореми Ш.Делоне для
мінімальних поверхонь обертання в S і H.
8. Знайдено мінімальні лінійчаті поверхні в тривимірних
геометріях SxR, HxR, Nil, Sol.
9. Повністю описані мінімальні поверхні в R з гаусовим
образом сталої кривини.
. Встановлено зв'язок між багатовимірним перетворенням
Беклунда (в розумінні Tenenblat-Terng) і багатовимірним
перетворенням Біанкі (в розумінні Ю.А.Амінова).
. Отримані умови існування бідотичного перетворення Біанкі
псевдосферичних підмноговидів Hn в евклідовому просторі Rn.
Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і
можуть бути використані в теорії ізометричних занурень ріманових
многовидів, гармонійних відображень ріманових просторів і
мінімальних підмноговидів. Результати, що наведені в дисертації,
були використані в роботах Ю.А.Амінова,О.А.Борисенка,
А.Т.Фоменка і Дао Чонг Тхі, В.Т.Фоменка, В.О.Горькавого,
В.Т.Лисиці, А.Sym'a, M.Fujiki, М.Sakaki та інших вчених.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Масальцев Л.А. О геликоидальных поверхностях в
евклидовом пространстве // Укр. геометр. сборник, вып.26,-
Харьков: Изд. ХГУ, 1983- C.100-103.
. Масальцев Л.А. Минимальные поверхности в R, гауссов
образ которых имеет постоянную кривизну // Мат. заметки. -1984.
T.35, № 6, -C.927-932.
. Масальцев Л.А. О двумерных поверхностях с нулевым
нормальным кручением в E // Укр. геометр. сборник, вып.27, -
Харьков: Изд. ХГУ, 1984. -C.88-91.
. Масальцев Л.А. Псевдосферические конгруенции Бианки в En-1
// Мат. физика, анализ, геом. -1994.- T.1, № 3/4. -C.505-512.
. Масальцев Л.А. Преобразование Бианки-Ли-Беклунда в
пространствах постоянной кривизны // Мат. физика, анализ, геом. -
. -T.4, №1/2. -C.133-144.
. Калынюк Е.Г., Масальцев Л.А. Генератриса катеноида
вращения гиперболического пространства H // Доповіді НАН
України. -1998.-№ 7. -C.23-26.
. Масальцев Л.А. О минимальных подмногообразиях
постоянной кривизны в евклидовом пространстве // Известия
вузов,Математика. -1998. -№ 9. -C.64-65.
. Masaltsev L.A. Generatrix of catenoid of space 3-form // Мат.
физика, анализ, геом. -1999. -T.6, № 1/2. -C.81-99.
. Масальцев Л.А. Поверхности Иоахимсталя в S // Мат.
заметки. -2000. -T.67, № 2.-C.221-229.
. Масальцев Л.А. Поверхности с плоскими линиями кривизны
в пространстве Лобачевского // Известия вузов,Математика. -2001. -
№ 3. -C.39-46.
. Масальцев Л.А. Тантрисы кривых в пространствах
постоянной кривизны Sи H // Мат. физика, анализ, геом. -
.T.9, № 1. -C.66-78.
12. Масальцев Л.А. Вариант теоремы Ру-Вильмса для
поверхностей постоянной средней кривизны в S // Мат. заметки. -
. -T.73, № 1. -C.92-105.
. Масальцев Л.А., Петров Е.В. Минимальные поверхности в
группе Гейзенберга // Вiсник Харків.нац.унів. Серія "Математика.
прикл. матем. -2003. №602. -C.35-45.
. Масальцев Л.А. Гармонические свойства гауссовых
отображений в H // Укр. Мат. Журнал. -2003. - T.55, № 4. -C.489-
499.
15. Масальцев Л.А. Минимальные линейчатые поверхности в
трехмерных геометриях HxR и SxR // Известия
вузов,Математика. -2004. № 9. -C.46-52.
. Масальцев Л.А. Непогружаемость нилмногообразий в виде
гиперповерхностей в евклидово пространство // Мат. заметки. -2004.
T.76, № 6. -C.868-873.
. Масальцев Л.А., Петров Е.В. О стабильности минимальных
поверхностей в трехмерной группе Гейзенберга // Вiсник
Харків.нац.унів. Серія "Математика. прикл. матем. -2004. -№ 645.
C.135-141.
18. Масальцев Л.А. Об изометрическом погружении
трехмерных геометрий Nil, SL, Sol в четырехмерное пространство
постоянной кривизны // Укр. Мат. Журнал. -2005. T.57, № 3. -C.421-
426.
19. Масальцев Л.А. Бикасательное преобразование Бианки
подмногообразий постоянной отрицательной кривизны Hn
евклидова пространства Rn // Известия вузов, математика. -2005. -
№ 7. -C.43-48.
. Борисенко О.А., Ямпольский О.Л., Масальцев Л.О., Лейбіна
О.В. Геометрія підмноговидів у рiманових просторах //
Фундаментальні орієнтири науки. Математика, інформатика,
механіка, фізика та астрономія. Збрник статей за матеріалами
проектiв ДФФД. -K.: Академперіодика. 2005. -C.43-57.
21. Masaltsev L.A.. Minimal surfaces in the standard geometry Sol
// Journ. Mathem. Physics, Analysis, Geometry -2006.- T.2. № 1. -C.104-
110.
Тези доповідей
. Masaltsev L.A., Mashkov C.Ju. Addition to one theorem of Ch.
Delaunay // Сучасні проблеми математики. Материали міжнародної
наукової конференції. Частина 2. -Чернівці-Київ:Інст. математики
НАН України,1998. -C.115.
2. Masaltsev L.A. Bianchi -Lie-Backlund transformations in
threedimensional spaces of constant curvature // 4-th International
Congress of Geometry,Thessaloniki. May 26-June 1,1996, Abstracts of
contributions. Thessaloniki:Academy of Athens, 1996.-P.86.
3. Масальцев Л.А. Непогружаемость пространства
Лобачевского в евклидово в виде минимального подмногообразия с
плоской нормальной связностью // Международная геометрическая
школа-семинар памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, "Лиманчик", 27
сентября-4 октября 1996, Тезисы докладов. -Ростов-на-
Дону:МГУ,РГУ ,1996, - C.54-55.
4. Kaliniuk E.G, Masaltsev L.A. Generatrix of catenary of revolution
of hyperbolic space // Міжнародна конференція з геометрії "в цілому",
Черкаси, 8-13 вересня 1997, Тези доповідей. -Черкаси:ЧІТІ, 1997. -
C.22.
. Masaltsev L.A. Surfaces with flat lines of curature in
threedimensional space forms // 3-я Міжнародна конференція з
геометрії "в цілому", Черкаси, 29червня-4 липня 1999, Тези
доповідей. -Черкаси:ЧІТІ, 1999. -C.40-41.
6. Masaltsev L.A. On E.Ruh-J.Vilms theorem for surface of constant
mean curvature in // Тези доповідей 4-ї Міжнародної конференції з
геометрії і топології. -Черкаси: ЧІТІ, 2001, -C.61-62.
7. Masaltsev L.A. Harmonicity of the Hyperbolic Gauss Map for
cmc-1 Surfaces in // Second Russian-German Geometry Meeting
dedicatid to 90-anniversary of A.D.Alexandrov , Abstracts,
St.Peterburg,Russia, June 16-23. St.Petersburg: Petersburg depart. of
Steklov Inst. Mathem. 2002. -C.42-43.
8. Масальцев Л.А., Петров Е.В. Минимальные поверхности в
группе Гейзенберга // Тези доповідей 5-ї Міжнародної конференції з
геометрії і топології пам'яті О.В.Погорелова (1919-2002).-Черкаси:
ЧДТУ,2003. -C.79-80.
9. Masaltsev L.A., Petrov E.V. On Stability of Minimal Surfaces in
the Heisenberg group // First Karazin scientific Readings dedicated to the
bicentenary of the Karazin Kharkiv University, Mathematical
Symposium, Kharkiv, June 14-16. Kharkiv: Karazin Kharkiv Nation.
Univ., 2004. -P. 26.
10. Масальцев Л.А. Минимальные и вполне геодезические
поверхности в геометрии // Тези доповідей 6-ї Міжнародної
конференції з геометрії і топології. -Черкаси:ЧДТУ, 2005. -C.47.
АНОТАЦІЯ
МАСАЛЬЦЕВ Л.О. Геометрія багатовимірних
підмноговидів
однорідних ріманових просторів. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-
математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія і топологія.
- Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна
НАН України, Харків, 2006.
Дисертацію присвячено дослідженню геометрії підмноговидів
однорідних ріманових просторів. Розв'язано проблему
ізометричного занурення тривимірних геометрій Nil, SL, Sol в
чотиривимірний простір сталої кривини. Доведена неможливість
ізометричного занурення деякіх нілмноговидів в евклідів простір у
вигляді гіперповерхні. Знайдено представлення поверхонь
Іоахимсталя в сфері S і просторі Лобачевського H, а також
одержано узагальнення теореми H.Wente про поверхні сталої
середньої кривини з однією сім'єю плоских ліній кривини. Отримані
аналоги теореми E.Ruh-J.Vilms'a про гармонійність гаусова
відображення в просторах S і H. Для профільних кривих
катеноідів обертання в S і H з'ясовано спосіб їх побудови,
аналогічний класичній властивості генератриси катеноідів в
евклідовому просторі R. Знайдено всi повні мінімальні лінійчаті
поверхні в геометріях SxR i HxR. Знайдено і досліджено на
стабільність деякі мінімальні лінійчаті поверхні в геометріях Nil i
Sol. Повністю описані мінімальні поверхні в евклідовому просторі R
з гаусовим образом сталої кривини. Знайдено зв'язок між
багатовимірним перетворенням Біанкі (в сенсі Ю.А.Амінова) і
теорією псевдосферичних лінійних конгруенцій в евклідовому
просторі ( в сенсі K.Tenenblat i C.L.Terng). З'ясовано умови
існування бідотичного багатовимірного перетворення Біанкі (у
розумінні Ю.А.Амінова i A.Sym'a) в евклідовому просторі Rn.
Ключові слова: однорідні ріманови простори, ізометричні
занурення, поверхні сталої середньої кривини, гаусів образ,
гармонійні відображення, мінімальні поверхні, лінійчаті поверхні,
багатовимірне геометричне перетворення Біанкі.
АННОТАЦИЯ
МАСАЛЬЦЕВ Л.А. Геометрия многомерных
подмногообразий однородных римановых пространств. -
Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-
математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и
топология. - Физико-технический институт низких температур им.
Б.И.Веркина НАН Украины, Харьков, 2006.
Диссертация посвящена исследованию геометрии
подмногообразий однородных римановых пространств. Решена
проблема изометрического погружения трехмерных геометрий Nil, SL, Sol в четырехмерное пространство постоянной секционной
кривизны. Доказана невозможность изометрического
погружения плоскости Лобачевского H в евклидово пространство Rn
в виде регулярной геликоидальной поверхности. Показано, что
область многомерного протранства Лобачевского Hn не допускает
регулярного изометрического погружения с плоской нормальной
связностью в евклидово пространство Rn. Доказана невозможность
регулярного изометрического погружения (2n+1)-мерной
действительной группы Гейзенберга с произвольной
левоинвариантной метрикой в евклидово пространство в виде
гиперповерхности. Показано, что нилмногообразия Nil, NilxR, а
также некоторые другие однородные четырехмерные многообразия
не допускают изометрического погружения в евклидово
пространство R. Найдено представление поверхностей
Иоахимсталя в сфере S и пространстве Лобачевского H, а также
получено обобщение теоремы H.Wente о поверхностях постоянной
средней кривизны с одним семейством плоских линий кривизны.
Доказана теорема о гармоничности гауссова отображения для
поверхностей постоянной средней кривизны в сфере S, являющаяся
аналогом теоремы E.Ruh-J.Vilms'a о гармоничности гауссова
отображения в евклидовом пространстве. Гауссово отображение в
S при этом рассматривается как дифференциал левого сдвига в
группе единичных по норме кватернионов. Доказано, что гауссово
отображение поверхности в сфере S конформно тогда и только
тогда, когда поверхность вполне омбилична. Доказана теорема
жесткости для поверхности постоянной средней кривизны с
вырожденным гауссовым образом, т.е. показано, что в таком случае
поверхность изометрична тору Клиффорда. Для различных
вариантов гауссова отображения в пространстве Лобачевского
найдены классы поверхностей, для которых гауссово отображение
является гармоничным. Для профильных кривых катеноидов
вращения в S и Hвыяснен способ их построения, аналогичный
класическому свойству генератрисы катеноидов в евклидовом
пространстве R. Результаты Дж.Вайнера о касательной
индикатрисе замкнутой сферической кривой в евклидовом
пространстве R перенесены на случай сферы S и пространства
Лобачевского H. Исследованы поверхности четырехмерного
евклидова пространства R с нулевым нормальным кручением и с
постоянной отношением полуосей эллипса норальной кривизны.
Найдены все полные минимальные линейчатые поверхности в
геометриях SxR и HxR. Найдены и исследованы на устойчивость
некоторые минимальные линейчатые поверхности в геометриях Nil
и Sol. Полностью описаны минимальные поверхности в евклидовом
пространстве R с гауссовым образом постоянной кривизны.
Найдена связь между многомерным преобразованием Бианки (в
смысле Ю.А.Аминова) и теорией псевдосферических линейных
конгруенций в евклидовом пространстве Rn-1( в смысле K.Tenenblat
и C.L.Terng). Получены формулы для преобразования Бианки-Ли-
Беклунда в глобальных координатах для поверхностей постоянной
внешней кривизны в сфере S и в пространстве Лобачевского H.
Выяснены условия существования бикасательного многомерного
преобразования Бианки (в смысле Ю.А.Аминова, A.Sym'a) в
евклидовом пространстве Rn.
Ключевые слова: однородные римановы пространства,
изометрические погружения, поверхности постоянной средней
кривизны, гауссов образ, гармонические отображения, минимальные
поверхности, линейчатые поверхности, многомерное
геометрическое преобразование Бианки.
ABSTRACT
MASALTSEV L.A Geometry of multidimensional submanifolds
of homogeneous riemannian spaces. - Manuscript.
Thesis for Doctor degree by speciality 01.01.04 - geometry and
topology. - B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and
Engineering, NAS of Ukraine, Kharkiv, 2006.
The thesis is devoted to investigations of geometric properties of
submanifolds in homogeneous Riemannian spaces. The problem of
isometric immersions of three-dimensional geometries Nil, SL, Sol into
four-dimensional spaces of constant curvature is solved. We prove
the impossibility of isometric immersions of some nilmanifolds into
Euclidean space as hypersurfaces. We find a representation of
Ioachimstahl surfaces in the sphere S and in the Lobachevsky space H,
and also get generalization of H.Wente's theorem on surfaces of constant
mean curvature with one family of flat lines of curvature. Some analogs
of the E.Ruh-J.Vilms theorem on the harmonicity of Gauss map are
obtained in the spaces S and H. For the profile curves of catenoids of
rotation in S and H is proposed a method of its costruction, similar to
classical property. We find all complete ruled minimal surfaces in the
geometries SxR and HxR. Some minimal ruled surfaces in geometries
Nil and Sol are found and studed on stability. Minimal surfaces in
Euclidean space R with the Gauss image of constant curvature are
completely described. We find relation between the multidimensional
Bianchi transformation (in the sense of Ju.A.Aminov ) and the theory of
pseudospherical linear congruences in ( in the sense of K.Tenenblat
and C.L.Terng). Conditions for existence of bitangential
multidimensional Bianchi transformation (in the sense of Ju.A.Aminov
and A.Sym) in the Euclidean space Rn are found.
Key words: homogeneous Riemannian spaces, isometric
immersions, surfaces of constant mean curvature, Gauss image, harmonic
maps, minimal surfaces, ruled surfaces, multidimensional geometric
Bianhi transformation.