тематичний аналіз Розглянуто та схвалено
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ЛЕКЦІЯ № 6
з теми: «Інтегрування трансцендентних функцій.»
Модуль КЗН-02. ПР.О.03.07 Невизначений інтеграл.
Дисципліна: «Математичний аналіз»
|
Розглянуто та схвалено
на засіданні циклової
комісії інформаційних технологій та прикладної математики.
Протокол № ____ від _______20__ р.
Голова циклової
комісії ПМ Велікодна О. В.
|
Розробив викладач
Велікодна О. В.
|
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІІI
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Інтегрування трансцендентних функцій.
Мета:
- Дидактична: навчитися обчислювати первісну, володіти методами інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.
- Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.
- Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.
Тип: лекція
Вид: лекція – дослідження.
Методи та форми проведення заняття: словесні, наглядні, проблемно – пошукові.
Науково-методичне забезпечення:
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.
- Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.
- Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.
- Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.
Між предметні зв’язки:
- Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика
- Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.
Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.
ХІД ЗАНЯТТЯ
- Організаційна частина:
- відсутні;
- підготовка до заняття;
- перевірка д/з.
- Актуалізація опорних знань: визначення трансцендентних функцій, їх види та властивості, таблиця інтегралів, методи інтегрування.
- Вивчення нового матеріалу:
- Тема лекції: Інтегрування трансцендентних функцій.
- Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат – невизначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.
- План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.
- Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.
- Закріплення нового матеріалу.
- Підсумки заняття.
- Домашнє завдання:
Конспект лекції № 6.
Тема: «Інтегрування трансцендентних функцій.»
План лекції № 6.
- Інтеграли виду .
- Інтеграли виду .
- Інтеграли виду .
- Інтеграли виду зводиться підстановкою до інтегралу від раціональної функції. Користуючись формулами універсальної підстановки, маємо: , . Тоді маємо: . Підставляючи отримані вирази в даний інтеграл, маємо: = , тобто отримали інтеграл від раціональної функції. Також при обчисленні інтегралів типу часто доцільно використовувати підстановки . В деяких випадках інтегрування за допомогою цих підстановок надає можливість проводити менше обчислень, ніж при використанні універсальних підстановок.
- Інтеграли виду обчислюються в залежності від ступенів n та m. Розглянемо можливі випадки.
- n та m – раціональні числа. Тоді підстановкою чи інтеграл зводиться до виду інтеграла від диференційного біному. Дійсно, якщо , то . Тоді .
- якщо n та m – цілі числа, причому n – парне, m – непарне, то вводимо заміну та використовуємо основну тригонометричну тотожність . Дійсно, маємо = . Таким чином, отримали інтеграл від раціональної функції.
- якщо n та m – цілі числа, причому n – непарне, m –парне, то вводимо заміну та використовуємо основну тригонометричну тотожність . Дійсно, маємо = . Таким чином, отримали інтеграл від раціональної функції.
- якщо n та m – цілі числа, причому n – непарне, m –непарне, тобто n = 2k + 1, m = 2l + 1, то вводимо заміну . Дійсно, = Таким чином, отримали інтеграл від раціональної функції(k та l можуть бути від’ємними).
- якщо n та m – цілі числа, причому n –парне, m –парне, тобто n = 2k, m = 2l, то вводимо заміну чи заміну , та користуємось формулами зниження ступеня: , . При цьому отримаємо інтеграл того ж типу, але від функцій нижчого ступеня.
- Інтеграли виду обчислюються, якщо їх підінтегральні вирази спростити за формулами: ; ; .
Універсальна тригонометрична підстановка
Розглянемо деякі випадки знаходження інтеграла від тригонометричних функцій. Функцію із змінними і , над якими виконуються раціональні дії (додавання, віднімання, множення і ділення) прийнято позначати , де – знак раціональної функції.
Обчислення невизначених інтегралів типу зводиться до обчислення інтегралів від раціональної функції підстановкою , яка називається універсальною.
Дійсно.
Тому
де - раціональна функція від . Звичайно, цей спосіб досить громіздкий, зате він завжди приводить до результату.
На практиці застосовують і інші, більш прості підстановки, залежно від властивостей (і вигляду) підінтегральної функції. Зокрема, зручні наступні правила:
1) якщо функція непарна відносно , тобто , то підстановку раціоналізує інтеграл;
2) якщо функція непарна відносно , тобто , то виконується підстановка ;
3) якщо функція парна відносно і , тобто , то інтеграл раціоналізується підстановкою . Така ж підстановка застосовується, якщо інтеграл має вигляд .
Приклад 1. Знайти інтеграл
m Зробимо універсальну підстановку . Тоді, . Отже. l
Приклад 2. Знайти інтеграл .
m Оскільки
, то вважаємо . Звідси
, і .
Тому.l
Інтеграли виду
Для знаходження таких інтегралів використовуються наступні прийоми:
1) підстановка , якщо – ціле додатне непарне число;
2) підстановка , якщо – ціле додатне непарне число;
3) формули пониження порядку: , якщо і - цілі невід’ємні парні числа;
4) підстановка , якщо – є парне від’ємне ціле число.
Приклад 3. Знайти інтеграл .
m Застосуємо підстановку . Тоді , і
. l
Приклад 4. Знайти інтеграл .
m
.l
Приклад 5. Знайти інтеграл .
m Тут . Позначимо . Тоді , і
. l
Використання тригонометричних перетворень
Інтеграли типу , , обчислюються за допомогою відомих тригонометричних формул:
,
,
.
Приклад 6. Знайти інтеграл .
m .