Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Грищенко Олександр Юхимович
УДК 517.958: 519.6: 533.6
ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І ОПТИМІЗАЦІЯ ДИНАМІЧНИХ І РЕЛАКСАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ
01.05.02. – математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико – математичних наук
Київ 2003
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики факультету
кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка
Науковий консультант: доктор фізико–математичних наук,
професор Ляшко Сергій Іванович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
завідувач кафедри.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
професор Бєлов Юрій Анатолійович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
завідувач кафедри;
доктор фізико-математичних наук,
професор Ладіков – Роєв Юрій Павлович,
Інститут космічних досліджень НАН України і НКА України,
провідний науковий співробітник;
доктор фізико-математичних наук,
професор Данілін Юрій Михайлович,
Інститут прикладного та системного аналізу НАН
України та Міністерства освіти та науки України,
провідний науковий співробітник.
Провідна організація: Інститут кібернетики
імені В.М.Глушкова НАН України, відділ економічної кібернетики.
Захист відбудеться “20“ лютого 2003 р. на засіданні спеціалізованої
вченої ради Д 26. 001. 09 Київського національного університету
імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, Київ, пр. Глушкова, 2,
корп. 6, факультет кібернетики, ауд 40. (Тел. 252–58–83.
Факс 252–59–77. E–mail: rada@unicyb.kiev.ua)
З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Київського
національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:
01033, Київ, вул. Володимирська, 58.
Реферат розісланий “17” січня 2003 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.П.Шевченко
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Серед методів вивчення фізичних, економічних, соціальних процесів та керування відповідними процесами, провідне місце займають методи математичного моделювання. Об'єкти математичного моделювання в таких випадках описуються, як правило, системами лінійних, або частіше нелінійних, диференціальних рівнянь в частинних похідних, зокрема, їх праві частини можуть бути узагальненими функціями скінченного порядку. Значний внесок у розвиток методів розв'язування задач керування такими об'єктами зробили А.Бенсусан, Б.М.Бублик, А.Г.Бутковський, В.П.Діденко, А.І. Єгоров, Ж.–Л. Ліонс, С.І. Ляшко, О.Г. Наконечний, Ю.І. Самойленко, А.О. Чикрій та інші вчені. Побудові методів розв'язування задач оптимізації керування протіканням фізичних процесів присвячено роботи Ю.М. Єрмольєва, Ю.М. Даніліна, Б.Н. Пшеничного, Н.З. Шора та їх учнів. Методи розв'язування нелінійних крайових задач вивчались у роботах М.З. Згуровського, В.І. Іваненка, В.М. Кунцевича, В.С. Мельника. Розглянуті в дисертації методи моделювання процесів динаміки реальних в'язких рідин і газів описуються нелінійними системами та системами рівнянь Нав'є–Стокса. Ці методи було започатковано і розвинуто в роботах О.М.Бєлоцерковського, І.Ю.Брайловської, С.К.Годунова, Ю.М. Давидова, О.А.Ладиженської, Ж.–Л. Ліонса, Г.І. Марчука, О.А. Самарського, Р.Темама, Ф.Х. Харлоу, М.М. Яненка, їх послідовників.
Складні математичні моделі процесів гідродинаміки, фільтрації підземних вод та екологічних процесів, механіки деформованого середовища, економіки, космічної навігації, складних технічних комплексів тощо впроваджено у життя завдяки роботам українських учених І.І. Ляшка, І.В. Сергієнка, Я.М. Григоренка, Ю.А. Бєлова, В.С. Дейнеки, М.З. Згуровського, В.В. Скопецького, В.М. Кунцевича, А.І. Кухтенка, Ю.П. Ладікова–Роєва, І.М. Ляшенка та інших.
Швидкий розвиток прикладних галузей науки, виробництва, економіки та екології приводить до виникнення значної кількості нових актуальних задач динаміки й кінетики та ін., дослідження яких за допомогою фізичного експерименту вимагає великих матеріальних витрат, а неповна визначеність параметрів початкового стану та складні умови проведення роблять такий експеримент мало придатним для одержання достовірних результатів. Побудова математичних моделей для цих задач також потребує проведення ґрунтовних наукових досліджень і розробки нових методів.
Сьогодні чисельне моделювання нелінійних систем виділилось в окрему математичну галузь, що поєднує теоретичні дослідження з натурним та обчислювальним експериментом. Область дослідження методів чисельного моделювання утворюють класи задач, для яких безпосереднє застосування методів математичного моделювання, оптимізації та оптимального керування з тих чи інших причин неефективне, а застосування методів обчислювального експерименту в силу невизначеності початкової інформації у поставлених задачах приводить до складних і багатоваріантних розрахунків.
Складовими процесу чисельного моделювання є: детальний аналіз задачі; обґрунтована декомпозиція задачі на послідовність простіших та застосування до кожної з них методів математичного моделювання, оптимізації і керування; розробка нових ефективних чисельних методів або модифікація відомих; планування і проведення обчислювального експерименту та синтез моделі на основі одержаних частинних розв'язків.
Розробки нових методів моделювання для свого розв'язування потребують вирішення багатьох актуальних науково–технічних проблем, зокрема створення носіїв запису та збереження інформації на основі оптико – голографічного методу на тонких термопластичних середовищах; підвищення потужності, ефективності та розширення спектру випромінювання оптичних квантових генераторів (газодинамічних лазерів), які широко застосовуються в медицині, машинобудуванні, дослідженні екологічних процесів та ін. Їх моделі базуються на системах диференціальних рівняннях Нав'є–Стокса, доповнених рівняннями збереження як окремих видів, так і повної енергії газової суміші, хімічної та електронної кінетики атомів, електронів та іонів газу, променистого теплообміну та рівняннями стану з не повністю визначеними початковими параметрами системи. Дослідженню таких процесів присвячено праці Дж. Андерсона, М.Г. Басова, Ю.П. Гущо, С.А. Лосєва, М.Г. Находкіна, А.М. Прохорова, Р.И. Солоухіна, О.М. Суслова та інших.
Методи дослідження задач, побудованих на основі системи рівнянь Нав'є–Стокса, надзвичайно складні і мало розроблені. У роботах О.А. Ладиженської, Ж.–Л. Ліонса, Р.Темама досліджено лише окремі випадки проблеми існування та єдиності розв'язків таких задач. При використанні різницевих методів, які є домінуючими при розв'язуванні початково – крайових задач для систем Нав'є – Стокса та для рівнянь з узагальненими розв'язками, не існує загальних підходів із строгим обґрунтуванням введеної штучної в'язкості, оцінок похибок, стійкості та ін. Застосування більш обґрунтованих неявних різницевих схем у нелінійних задачах стримується необхідністю розв'язувати великі системи нелінійних різницевих рівнянь ітераційними методами. Умова збіжності ітераційного процесу накладає обмеження на вибір початкового наближення розв'язку, які адекватні умові стійкості явних схем.
Нерозв'язаність зазначених вище проблем і визначає актуальність розглянутих у дисертації задач побудови математичних моделей і чисельного моделювання та оптимізації складних динамічних і кінетичних процесів; розробки і обґрунтування методів оптимізації та оптимального керування системами з впливами з класів узагальнених функцій скінченного порядку, а також ефективних чисельних методів.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності з планом наукових досліджень кафедри обчислювальної математики Київ ського національного університету імені Тараса Шевченка, держбюджетних тем №01860061320 “Розробити обчислювальні методи розв'язування задач прикладної математики”; ДБ НДР №4/913 за Програмою фундаментальних і пошукових робіт від 7. 08. 1992 р. “Дослідження нерівноважних хімічно реагуючих потоків у каналах сталого і змінного перетину”; ДБ НДР 97061 № 197U003113 “Розробка і дослідження високоефективних методів чисельного розв'язку задач тепломасопереносу” та ДБ НДР 97066 №197U003114 “Узагальнене оптимальне керування лінійними системами в екології”.
Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова чисельних методів розв'язування крайових задач і задач оптимального керування, побудова архітектури чисельних моделей складних фізичних процесів з не повністю визначеними параметрами початкового стану та коефіцієнтами системи, розвинення теоретичних основ оптимізації та оптимального керування, а також побудова на цій теоретичній базі чисельних моделей дослідження сучасних проблем динаміки та кінетики в'язкої рідини і релаксаційної газової динаміки.
Для досягнення цієї мети в дисертації поставлено такі задачі:
дослідити проблему оптимізації та оптимального керування лінійними системами параболічного і гіперболічного типів рівнянь із впливом із класів узагальнених функцій скінченного порядку;
розробити й обґрунтувати ефективні чисельні алгоритми для класичних і узагальнених розв'язків задач переносу та розв'язку систем Нав'є – Стокса, а також для задач оптимального керування;
для побудови чисельних моделей складних фізичних процесів з не повністю визначеними коефіцієнтами системи рівнянь і параметрами початкового стану знайти формалізоване розвинення методу декомпозиції, в якому агреговані відображення моделі будуються на гіпотетичній основі;
побудувати математичні і чисельні моделі прикладних задач динаміки та кінетики в'язкої нестислої теплопровідної рідини та хімічно й електронно рекомбінуючих газів при гранично малих і гранично великих числах Рейнольдса в умовах неповного визначення параметрів початкового стану системи і коефіцієнтів її рівнянь при заданих обмеженнях на якість вихідного результату процесу;
спланувати і провести обчислювальний експеримент, визначити невідомі параметри, провести синтез моделей та відповідні чисельні розрахунки.
Наукова новизна одержаних результатів, що виносяться на захист, полягає в наступному.
– Запропоновано нові принципи побудови і архітектуру загальної чисельної моделі для складних фізичних процесів з не повністю визначеними коефіцієнтами системи і параметрами початкового стану процесу при заданих вимогах до результату протікання процесу. Ці принципи ґрунтуються на методі декомпозиції, введеній базовій системі фізичних гіпотез і аналізі критеріїв подібності.
– Базуючись на використанні нерівностей з негативними нормами, побудовано теорію оптимізації і оптимального керування лінійними системами із впливом з класів узагальнених функцій скінченного порядку. Доведено існування єдиного узагальненого розв'язку прямої і спряженої крайових задач для параболічних і гіперболічних рівнянь при наявності в них перших просторових похідних; визначено умови існування оптимального керування системою та встановлено необхідні умови екстремуму в задачах імпульсної оптимізації.
– Розроблено та обґрунтовано ефективні двокрокові алгоритми для розв'язування лінійних і нелінійних рівнянь і систем першого порядку, параболічних рівнянь і систем Нав'є – Стокса. Проведено ґрунтовне дослідження основних характеристик (консервативність, дисипативність, транспортивність та стійкість лінеаризованих схем), а також вивчено питання існування єдиного розв'язку задачі оптимального керування штучною в'язкістю в запропонованих двокрокових алгоритмах.
– Запропоновано ітераційні алгоритми для розв'язування систем рівнянь Нав'є – Стокса для нестислої рідини, де замість традиційного використання рівнянь руху та рівняння Пуассона для тиску, яке є наслідком рівняння нерозривності та рівнянь руху, застосовано новий підхід з явним використанням рівняння нерозривності, одного рівняння руху для обчислення значень компоненти швидкості та рівняння Пуассона для визначення тиску.
– Базуючись на одержаних теоретичних результатах побудовано і реалізовано дві нові математичні моделі динаміки проявлення прихованого голографічного зображення та моделі наскрізного моделювання газодинамічних і кінетичних процесів у системі “ударна труба – сопло”.
Достовірність одержаних теоретичних результатів забезпечується тим, що вони сформульовані у вигляді математично строго доведених теорем.
Практичне застосування одержаних результатів. Розроблені в дисертації схеми побудови чисельних моделей та методи їх реалізації дозволяють моделювати широкий клас фізичних процесів за умов неповної визначеності початкових станів і коефіцієнтів систем, а саме: задачі екології, гідро- і газової динаміки, теплофізики та ін.
Результати наукових досліджень автора використано при виконанні теми ДТНП 6.4.1. №0193U040549 “Інформаційно–моделюючий комплекс на ПЕОМ процесів кінетики хімічно активних речовин”; госпдоговірних НДР з Інститутом фізики АН України №78080938 “Решение задач истечения смесей химически неравновесных газов в каналах постоянного и переменного сечения, сопровождающегося излучением света”; з НДІ “Оріон” НДР № 01830042244 “Численный расчет диаграмм направленностей и профиля испарителя с ускоряющей насадкой”, НДР №01830079782 “Расчет профиля испарителя и его рабочих режимов для осаждения пленок золота с максимальной эффективностью”, НДР №01840078782 “Расчет эффективных испарителей для Au, Pt, Pd направленного действия с резким спадом вне зоны осаждения” та при виконанні НДР з НВО “Энергия” (Росія). Автор був науковим керівником названих тем. Одержано авторське свідоцтво №3948338/24-21 “Випаровувач для нанесення покриття у вакуумі”.
Запропоновані в роботі підходи та методи дослідження та алгоритми викладалися в ряді спеціальних курсів для студентів факультету кібернетики спеціальності “Прикладна математика”.
Особистий внесок автора. Всі основні результати дисертаційної роботи одержані особисто автором. У роботах, які написано у співавторстві, академіку НАН України Ляшку І.І. та науковому консультанту проф. Ляшку С.І. належать загальна постановка проблем, обговорення та інтерпретація результатів [2,3,9-11,23,28]; Веремейченку Г.М., Максименку Л.О., Молодцову О.І., Павлову В.А., Сухенку В.П. – дослідження фізичних аспектів постановки задач газової динаміки [1,3,4,6,7,11,25,32]; Барабашу Ю.М. та Заболотному М.А. [2,9, 26,29] – основні фізичні положення рельєфографії; Склеповому В.М. в [5] – постановка оберненої задачі, а в [23] - побудова різницевої схеми; Ляшку В.І., Попову О.В., Потапенку Л.І., Стелі О.Б. та Прохуру М.З в [2,4,15,20,21,24, 26,27–29,33,40] – проведення обчислювального експерименту та аналіз чисельних результатів; аспірантам Ляшко О.В., Оноцькому В.В., Цимбалюку О.П. та інженеру Башуцькій Т.В. [5,8,10,19,20] - написання і відладка програм для ЕОМ.
Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати наукових досліджень, які ввійшли в дисертацію, доповідались на таких наукових конференціях, симпозіумах та семінарах:
IV–VII Всесоюзні семінари “Численные методы решения задач фильтрации многофазной жидкости” (1980-1982); II–VII Республіканські наукові конференції “Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях” (1985–1989); Всесоюзна науково–технічна конференція “Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами” (1987, Одеса); Республіканська конференція “Полимерные органические полупроводники и регистрирующая середа” (1989 Київ); III–VI Міжнародні наукові конференції ім. академіка М.Кравчука (1994–1997, Київ); Міжнародна наукова конференція “Моделювання та дослідження стійкості систем” (1998, Київ), Міжнародна конференція “Оптимізація обчислень“ (1999, Київ); Міжнародна конференція “Обчислювальна та прикладна математика” (2002, Київ).
Матеріали дисертації обговорювались на наукових семінарах Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Національного технічного університету України ”КПІ”, Інституту проблем математичних машин та систем НАН України, Інституті космічних досліджень НАН України і НКА України, Інституті прикладного системного аналізу МОН України та НАН України та ін.
Публікації. За темою дисертації опубліковано 41 наукову працю. Основні результати дисертації викладено в 20 роботах, надрукованих у фахових виданнях ВАК України, одній монографії та одному авторському свідоцтві.
Структура та об'єм роботи. Дисертаціна робота складається з вступу, основної частини з семи розділів, висновків, списку використаних джерел з 279 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 320 сторінок, обсяг основного тексту 291 сторінок, ілюстрованих 79 рисунками та 6 таблицями.
Короткий зміст роботи.
У вступі обґрунтовано актуальність напрямку досліджень; сформульовано мету, задачі та методи досліджень; показано наукову новизну отриманих результатів та їх зв'язок із науковими програмами, планами та темами; відзначено їх практичну цінність; наведено відомості про апробацію; зроблено огляд основних наукових результатів в області дослідження дисертаційної роботи; описано послідовність викладу матеріалу дисертації.
У першому розділі для аналізу і побудови ієрархії складних динамічних і кінетичних процесів з не повністю визначеними коефіцієнтами рівнянь і параметрами початкового стану системи запропоновано узагальнення відомого методу декомпозиції, у якому аґреговані відображення реалізуються шляхом уведення виправданої фізичної системи гіпотез. Цей підхід засновано на аналізі безрозмірних критеріїв і введенні згідно з розробленими принципами базової системи фізичних гіпотез. Запропонований підхід дозволяє створити ієрархію простих у дослідженні допоміжних моделей для визначення необхідних для синтезу основної моделі коефіцієнтів рівнянь, параметрів початкового стану і функціональних зв'язків системи. При цьому реалізуються такі етапи.
За допомогою аналізу безрозмірних критеріїв подібності встановлюються домінуючі процеси.
Уводиться базова система гіпотез. На основі цієї системи проводиться аналіз і виділяється послідовність агрегованих допоміжних моделей різного рівня адекватності (розщеплення процесу за фізичними ознаками), які дозволяють знайти наближені значення невідомих параметрів і коефіцієнтів та установити межі дієздатності моделі.
Для дослідження допоміжних моделей застосовуються методи оптимізації, оптимального керування, обчислювальний експеримент та інші методи математичного моделювання.
Використовуються ефективні математично обґрунтовані чисельні методи для кожної агрегованої моделі, проводиться обчислювальний експеримент і встановлюються міжпараметричні зв'язки та зв'язки між допоміжними моделями й уточнюються необхідні параметри і коефіцієнти.
На основі одержаних результатів проводиться синтез чисельної моделі основної задачі та ітераційно уточнюються всі параметри і коефіцієнти.
В цьому розділі також запропоновано дві нові задачі моделювання динамічних і релаксаційних процесів при проявленні прихованого голографічного зображення та задачі дослідження робочого середовища газодинамічних лазерів, в яких моделюються газодинамічні і хімічно та електронно кінетичні процеси у надзвукових потоках газів. Обґрунтовано вибір етапів побудови фізичної й математичної постановок цих прикладних задач, зроблено аналіз і проведено декомпозицію основних моделей на послідовність агрегованих допоміжних. Наведено схему проведення обчислювального експерименту з використанням методів оптимального керування. Запропоновано алгоритм синтезу основних моделей.
У другому розділі з єдиних позицій, що базуються на використанні нерівностей із негативними нормами, будується теорія оптимізації лінійних систем із впливом із класів узагальнених функцій скінченного порядку.
Розглянуто функціонування системи, яка описується за допомогою лінійного диференціального рівняння
#, (2.1)
де # діє з # в підмножину # узагальнених функцій скінченного порядку l, в #,# з гладкою границею, #, # – слабко напівнеперервний знизу функціонал, визначений на множині допустимих керувань # з рефлексивного банахового простору.
Задача керованості, тобто можливість досягнення довільного стану системи (2.1) за рахунок допустимих впливів #, розв'язується за допомогою апарату оснащених гільбертових просторів і нерівностей із негативними і позитивними нормами. При цьому необхідно, щоб критерій якості # був визначений коректно на елементах #. Тобто, повинен існувати #, який переводить множину правих частин рівняння із простору # у відповідний простір станів.
Для дослідження питання єдиності розв'язку рівняння (2.1) використано ланцюжки банахових просторів відносно #, апарат апріорних оцінок та методики, запропоновані В.П.Діденком і розвинені в роботах С.І.Ляшка та його послідовників.
Із співвідношень
#, (2.2)
#, (2.3)
де # #– оператор, спряжений до #, #, # – гільбертові простори, для яких
#,
випливають достатні умови керованості у випадку, коли оператор # реалізує сюр'єктивне відображення #.
Нехай
# (2.4)
спряжена до (2.1) задача.
Визначення 1. Узагальненим розв'язком задачі (2.1) із правою частиною
# назвемо функцію #, для якої існує послідовність нескінченно диференційовних функцій # , таких, що вони задовольняють граничні умови досліджуваної задачі та
#.
Тут # _ простір лінійних обмежених функціоналів, побудований за просторами # і #.
Визначення 2. Узагальненим розв'язком задачі (2.1) із правою частиною # назвемо функцію #, для якої існує послідовність таких нескінченно диференційовних функцій # , що вони задовольняють граничні умови досліджуваної задачі та
#.
Узагальнений розв'язок спряженої задачі визначено аналогічно.
Вважаючи, що виконуються умови (2.2),(2.3), на основі теорем Хана–Банаха про поширення лінійних функціоналів та теореми Рісса – Шварца про подання лінійних неперервних функціоналів над гільбертовими просторами, доведено теореми 2.1–2.4, у яких встановлено існування єдиного узагальненого розв'язку
задач (2.1) і (2.4) для будь – яких #, # і # та #, де # простір лінійних обмежених функціоналів, побудований за # і #; #– простір лінійних неперервних функціоналів, двоїстий до # відносно #.
Використовуючи умови (2.2),(2.3), встановлено умови існування оптимального керування для задачі (2.1), які викладено в теоремі 2.5.
Теорема 2.5. Нехай стан системи # визначається як розв'язок задачі (2.1). Якщо 1) критерій якості # є слабко напівнеперервним знизу за станом системи # функціоналом, обмеженим знизу; 2) множина допустимих керувань # обмежена, замкнена і опукла; 3) # рефлексивний банаховий простір; 4) оператор # обмежений як оператор, що діє з # в #, та слабко неперервний; 5) для операторів # і # мають місце оцінки (2.2),(2.3),
то існує оптимальне керування системою (2.1).
Досліджуючи необхідні умови екстремуму в задачах імпульсного керування (2.1) із критерієм якості
#, (2.9)
встановлено, що цей критерій якості диференційовний за Гато в #, коли похідна за часом розв'язку спряженої задачі належить простору функцій, що неперервні за #.
В останньому параграфі розділу досліджується оптимальне імпульсне керування гіперболічними системами
#, (2.17)
е #, # обмежений оператор, який діє із # на весь простір правих частин (2.17),
#, (2.18)
# неперервно диференційовні, а # неперервна в області # функція, яка є достатньо регулярною в #;
#.
В лемах 2.1–2.4 доведено справедливість умов (2.2), (2.3) для задачі (2.17). Звідси встановлено справедливість теорем 2.1–2.5 для задачі (2.17).
Третій розділ присвячено розробці і дослідженню ефективних чисельних алгоритмів, пристосованих до рівнянь і систем, які застосовуються при моделюванні процесів переносу. Оскільки моделі, що досліджуються в роботі, включають як складові частини моделі конвективного переносу, теплопровідності і повні моделі переносу, то в цьому розділі детально досліджено чисельні алгоритми для відповідних початково–крайових задач для лінійних та квазілінійних рівнянь.
Так, для одновимірного гіперболічного рівняння першого порядку на сіткових множинах # і # двокроковий симетризований різницевий алгоритм записуємо у вигляді
# (3.3)
#. (3.4)
На кожному часовому кроці спочатку використовуються схеми (3.3) і явно знаходяться функції #в усіх точках #, а потім з (3.4) явно визначаємо # в решті точок. Ефективність таких алгоритмів полягає в тому, при їх застосуванні до лінійних задач не потрібно розв'язувати систему рівнянь, а для нелінійних задач, в гіршому випадку, замість системи нелінійних рівнянь з порядком, рівним кількості вузлових точок, необхідно розв'язати сукупність тієї ж кількості рівнянь, або сукупність систем нелінійних рівнянь значно меншого порядку і при цьому вони безумовно стійкі або умови їх стійкості значно простіші за умови для явних схем.
Для рівнянь конвективного переносу побудовано і досліджено двокрокові алгоритми, які базуються на апроксимації просторових похідних центральними різницевими схемами, схемами проти потоку, схемами з донорними комірками, а також алгоритми, де в явних схемах використано апроксимацію проти потоку, а в неявних – за потоком.
Однією з проблем при розв'язуванні різницевих задач для рівнянь першого порядку в обмежених областях є необхідність введення додаткових граничних умов. В роботі побудовано такі додаткові різницеві умови, які не змінюють фізичної суті задачі, не погіршують порядку апроксимації.
В теоремах 3.1, 3.4, 3.5, 3.8, 3.9, 3.12, 3.13 досліджено стійкість кожного з запропонованих алгоритмів. Для цього використано метод фон Неймана, принцип заморожених коефіцієнтів С.К. Годунова, рівність Парсеваля, оцінки коефіцієнтів переходу та побудовано необхідні допоміжні оцінки у гільбертовому просторі.
Теорема 3.1. Якщо величина кроку сітки # стала, або змінюється не частіше, ніж через парне число часових кроків, а початкова функція # може бути розвинена в абсолютно збіжний ряд Фур'є і # то при # двокроковий алгоритм (3.3)–(3.6) безумовно стійкий за початковими даними, а при # – умовно стійкий при #.
Теореми 3.2, 3.6, 3.10, 3.14, 3.17 встановлюють апроксимаційні та дисипативні якості алгоритмів. Властивості консервативності та транспортивності встановлено в теоремах 3.3, 3.4, 3.7, 3.14. 3.15 та 3.11, 3.14 відповідно. Тут використано метод диференціальних наближень, відповідні визначення та зроблено необхідні допоміжні оцінки.
Теорема 3.2. Двокроковий алгоритм (3.3)–(3.6):
1) при # апроксимує рівняння # з другим порядком, дисперсійний і бездисипативний, а при # – дисипативний і має сумарну похибку апроксимації #;
2) відносно еволюційного розв'язку задачі # він має похибку апроксимації #, а при його усталенні #.
Одержані результати адаптовано на випадок нелінійних і багатовимірних задач і проведено відповідні дослідження їх властивостей.
Доведені теореми і аналіз алгоритмів дозволили зробити рекомендації для використання того чи іншого алгоритму в конкретних умовах, а їх тестування підтвердило справедливість теоретичних досліджень.
Далі побудовано і досліджено ДС–алгоритми для лінійних і нелінійних моделей теплопровідності і переносу. Так, в області #, # чисельний розв'язок початково – крайової задачі для рівняння
#
при заданих початкових і граничних умовах знаходимо в сіткових областях # та # за допомогою сімейства двокрокових алгоритмів:
# в #;
# в#;
# в#;
# в #,
де #.
Теорема 3.20. Якщо функція початкового розподілу # розвивається в абсолютно збіжний ряд Фур'є, #, а параметр сталий або змінюються не частіше, ніж через парне число кроків, то:
1) наведений алгоритм для рівняння із сталими коефіцієнтами безумовно стійкий за початковими даними;
2) для рівнянь із змінними коефіцієнтами при # він локально безумовно стійкий.
Оскільки в моделях переносу часто використовується як дивергентний так і недивергентний запис конвективних членів, то в роботі запропоновано алгоритми для кожного з цих випадків, які базуються на центрально–різницевій апроксимації і апроксимації проти потоку цих членів.
В теоремах 3.18 – 3.22 досліджено стійкість уведених двокрокових алгоритмів для обмежених розв'язків, а в теоремі 3.23 – стійкість розв'язків, які мають обмежений порядок росту в часі. Апроксимацію законів збереження на сітці і консервативність алгоритмів при усталенні розв'язків досліджено в теоремах 3.24; 3.25, а в теоремах 3.26, 3.27 досліджено алгоритми з штучною в'язкістю.
Окремим пунктом виділено питання про введення штучної в'язкості в задачах газової динаміки. Цю задачу зведено до задачі керування. Використано теоретичні результати з розділу 2 і встановлено існування та єдиність розв'язку цієї задачі.
В четвертому розділі побудовано ДС–алгоритми для операторних рівнянь, які описують основні гідродинамічні процеси. Проведено дослідження алгоритмів в банахових просторах. В п.4.1 наведено необхідні визначення, твердження про точні і узагальнені розв'язки диференціальних і різницевих операторних рівнянь в банахових просторах. Обговорено різні умови стійкості. Введено простори періодичних або інтегровних з квадратом функцій та ізоморфні до них (за теоремами Рісса–Фішера та Планшереля) простори коефіцієнтів Фур'є цих функцій.
В п. 4.2 побудовано і досліджено ДС–алгоритми для процесів, які описуються операторним рівнянням
#, (4.33)
де #, # і # –# матриці з простору #; #, #, # та # –неперервні вектор–функції, #
На сітковій множині # введено простори сіткових функцій: # – аналог # і # –аналог # (#, # – банахові простори). Рівняння (4.33) апроксимується різницевими операторами
# в точках з #, (4.34)
# в точках з # , (4.35)
де #– різницева апроксимація #.
Теорема 4.1. Якщо # діє в комплексному векторному просторі # і #, а функція # рівномірно обмежена відносно # і #, крок сітки за часом сталий або змінюється не частіше ніж через парне число кроків, то двокроковий алгоритм (4.34),(4.35) безумовно стійкий.
Теорема 4.2. Для стійкості алгоритму (4.34), (4.35), побудованого для однорідного рівняння (4.33), достатньо, щоб #.
Якщо оператор # кососиметричний, то оцінка
#
одержана Г.І.Марчуком для схем Каранка–Ніколсона, випливає з теореми 4.2.
Далі оператору # надаються значення оператора переносу або оператора руху стислої чи нестислої рідини при використанні рівняння нерозривності. Для цих операторів побудовано відповідні апроксимуючі оператори # із центрально–різницевою і односторонньою апроксимацією просторових похідних із сталими і змінними матричними коефіцієнтами. В теоремах 4.3–4.6 досліджено умови стійкості цих алгоритмів. Доведення теорем проводиться шляхом перевірки виконання умов теорем 4.1; 4.2 та зауваження 4.1 для конкретних апроксимуючих операторів # в просторах коефіцієнтів Фур'є #.
Відзначено, що апроксимативні, дисипативні властивості та умови консер-вативності, встановлені в розділі 3, мають місце і для алгоритмів, розглянутих в цьому розділі.
П'ятий розділ присвячено побудові чисельної моделі проявлення прихованого голографічного зображення.
В області #, де #, #, #, розглянуто систему рівнянь Нав'є–Стокса
#
та рівняння балансу енергії
#
при заданих початкових умовах, умовах періодичності вздовж координати та граничних умовах на горизонтальних границях одного з двох типів:
1. #.
2. #.
Умови першого типу відповідають моделі утворення голографічного рельєфу під дією зовнішніх поверхневих сил, а умови другого – моделі процесу рельєфоутворення за допомогою теплового растру.
У результаті моделювання визначенню підлягають внутрішні #, # і зовнішні параметри # і потужність джерела # таким чином, щоб в момент часу # (або при усталенні)
#
де #– задана функція, а час оптимального проявлення # визначається з умов, що для заданої просторової частоти опромінювання в момент # утворюється максимальна амплітуда рельєфу поверхні.
Постановка задачі динаміки в'язкої рідини і кінетики росту рельєфу поверхні термопластичного середовища під дією зовнішніх поверхневих і об'ємних сил, зроблена автором у вигляді наведеної системи, є узагальненням відомої постановки. В ній, на відміну від загальноприйнятої постановки, розглядається система рівнянь Нав'є–Стокса спільно з рівнянням енергетичного балансу, яке враховує багатошаровість середовища, вплив зосередженого джерела теплоти і кінетичної енергії системи. Модель процесу відтворення оптичного зображення інформації на термопластичних носіях за допомогою об'ємного теплового растру запропоновано автором в [9].
Використовуючи базову систему фізичних гіпотез, побудовано ієрархію допоміжних моделей. За допомогою лінійної та нелінійної моделі руху термопластичного середовища в ізотермічному режимі при сталій в'язкості при використанні обчислювального експерименту встановлено границі зміни величини в'язкості середовища, допустимі для протікання процесу рельєфоутворення, і межі застосування лінійної моделі. Обчислено динамічні характеристики потоку та кінетику росту рельєфу зображення. Аналіз впливу величини градієнта в'язкості вздовж вертикальної координати на швидкість росту рельєфу поверхні і порівняння обчислених і експериментальних даних дозволили виділити класи апроксимуючих в'язкість функцій, при яких процес відтворюється найбільш повно.
Проведено порівняльний кількісний і якісний аналіз одержаних результатів для простіших моделей з результатами, які отримані за допомогою аналітичних методів і запропонованих двокрокових алгоритмів.
Незначний внесок кінетичної енергії системи в загальний баланс енергії дозволяє виділити в окрему задачу моделювання теплового поля під дією зовнішнього зосередженого джерела, дослідити її і визначити вплив потужності джерела і початкового розподілу температури на динаміку теплового поля.
У п. 5.6 проведено теоретичні дослідження існування узагальненого роз-в'язку задачі теплопровідності із зосередженим джерелом. Окремим пунктом розглянуто питання існування узагальненого розв'язку задачі теплопровідності. Оскільки для наведеної задачі:
1) область # обмежена границею #, неперервною за умовою Ліпшиця;
2) # і # – вимірні і обмежені функції в #, # задовольняють умову рівномірної еліптичності, а #;
3) функція # є слідом на границю # функції з #, визначеної в усій області #;
4) #;
5) # – обмежена і вимірна функція,
то, як доведено в роботах О.А. Самарського та В.Л.Макарова, при цих умовах існує один узагальнений розв'язок задачі теплопровідності з простору #.
Різницеву схему для рівняння з узагальненим розв'язком побудовано за допомогою фінітних функцій # і оператора усереднення Стєклова. Шляхом розширення області визначення розв'язку задачу з умовами третього роду зведено до задачі Діріхле. Показано, що постановка такої задачі задовольняє умови теорем про збіжність і швидкість збіжності різницевих схем, доведених в роботах І.І.Ляшка. Запропоновані чисельні алгоритми дозволяють провести детальний аналіз крайової задачі утворення теплового поля.
При побудові моделі візуалізації зображення за допомогою теплового растрування необхідно знати оптимальний режим функціонування джерела розігріву та час, за який температура поверхні ТПС оптимально наближує задану функцію розподілу. Для з'ясування цього питання в п. 5.7 поставлено задачу оптимального керування, яка полягає в мінімізації функціоналу
#,
в якому # є розв'язком рівняння
#
в області # з розривним на лінії # коефіцієнтом # при # з відповідними граничними і початковими умовами, де час # залежить від потужності імпульсу, # – джерельна функція. Поставлену задачу керування джерелом розв'язано ітераційним шляхом, визначено оптимальну потужність, оптимальний режим функціонування джерела розігріву термопластичного шару при створенні теплового растру та час, за який температура на поверхні середовища оптимально наближує задану функцію розподілу.
Далі за допомогою агрегованих моделей встановлено міжпараметричні зв'язки і визначено наближені значення початкового стану системи. Це дозволило значно зменшити кількість циклів обчислювального експерименту і параметричних досліджень складних основних математичних моделей, які включають систему рівнянь Нав'є–Стокса, доповнену рівнянням балансу теплової енергії.
Для проведення обчислювального експерименту з основними моделями обґрунтовано і використано два чисельні алгоритми, в яких:
1) поле швидкості і температурне поле визначаються при застосуванні введених двокрокових алгоритмів, а тиск визначається із рівняння Пуассона;
2) побудовано нові дво– і тришарові ітераційні алгоритми, в яких для визначення проекцій вектора швидкості використано рівняння нерозривності разом з одним рівнянням руху, для знаходження тиску записано рівняння Пуассона, а для температури – рівняння балансу енергії. Ці алгоритми забезпечують точне виконання закону збереження речовини.
Шостий розділ присвячено моделюванню течій дисоціюючого і хімічно рекомбінуючого газу в ударній трубі і соплі в квазіодновимірному наближенні.
Вважаємо, що процеси енерго– і масообміну та обміну імпульсами між газодинамічною системою і зовнішнім середовищем відсутні. Враховуючи закони збереження на фронті падаючої та відбитої ударної хвилі та хімічні властивості газу, записано систему рівнянь, з якої можна визначити необхідні значення динамічних і теплофізичних параметрів початкового стану системи та залежності між її параметрами. Розрахунки дозволили встановити ті гази, для яких процес дисоціації відбувається інтенсивно, забезпечуючи необхідну кількість дисоціюючих молекул, здатних при реакції рекомбінації створити умови для лазерного випромінювання. Встановлено швидкості падаючих ударних хвиль, які забезпечують достатній ступінь дисоціації за відбитою хвилею та параметри газу за відбитою ударною хвилею, які приймаються як початкові наближення для подальших розрахунків.
Для повного врахування всіх динамічних і теплофізичних факторів процесу в ударній трубі модель повинна враховувати граничні умови. Цього можна досягти, використовуючи двовимірні моделі, які є якісним наближенням реальних пристроїв з каналами прямокутного перетину з висотою значно меншою від ширини. Невідомі початкові і граничні умови для цієї моделі визначаються як параметри еволюційної квазіодновимірної моделі потоку реагуючого газу. Чисельна реалізація цієї моделі дозволяє визначити всі параметри газу за фронтом падаючої та відбитої ударних хвиль, оцінити час, протягом якого ці параметри на вході в сопло сталі; розрахувати необхідні вхідні параметри для двовимірної моделі.
Двовимірна модель базується на системі рівнянь Нав'є – Стокса
#.
Для чисельної реалізації цієї моделі розроблено модифікацію двокрокових алгоритмів для розв'язування системи рівнянь Нав'є-Стокса. З метою практичного контролю точності запропонованого алгоритму проведено паралельні розрахунки одного з варіантів за допомогою явного методу Мак–Кормака. Результати порівняння показали, що для досягнення заданої точності усталення розв'язку запропонований двокроковий алгоритм у порівнянні з методом Мак–Кормака при одних і тих же витратах на розрахунок одного кроку вимагає майже в 6 разів менше часових кроків.
Результати обчислювального експерименту дозволяють визначити невідомі параметри, початкові наближення для наступних моделей, зробити якісні висновки та вказати шляхи уточнення моделі.
Далі для дослідження процесів хімічної рекомбінації у надзвукових соплах розглянуто дві квазіодновимірні моделі: для прямої задачі про сопло та задачі наскрізного розрахунку газодинамічних і релаксаційних параметрів в надзвуковому соплі. При цьому використано різні моделі станів газу.
Наявність інформації про розташування критичного перерізу сопла, про динамічні параметри потоку і концентрацію атомарного газу в цьому перерізі дозволяють будувати розв'язок прямої задачі.
Основна модель цієї задачі має вигляд #,
де вектори #,# та # визначаються подібно до введених вище.
Цю задачу розв'язано за допомогою вище введеного двокрокового алгоритму і модифікованого методу Лакса–Вендроффа, в якому права частина жорсткого кінетичного рівняння апроксимується неявною схемою.
Якщо в критичному перетині необхідні параметри невідомі, то проводиться наскрізне моделювання, на першому етапі якого розглядається обернена задача і знаходиться профіль дозвукової частини сопла, положення критичної точки і значення газодинамічних і релаксаційних параметрів в дозвуковій області. Далі розв'язується пряма задача про надзвукове сопло з урахуванням протікання процесів хімічної кінетики.
Метою розв'язування цих задач є уточнення коефіцієнтів релаксації при протіканні реакції рекомбінації та визначення газодинамічних і кінетичних параметрів надзвукового потоку, які описують стан робочого середовища лазера. Одержані результати використовуються як вхідні дані при розгляді основної двовимірної моделі при дослідженні електронної кінетики для оптичних квантових генераторів на фотопереходах.
Завдяки запропонованим обчислювальним алгоритмам проведено багатоваріантні розрахунки, які дозволили визначити вузькі межі зміни коефіцієнтів швидкості протікання кінетичних процесів і обчислити всі необхідні параметри релаксуючого надзвукового газового потоку у квазіодновимірних соплах. Результати чисельного моделювання відображено в таблицях та на графіках.
У сьомому розділі побудовано чисельні моделі середовищ для оптичних квантових генераторів, які працюють на електронних переходах. Розглянуто модель плоскопаралельного руху газу в надзвукових соплах, яку побудовано на основі повної системи рівнянь Нав'є–Стокса для в'язкого стислого теплопровідного газу
#
і доповнено рівняннями хімічної та електронної кінетики, переносу променистої енергії та іншими допоміжними рівняннями
#.
Чотирикомпонентну модель електронної кінетики побудовано на основі системи реакцій заселення і релаксації збуджених станів електронних рівнів у ході тричасткової рекомбінації атомів хлору. Вона має вигляд
#.
В молекулах хлору найбільшу ймовірність мають електронні переходи на 10-й і 11-й коливальні рівні основного стану. Швидкості утворення маси компонент за рахунок хімічних реакцій визначаються з системи
#.
Безпосередній вклад у протікання процесу електронної кінетики кожного з параметрів загальної моделі далеко не рівноцінний. Для встановлення факторів, які вносять суттєвий вклад в цей процес, проведено обезрозмірювання системи і зроблено аналіз безрозмірних критеріїв. Враховуючи характерні значення параметрів газодинамічних і теплових потоків випромінювання, обчислено значення чисел Рейнольдса, Пекле, Прандтля, Старка, Бугера, число тиску поля випромінювання та релятивістський параметр. Шляхом співставлення їх величин оцінено реальний вклад кожного динамічного і кінетичного параметра на протікання процесу.
Для спрощення побудови різницевих схем геометричну область сопла конформно відображено на прямокутник. Враховуючи результати аналізу обезрозмірених параметрів, після відображення області і відповідних перетворень рівнянь системи математичну модель остаточно записано у нових змінних
#.
До одержаної моделі застосовано модифікований для застосування до системи Нав'є–Стокса двокроковий алгоритм та двокрокову схему Браіловської
#.
Враховуючи незначний вплив розв'язку рівняння переносу випромінювання на функціонування основної системи рівнянь, для дослідження процесу переносу променистої енергії побудовано самостійну модель, в яку входять визначені уже газодинамічні параметри.
За допомогою моделей нижчого рівня одержано достатньо точні наближення коефіцієнтів реакцій і параметрів, які визначають початковий стан системи. Їх використання дозволило провести ефективний обчислювальний експеримент і визначити розподіл ступеня дисоціації молекул хлору, об'ємних концентрацій збуджених 10-го, 11-го та основного рівнів електронної енергії, значення коефіцієнта підсилення лазера та області сопла, де цей коефіцієнт максимальний.
Величина коефіцієнта корисної дії газодинамічного лазера є добутком величини теплової енергії, яка вкладена в газ, коефіцієнта корисної дії заморожування при нерівноважному розширенні газової суміші в надзвуковому соплі та коефіцієнта корисної дії одержання енергії у вигляді лазерного випромінювання в резонаторі. Але ефективність заморожування газової суміші в соплах таких лазерів падає при підвищенні параметрів гальмування. Це можна пояснити існуванням деяких границь зміни параметрів температури і тиску гальмування, які є зоною найкращого сприяння. Одним із способів підвищення ефективності робочого середовища лазера є заморожування суміші і збільшення ступеня розширення потоку. Але при цьому зменшується число Рейнольдса, що приводить до збільшення втрат за рахунок в'язкості, а отже, до зменшення ефективності випромінювання лазерної енергії в резонаторі. Отже, для підвищення ефективності роботи звичайних газодинамічних лазерів необхідно знаходити деякі оптимальні характеристики для трьох перелічених суперечливих факторів.
Ефективність роботи лазера можна також підвищити завдяки селективному тепловому збудженню і змішуванню хімічно реагуючих надзвукових газових потоків у надзвуковому соплі. Задача зводиться до дослідження впливу параметрів змішуваних потоків і геометрії області змішування на величину інверсії заселеностей і коефіцієнта оптичного підсилення фоторекомбінаційних лазерів. Для цього вище введену двовимірну модель доповнено моделями умов вдування і змішування газів. У більшості робіт при дослідженні таких задач вважається, що змішування газових потоків відбувається миттєво. Це приводить до значно завищених результатів. Розглянуті в дисертації моделі змішування базуються на гіпотезах, що підмішування до основного потоку відбувається на малому проміжку стінки сопла, вдування газу відбувається в напрямі нормалі до площини симетрії сопла, потоки ламінарні. Оскільки граничні умови на проміжку змішування істотно залежать від взаємодії змішуваних газів, то вони розглядаються окремо для випадку взаємодії двох однорідних взаємно хімічно не реагуючих потоків і для випадку змішування хімічно реагуючих потоків. У першому випадку виходимо з близьких до реальних умов припущень: течія потоку, який вдувається з нескінченості до самого зрізу вдування, є адіабатичною, вона описується одновимірними рівняннями газової динаміки нев'язкого досконалого газу, в яких урахувано протікання рівноважних хімічних реакцій. Тоді параметри основного потоку на границі змішування повинні задовольняти співвідношення:
#.
При взаємодії двох хімічно реагуючих газових потоків, виходячи із зроблених припущень, на границі змішування маємо, що течія рівноважної суміші, що вдувається до самого зрізу вдування, ізотермічна і описується одновимірними рівняннями газової динаміки досконалого нев'язкого газу з урахуванням рівноважних хімічних реакцій:
#.
Незважаючи на те, що модель змішування двох потоків у надзвукових соп-лах фоторекомбінаційних лазерів формально відрізняється від моделі нерівноважного розширення реагуючого газу в соплі звичайного лазера лише постановкою граничних умов на відрізку змішування, чисельне моделювання задачі пов'язано принаймні з двома додатковими труднощами. По–перше, змішування потоків з різними температурними режимами і різними густинами приводить в зоні змішування компонент до значних градієнтів газодинамічних параметрів. По–друге, у випадку взаємодії двох хімічно реагуючих газових потоків збільшується число жорстких рівнянь кінетики для компонент суміші, а це приводить до додаткових обмежень на крок інтегрування вихідної системи.
Для чисельного моделювання змішування потоків у надзвукових соплах газодинамічних лазерів використано ті ж самі двокрокові різницеві схеми, що й при моделюванні задачі без змішування. При побудові різницевої схеми у даному випадку враховано виникнення великих градієнтів параметрів газу в зоні змішування потоків. Цю область (приблизно 3–7 мм від мінімального перерізу сопла) покриваємо сіткою з меншим кроком. Нелінійну систему рівнянь для визначення умов на границі змішування потоків розв'язано методом Ньютона.
При постановці задачі нерівноважного розширення потоку газу в надзвукових соплах граничні умови на виході із сопла не ставляться. Але при чисельному розв'язуванні цих задач різницевий метод потребує введення додаткових умов на виході з сопла. У даному випадку вони задаються як умови екстраполяції.
Згідно побудованих моделей проведено адаптивні обчислювальні експерименти. Зворотним зв'язком для такого процесу стали наслідки, зроблені при дослідженні агрегованих за допомогою гіпотетичного підходу моделей. Ітераційним шляхом встановлено всі необхідні для відновлення основної моделі параметри і проведено обчислення робочих параметрів оптичних квантових генераторів. Результати обчислювального експерименту наведено у вигляді графіків. Якісний і кількісний аналіз цих результатів дозволяє зробити низку практичних висновків і рекомендацій.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота є новим комплексним дослідженням, що розв'язує важливу наукову проблему побудови та аналізу чисельних моделей динаміки та кінетики складних фізичних процесів.
У дисертації:
побудовано теоретичні основи методів оптимізації та оптимального керування із впливами з класів узагальнених функцій скінченного порядку;
розроблено та досліджено нові ефективні чисельні методи розв'язування крайових задач та задач оптимального керування;
розроблено нові принципи побудови ієрархії та архітектури чисельних моделей складних фізичних процесів в умовах неповного визначення параметрів початкового стану та коефіцієнтів системи.
Основними результатами дослідження є такі :
1. Досліджено проблему оптимізації та оптимального керування лінійними системами параболічного і гіперболічного типів рівнянь із впливом з класів узагальнених функцій скінченного порядку:
– доведено існування єдиного узагальненого розв'язку прямої (при #, #) і спряженої при (#, #) крайових задач для параболічних рівнянь, які містять перші просторові похідні;
– побудовано апріорні оцінки, з яких випливає існування єдиного розв'язку задач імпульсного керування гіперболічними системами, які містять перші просторові похідні;
– встановлено необхідні умови екстремуму функціоналу якості.
2. Розроблено й обґрунтовано ефективні чисельні алгоритми для пошук класичних і узагальнених розв'язків крайових задач, а також для задач оптимального керування:
– побудовано клас ефективних двокрокових алгоритмів для розв'язування лінійних і нелінійних різницевих рівнянь масопереносу та систем Нав'є–Стокса;
– досліджено основні характеристики чисельних розв'язків, одержаних за допомогою цих алгоритмів (дисипативність, консервативність, транспортивність);
– встановлено умови стійкості лінеаризованих алгоритмів;
– доведено існування єдиного розв'язку задачі оптимального керування штучною в'язкістю;
– побудовано клас ефективних за швидкодією двокрокових алгоритмів для операторних рівнянь параболічного типу другого порядку без змішаних похідних;
– встановлено умови стійкості побудованих алгоритмів в гільбертовому просторі;
– розроблено апроксимації двокрокових алгоритмів для задач динаміки в'язких і нев'язких рідин і газів;
– побудовано дво– і тришарові ітераційні алгоритми для розв'язування систем рівнянь Нав'є–Стокса для нестислої рідини, де замість традиційного використання рівнянь руху та рівняння Пуассона для тиску застосовано новий підхід з безпосереднім використанням рівняння нерозривності, одного рівняння руху та рівняння Пуассона для визначення тиску.
3. Узагальнено метод декомпозиції для аналізу і побудови ієрархії чисельних моделей складних фізичних процесів в умовах невизначеності параметрів початкового стану і коефіцієнтів системи:
– уведено поняття базової системи фізичних гіпотез, на яких ґрунтується аналіз і розщеплення основної задачі на послідовність агрегованих моделей;
– для визначення ступеня впливу фізичних факторів на протікання процесу використано аналіз безрозмірних критеріїв подібності.
4. Використовуючи одержані теоретичні результати, побудовано і досліджено моделі складних прикладних динамічних і кінетичних процесів у в'язких рідинах і релаксуючих газах при гранично великих або гранично малих числах Рейнольдса, які базуються на системах рівнянь Нав'є–Стокса з не повністю визначеними параметрами:
– запропоновано нові математичні моделі візуалізації прихованого голографічного зображення та модель наскрізного дослідження процесу створення робочого середовища газодинамічних лазерів;
– обґрунтовано ієрархію агрегованих моделей процесів візуалізації голографічного зображення та процесів динаміки та кінетики хімічно і електронно релаксуючих газових потоків в системі “ударна труба – сопло”;
– розв'язано задачу оптимального керування тепловим джерелом в термопластичному середовищі й визначено параметри його оптимального функціонування.
5. Сплановано й проведено ітераційно–адаптивний обчислювальний експеримент, який ґрунтується на висновках, одержаних при дослідженні допоміжних, агрегованих на основі запропонованого гіпотетичного підходу, моделей.
– відновлено невідомі початкові параметри і коефіцієнти системи;
– побудовано чисельні моделі процесів проявлення прихованого голографічного зображення під дією зовнішніх сил та теплового растру і моделі робочих середовищ газодинамічних лазерів, які базуються на основі хімічної та електронної кінетики в надзвукових потоках;
розв'язано задачу підвищення ефективності лазерної генерації при змішуванні та селективному тепловому збудженні надзвукових газових потоків.
ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В ТАКИХ ПРАЦЯХ:
Грищенко А.Ю., Максименко Л.А., Сухенко В.П. Процессы возбуждения внутренних степеней свободы в газах за отраженной ударной волной // Вычислительная и прикладная математика. – Киев,1981. - Вып. 44. – C. 71-74.
Ляшко І.І., Грищенко О.Ю., Заболотний М.А., Потапенко Л.І. Чисельний розв'язок задачі проявлення прихованого зображення в термопластичних середовищах у випадку змінної в'язкості деформованого шару // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1984.- № 12 – С. 42-45.
Ляшко І.І., Грищенко О.Ю., Молодцов О.І., Сухенко В.П. Електронно-хімічна релаксація в'язкого реагуючого газу в двомірних плоских соплах // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1984. - № 11. – С. 39–43.
Грищенко О.Ю., Максименко Л.О., Павлов В.А., Попов О.В., Сухенко В.П. Нерівноважне розширення газу в соплах // Вісник Київського університету. Сер. математика і механіка. – 1985. - Вип 26. – С. 18–22.
Башуцкая Т.В., Грищенко А.Е., Склеповой В.Н. Об одном подходе в численном моделировании динамики реагирующих газов в соплах // Вычислительная и прикладная математика. – Киев, 1986. – Вып.58. –С. 89–95.
Грищенко А.Е., Веремейченко Г.Н. А.С. 1334760 МКИ3 с236 14/26, СССР, №3948338/24-21 1986. //Авторское свидетельство “Испаритель для нанесения покрытий в вакууме”.
Грищенко А.Е, Веремейченко Г.Н, Сухенко В.П, Молодцов А.И. Численный расчет диаграмм направленностей и профилей испарителей с ускоряющей насадкой // Вычислительная и прикладная математика. – Киев, 1986. - Вып.59. - С. 70–76.
Грищенко О.Ю., Ляшко О.В. Алгоритм розв'язування нелінійних крайових задач // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1987. - № 9 – С. 15–18.
Ляшко І.І., Барабаш Ю.М., Грищенко О.Ю., Заболотний М.А., Прохур М.З. Моделювання візуалізації теплового растра в плівках ньютонівських рідин // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1987. - № 12. –С. 35-38.
Ляшко И.И., Грищенко А.Е., Прохур Н.З., Цымбалюк О.П. Численное моделирование гидродинамики и теплофизики рельефографических процессов // Вычислительная и прикладная математика. – Киев, 1989. - Вып. 68. - С. 100–107.
Грищенко О.Ю, Ляшко С.І, Молодцов О.І. Чисельне моделювання процесів релаксаційної газової динаміки. – Київ:ІЗМН Віпол, 1997. - 222 с. (13,02 друк. арк.)
Грищенко О.Ю. Дослідження одного чисельного алгоритму нелінійної моделі переносу // Обчисл. та прикладна матем. – 1997. - Вип.1(81) – С. 25–32.
Грищенко О.Ю. Про один чисельний алгоритм моделювання процесів проявлення зображення в рельєфографії // Журнал обчисл. та прикладної матем. – 1997. - Вип. 2 (82). – С. 18–23.
Грищенко О.Ю. Абсолютно стійкий чисельний алгоритм для гіперболічних рівнянь першого порядку // Вісник Київського університету. Серія фіз.–мат. науки. – 1998. - Вип. 2. – С. 202–208.
Грищенко О.Ю., Потапенко Л.І., Стеля О.Б. Моделювання оптимального температурного поля в термопластичному середовищі // Журнал обчисл. та прикладної матем. – 1998. - Вип. 1 (83). – С. 23–25.
Грищенко О.Ю. Клас консервативних при стабілізації чисельних алгоритмів моделювання процесів переносу // Журнал обчисл. та прикладної матем. – 1999. - Вип.1, – С. 41-47.
Грищенко О.Ю. ДС–різницеві алгоритми для крайових задач переносу з правими частинами, лінійно залежними від розв'язку // Волинський математичний вісник. - 1999.- Вип. 6. – С. 53–56.
Грищенко О.Ю. ДС–різницеві алгоритми розв'язування крайових задач для параболічних рівнянь другого порядку // Вісник Київського університету. Серія фіз.–мат. науки. – 2000. - В.1. – С. 227–231.
Грищенко О.Ю., Оноцький В.В. Дисипативність двокрокових симетризованих алгоритмів для гіперболічних рівнянь переносу // Вісник Київського університету. Сер. фіз.–мат. науки. - 2000. - Вип. 4. – С. 173–181.
Грищенко О.Ю., Ляшко В.І., Оноцький В.В. Двокрокові різницеві алгоритми для гіперболічних рівнянь першого порядку з керованою в'язкістю // Журнал обчисл. та прикладної матем. – 2001. - Вип. 1 (86). – С. 20–28.
Грищенко О.Ю., Ляшко В.І., Потапенко Л.І. Про один ітераційний алгоритм розв'язування початково – крайової задачі для системи рівнянь Нав'є – Стокса // Вісник Київського університету. Сер. фіз.–мат. науки. - 2001. - Вип. 1. – С. 180–185.
Грищенко О.Ю. ДС – алгоритм з різницями проти потоку для консервативних рівнянь першого порядку // Вісник Київського університету. Серія фіз.–мат. науки. – 2002. - Вип.2. – С 192 – 196.
Ляшко И.И., Грищенко А.Е., Склеповой В.Н. Вариационно–разностная схема для нелинейной фильтрации // Вариационно – разностные методы в математической физике. Материалы Всесоюзной конференции. - Новосибирск: Наука. 1981. – С. 91–98.
Ляшко И.И., Грищенко А.Е., Заболотный М.А., Потапенко Л.И. Численное решение задач проявления скрытого изображения в термопластических системах // Фундаментальные основы оптической памяти и среды. – К.: Киевский университет, 1985. - Вып. 16. – С. 85–93.
Грищенко А.Е., Максименко Л.А., Молодцов А.И., Сухенко В.П. Электронная химическая релаксация газов в соплах. - Препринт АН УССР, Ин-т физики. – Киев, 1986. - № 9. - 54 c.
Ляшко И.И., Грищенко А.Е., Заболотный М.А., Потапенко Л.И. Численное исследование распределения температур в деформируемой среде при проявлении скрытого изображения в реальном масштабе времени //Фундаментальные основы оптической памяти и среды. – К.: Киевский университет. - 1986. - Вып. 17. – С. 7–12.
Грищенко А.Е., Прохур Н.З. Численное моделирование теплового стирания информационного рельефа термопластических пленок // Материалы Всесоюзной научно-технической конференции “Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами”. Киев, 1987, С. 38.
Ляшко И.И., Грищенко А.Е., Прохур Н.З., Заболотный М.А. Визуализация теплового растра в пленках ньютоновских жидкостей // В сб Фундаментальные основы оптической памяти и среды. - К.:Киевский университет.- 1988. - Вып. 19. – С. 21–26.
Грищенко О.Ю. До питання чисельного моделювання процесів динаміки в'язкої рідини в рамках рівнянь Нав'є – Стокса. // Матеріали міжнародної конференції “Моделювання і дослідження стійкості систем” (International Conference “Modelling and Investigation of Systems Stability”)Київ, 1997, С. 49.
Грищенко О.Ю., Потапенко Л.І. Чисельне моделювання температурного поля в деформованому середовищі // Матеріали VI Міжнародної наукової конференції імені М. Кравчука. Київ, 1997, С. 122.
Грищенко О.Ю. Безумовно стійкі ДС–алгоритми для моделювання процесів переносу // Теорія обчислень. Зб. наукових праць Міжнародної конференції, Інститут кібернетики ім В.М. Глушкова НАН України. – 1999. – С. 132–136.
Веремейченко Г.Н., Грищенко А.Е. Оптимизация профиля испарителя с целью увеличения коэффициента использования наносимого драгметалла // Электронная техника. Серия 7 ТОПО. – 1991. - Вып.3 (160).–С. 61–65.
Lyashko I.I., Gristhenko O. Yu., Prokhur N.Z., Tsymbalyuk O.P. Simulation of Hydrodynamics and Termal Phisics of Relieffographic Processes // J. of Math. Sciences, Vol.69, No 6, 1994. p. 1449–1454.
Грищенко О.Ю. Про один алгоритм чисельного дослідження процесу візуалізації рельєфографії // Обчисл. і прикладна матем. – 1997. - Вип.1 (81). – С. 33–39.
Грищенко О.Ю. Про один чисельний алгоритм розв'язування задач для систем гіперболічних рівнянь першого порядку // Обчисл. і прикладна матем. – 1997. – Вип. 2 (82). – С. 24–29.
Gristhenko O.Yu. A Study of a Numerical Algorithm for a Nonlinear Transport Model // J. of Math. Sciences, Vol. 102, No. 1, 2000, Kluwer Academic Press / Plenum Publishers. p. 3742–3748.
Gristhenko O. Yu. On an Algorithm for a Numerical Study of the Visualisation of Holographic Relief // J. of Math. Sciences, Vol. 102, No. 1, 2000, Kluwer Academic Press / Plenum Publishers. p.3749–3755.
Gristhenko O. Yu. On a Numerical Algorithm for the Modeling of Processes in the Development of a Holographic Relief Image. // J. of Math. Sciences Vol.104, No 6, 2001, p. 1604–1608.
Gristhenko O. Yu. On a Numerical Algorithm for Solving Boundary – Value Problems for Systems of Hyperbolic Equations of the First Order // J. of Math. Sciences Vol.104, No 6, 2001. p. 1609–1614.
Gristhenko O. Yu., Potapenko L.I., Stelya O.B. Modeling an Optimal Temperature Field in a Thermoplastic Medium. // J. of Math. Sciences Vol.107, No 2, 2001. p. 3719–3721.
Gristhenko O. Yu. A Class of Numerical Algorithms, Conservative At Stabilization, for Modeling Transport Processes // J. of Math. Sciences Vol.109, No 4, 2002. p. 1708–1714.
ГРИЩЕНКО О.Ю. Чисельне моделювання і оптимізація динамічних і релаксаційних процесів. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико – математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.
З єдиних позицій, що базуються на використанні нерівностей із негативними нормами, побудовано теорію оптимізації лінійних систем із впливом із класів узагальнених функцій скінченного порядку. Доведено існування та єдиність узагальнених розв'язків прямої і спряженої задач для параболічних та гіперболічних рівнянь загального вигляду. Досліджено умови існування оптимального керування системою та необхідні умови екстремуму в задачах імпульсного керування.
Розроблено двокрокові чисельні алгоритми, які ефективні для розв'язування змішаних крайових задач переносу та систем Нав'є –Стокса. Досліджено основні властивості цих алгоритмів для скалярних рівнянь і операторних рівнянь у банахових просторах. Побудовано нові неявні дво- і тришарові ітераційні методи знаходження розв'язку системи рівнянь Нав'є – Стокса для нестислої в'язкої рідини.
Запропоновано новий підхід до побудови математичних моделей складних динамічних і кінетичних процесів з не повністю визначеними параметрами рівнянь і початкового стану системи. Він ґрунтується на декомпозиції основної задачі на систему вкладених агрегованих моделей, в процесі якої суттєво використано поняття базової системи фізичних гіпотез, уведених у роботі. Побудовано моделі процесу візуалізації прихованого голографічного зображення на термопластичних носіях та створення робочого середовища хімічного та фоторекомбінаційного лазерів.
Ключові слова: математичні моделі, оптимізація, теорія оптимального керування, узагальнені розв'язки, системи рівнянь Нав'є – Стокса, чисельні алгоритми, різницеві схеми, обчислювальний експеримент.
ГРИЩЕНКО А.Е. Численное моделирование и оптимизация динамических и релаксационных процессов. – Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени доктора физико – математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2003.
Диссертационная работа является комплексным исследованим, посвященным развитию теоретических методов моделирования оптимизации и оптимального управления; численных методов решения краевых задач и задач оптимального управления; методов построения архитектуры численных моделей сложных физических процессов с не полностью определенными коэффициентами уравнений и параметрами начального состояния системы и построению на этой теоретической основе численных моделей исследования современных проблем динамики и кинетики вязкой жидкости и релаксационной газовой динамики.
С единых позиций, используя неравенства с негативными нормами, построена теория оптимизации и оптимальное управление в линейных системах с влиянием из классов обобщенных функций конечного порядка. Для этих задач доказано существование и единственность обобщенных решений прямой и сопряженной задач для параболических уравнений общего вида с учетом первых пространственных производных. Исследованы условия существования оптимального управления системой и необходимые условия экстремума в задачах импульсного управления. Для задач импульсного управления гиперболическими системами установлены априорные оценки, из которых следует существование и единственность решений соответствующих краевых задач и задач оптимального управления.
Построены двухшаговые численные алгоритмы, которые позволяют получить эффективные решения смешанных краевых задач переноса, гидро– и газовой динамики и систем Навье – Стокса. Они не требуют обращения матриц систем разностных уравнений и имеют хорошие условия устойчивости по начальным данным. Исследованы основные свойства этих алгоритмов (консервативность, дисипативность, транспортивность) и условия устойчивости (для линеаризованных уравнений) для скалярных уравнений и операторных уравнений в банахових пространствах. Предложены неявные двух- и трехшаговые итерационные методы нахождения решения системы уравнений Навье – Стокса для несжимаемой вяжущей жидкости, где, в отличие от традиционных подходов, неизвестные гидродинамические функции определяются путем прямого интегрирования уравнения неразрывности потока, одного уравнения движения и уравнения для давления. Такой подход обеспечивает наиболее полное выполнение закона сохранения вещества в процесе решения задачи.
Для анализа сложных динамических и кинетических процессов с не полностью определенными параметрами уравнений и начального состояния системы в диссертации построено обобщение известного метода декомпозиции, в котором агрегирование вспомогательных моделей осуществляется при помощи введения физически оправданной базовой системы гипотез. Построение такой системы основано на анализе безразмерных критериев и введении разработанных в диссертации принципов базовой системы гипотез. Предложенный подход позволяет создать иерархическую последовательность простых в исследовании вспомогательных моделей и с ее помощью определить необходимые для синтеза основной модели коэффициенты уравнений, параметры начального состояния и функциональные связи системы.
Основываясь на полученных теоретических результатах, в диссертации построены новые математические и численные модели актуальных в научном и прикладном аспектах процессов визуализации скрытого голографического изображения на термопластических носителях и модель процесса создания рабочей среды химического и фоторекомбинационного лазера с селективным тепловым возбуждением. При построении этих моделей исследована задача существования и единственности обобщенного решения теплопроводности и решена задача оптимального управления тепловым источником, влияние которого принадлежит классу обобщенных функций конечного порядка; показана эффективность разработанных численных алгоритмов; определены неизвестные коэффициенты кинетических и динамических уравнений системы и параметры начального состояния, установлены функциональные связи основных факторов процессов.
Проведенный адаптивный итерационный вычислительный эксперимент позволил уточнить все необходимые начальные параметры системы, синтезировать основные модели и провести необходимые расчеты.
Ключевые слова: математические модели, оптимизация, теория оптимального управления, обобщенные решения, системы уравнений Навье – Стокса, численные алгоритмы, разностные схемы, вычислительный эксперимент.
Grischenko O.Yu. Numerical simulation and optimization of dynamic and relaxational processes. — Manuscript.
Thesis for a doctor's degree of physics and mathematics by speciality 01.05.02 — mathematical modelling and computational methods. – The Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2003.
From common positions based on using the inequalities with negative norms the consistent theory of optimization of linear systems with impacts from the classes of finite order distributions is constructed. The theorems on existence and uniqueness of generalized solutions of the original and adjoint parabolic and hyperbolic problems are proved. The conditions of optimal control existence and necessary conditions of extremum in the impulse optimal problems are investigated.
The effective two-step numerical algorithms for solving mixed boundary problems of transport and Navier-Stokes systems are developed. The main features of these algorithms for scalar equations and operator equations in Banach spaces are investigated. The new implicit two- and three-layer iterative methods for solving the systems of Navier-Stokes equations for the incompressible viscous liquid are developed.
The new approach to construction of mathematical models of complex dynamic and kinetic processes with incompletely defined parametres of equations and initial state is proposed. It is based on decomposition of the main problem on a system of nested aggregated models. It is essentially used the concept of basic system of physical hypotheses in the process of the decomposition. The models of the visualization process of hidden holographic image on thermoplastic supporters and the models of development of an operating environment of chemical and photorecombinational laser are developed.
Key words: mathematical models, optimization, optimal control theory, generalized solutions, systems of Navier-Stokes equations, numerical algorithms, difference schemes, computational experiment.