Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT5
1.2. Функции
1.2.1. Основные понятия
Напомним общее понятие функции, рассмотренное нами ранее, при изучении теории множеств.
Под функцией мы понимаем правило или закон, по которому каждому хХ ставится в соответствие единственный yY. При этом говорят, что Х - область определения функции, а Y - множество ее значений.
Ниже мы в основном будем рассматривать лишь функции, встречающиеся в математическом анализе. Для таких функций множества определения Х представляют собой либо множество действительных чисел или некоторое его подмножество (функции одного переменного), либо декартово произведение таких множеств (функции нескольких переменных), либо множество комплексных чисел (функции комплексного переменного). Множество Y также может быть либо множеством действительных чисел, либо декартовым произведением таких множеств (вектор - функции), либо множеством комплексных чисел.
Изучение функции мы начнем с простейшего случая. Однако, многое из сказанного ниже о случае XR, YR справедливо и в указанных выше более сложных ситуациях.
Итак, функцией действительного переменного хR называют правило, или закон, по которому каждому хD(y)R ставится в соответствие единственный yЕ(y)R.
Множество D(y) называют областью определения функции, множество Е(y) - множеством ее значений.
По способу задания правила или закона, упомянутого в определении функции, различают следующие способы задания функции.
Аналитический способ.
В этом случае зависимость между аргументом х и функцией y описывается при помощи формул. При этом возможны следующие подспособы:
а) Явный аналитический. Зависимость между х и y задается явной формулой y=f(x), позволяющей по заданному х находить y.
Примеры: .
б) Неявный аналитический. Зависимость задается формулой, связывающей аргумент и функцию: f(x, y)=0, как правило, неразрешимой относительно y.
Пример. .
Чтобы найти по х отвечающее ему значение y, следует подставить х в уравнение связи и найти y из полученного уравнения.
В приведенном примере значению х=0 соответствует y=2, т.к.
.
в) Параметрический. В этом случае и функция, и аргумент задаются как явные функции некоторого параметра: ,
где Т - множество значений параметра. Зависимость между аргументом и функцией устанавливается по следующей схеме:
Пример:
Ясно, что D(y)= [0, 2]. Найдем, например, значение y(1).
Из первого уравнения имеем
Тогда из второго уравнения
Табличный способ задания.
Табличный способ задания функции применим, если область определения Х представляет собой дискретное множество. В этом случае функцию задают при помощи следующей таблицы
|
x |
x1 |
x2 |
... |
xn |
... |
|
y |
y1 |
y2 |
... |
yn |
... |
а y1, y2,...,yn... - значения функции, соответствующие х1 , х2 , ..., хn , ...
Графический способ.
В этом случае зависимость задается указанием графика функции и определяется следующим образом:
Словесный способ. Зависимость между аргументом и функцией описывается языковыми средствами.
Замечания.
Наиболее употребительным является аналитический способ задания функции.
Явный аналитический способ можно рассматривать как частный случай
а) неявного
б) параметрического
Последовательность (функцию натурального элемента) можно рассматривать как таблицу, в которой излишня верхняя строка.
|
X |
1 |
2 |
3 |
... |
N |
... |
|
Y |
y1 |
y2 |
y3 |
... |
yn |
... |
1.2.2. Понятие о сложной функции
Иногда зависимость между функцией и аргументом описывают в несколько этапов: y=f(u(x)). Такие функции называют сложными, при этом f называют функцией, u - промежуточным аргументом, х - конечным аргументом.
Отметим, что промежуточных аргументов может быть несколько. Например, функцию можно записать следующим образом: Здесь U, V - промежуточные аргументы.
1.3. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕДЕЛОВ
Понятие предела является одним из основных в математическом анализе, т.к. с ним непосредственно связаны понятия производной, интеграла и т.д.
1.3.1. Предел переменной величины
Определение. Будем говорить, что х стремится к постоянному а (имеет а своим пределом), если, каково бы ни было , в процессе изменения х наступает момент, начиная с которого .
Поскольку неравенство эквивалентно двойному неравенству , предыдущее определение означает, что для любого сколь угодно малого >0 в процессе изменения х наступает момент, начиная с которого все значения х оказываются в интервале :
В силу произвольности этот интервал может уменьшаться как угодно, но качественно картина не изменится.
Интервал (a-,a+) называют - окрестностью точки а.
Тот факт, что х стремится к а, записывают одним из следующих способов:
или a=limx.
Таким образом, ха тогда и только тогда, когда в процессе изменения х наступит момент, начиная с которого все значения х попадут в - окрестность точки а, каково бы ни было >0.
Определение. Мы будем говорить, что х является бесконечно большим и записывать или lim x=, если, каково бы ни было М>0, в процессе изменения х наступит момент, начиная с которого х>М.
Мы будем писать или , если х - бесконечно большая величина, сохраняющая указанный знак.
Пример. , где n - натуральный аргумент.
1.3.2 Предел функции при ха
Определение. Мы будем говорить, что число b является пределом функции y=f(x) при xa, и записывать если по любому сколь угодно малому >0 найдется так, что , как только .
Поскольку неравенства f(x)-b и x-a < равносильны неравенствам соответственно, то предыдущее определение можно перефразировать следующим образом: b= тогда и только тогда, когда по любому сколь угодно малому >0 найдется так, что все значения f(x) содержатся в - окрестности точки b для аргументов, выбранных из - окрестности точки а.
Геометрически это означает, что точка (x,f(x)) попадает в заштрихованный прямоугольник (см.рис. 1.11), для всех х, выбранных из - окрестности точки а.
Ясно, что, уменьшая , мы лишь ”измельчаем масштаб”, но качественно картина остается такой же.
1.3.3. Односторонние пределы
Определение. Число b будем называть левым (правым) односторонним пределом функции y=f(x) при xa, если по любому сколь угодно малому найдется так, что как только .
Тот факт, что число b является левым (правым) односторонним пределом функции y=f(x) при xa условимся обозначать следующим образом:
.
Ясно, что .
Понятиям односторонних пределов можно дать геометрическое истолкование, аналогичное данному выше для понятия при ха. Именно:
Точка (x,f(x)) содержится в “левом” прямоугольнике, как только , для левого одностороннего предела.
Точка (x,f(x)) содержится в “правом” прямоугольнике, как только , для правого одностороннего предела.
Сравнивая определения предела функции при xa и односторонних пределов, приходим к следующему утверждению:
Теорема. Число b является пределом функции y=f(x) при ха тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела f(x) при и при этом оба они равны b.
1.3.4 Предел функции при
Определение. Будем говорить, что число b является пределом функции y=f(x) при х, если по любому сколь угодно малому найдется число M=M()>0 такое ,что как только M.
Обозначение: .
Поскольку равенство х > М равносильно паре неравенств х < -М, х>M, то геометрически это определение означает, что точка с координатами (x,f(x)) обязана оказываться в заштрихованном множестве всякий раз, как только >M.
Аналогичным образом могут быть даны и интерпретированы понятия пределов при . Например, число b является пределом функции y=f(x) при , если по любому сколь угодно малому >0 найдется М=М() так, что , как только х>M. Геометрически это означает, что, как только х>M, точка (x,f(x)) находится в заштрихованном множестве.
Обозначения: .
Как и для предела функции при ха, очевидно следующее утверждение:
Теорема. Число b является пределом функции y=f(x) при тогда и только тогда, когда существуют оба предела при и оба они равны b.
1.3.5. Бесконечно большие функции. Ограниченные функции
Определение. Будем говорить, что функция y=f(x) является бесконечно большой величиной (стремится к бесконечности) при ха , если каково бы ни было сколь угодно большое M>0 найдется М) >0 такое, что , как только .
Обозначение:
Как и ранее, пользуясь геометрической интерпретацией неравенств >M и , приходим к следующему выводу: тогда и только тогда, когда точка (x,f(x)) оказывается в заштрихованной области, как только
В тех случаях, когда бесконечно большая при ха функция сохранит свой знак, мы будем писать
Замечание. Функция не обязана либо иметь конечный предел, либо быть бесконечно большой при ха . Существуют функции вовсе не имеющие никакого предела. Например, функция при х0 не имеет предела, т.к. в любой окрестности нуля принимает все значения из сегмента [-1,1].
Функции, стремящиеся к бесконечности при ха , называют еще неограниченными и при ха .
Определение. Функция y=f(x) называется ограниченной при ха , если найдутся >0 и С>0 такие, что f(x)C для всех
Нетрудно проверить, что сумма и произведение ограниченных при ха функций есть функция ограниченная. Более того, алгебраическая структура где М - множество ограниченных функций является группой, а алгебраическая структура - кольцом.
Из определения ограниченной функции очевидно следует утверждение:
Теорема. Если функция y=f(x) имеет конечный предел при ха , то она ограничена при ха . Более того, если этот предел отличен от нуля, то функция также ограничена при ха.
1.3.6. Предел последовательности
Определение. Число b будем называть пределом последовательности {yn}, n=1,2,..., если по любому сколь угодно малому положительному >0 найдется номер N=N() так, что как только n>N.
Обозначение: .
Если условиться изображать геометрически последовательность {yn},n=1,2,..., точками плоскости (n, yn), n=1,2,..., то сформулированное выше определение означает, что точка (n,yn) обязательно содержится в заштрихованной полуполосе, как только n>N().
Замечание. Вообще говоря, предыдущие определения пределов можно было бы дать, используя лишь понятие предела последовательности. Например, для предела функции при ха такой подход выглядит следующим образом. Число b называют пределом функции y=f(x) при ха , если для любой последовательности хn, стремящейся к а, последовательность yn=f(xn) стремится к b.
Такое определение предела функции называют определением предела по Гейне. Можно показать, что определение предела по Гейне (секвенциального предела) эквивалентно определению предела, данному выше в качестве основного. Этот факт объясняется свойствами области определения, т.е. R. Вообще говоря, для функций с произвольной областью определения эти понятия предела различны.
Мы будем называть последовательность ограниченной сверху (снизу), если для некоторой константы с при любых n.
Последовательность yn называют монотонно возрастающей (убывающей), если
Имеет место следующее достаточное условие существования предела последовательности.
Теорема. Всякая монотонно возрастающая (убывающая), ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет конечный предел.
1.3.7. Свойства пределов
Несмотря на большое разнообразие определений понятия предела, они обладают общими свойствами, которые мы будем излагать, опираясь (для определенности) на понятие предела функции при ха .
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
Определение. Функция называется бесконечно малой при ха , если по любому сколь угодно малому > 0 найдется так,
что , как только .
Из определения предела функции следует, что (x) является бесконечно малой величиной при ха тогда и только тогда, когда .
Основная теорема теории пределов. Число b является пределом функции y=f(x) при ха тогда и только тогда, когда она допускает представление
f(x) = b + (x) ,
где (x) - бесконечно малая величина при ха .
Доказательство. Пусть тогда в силу определения предела функции имеем: по любому сколь угодно малому >0 найдется так, что как только Положим f(x)-b=(x), тогда f(x)=b+(x). Кроме того, в силу данного определения предела функции, по любому >0 найдется =() так, что , как только х-а<. Но это означает, что (х) бесконечно малая величина при ха .
Обратно, пусть f(x)=b+(x) при ха , где (х) бесконечно малая величина. По определению бесконечно малой величины: по любому сколь угодно малому >0 найдется =() так, что (х)<, как только х-а<. Но (х)=f(x)-b, поэтому, заменяя (х) на f(x) - b в определении бесконечно малой величины, приходим к определению предела функции при ха . Это определение означает, что . Теорема доказана.
Следствие. Предел постоянной равен самой постоянной.
Доказательство. С = С+0, где 0 – очевидно, бесконечно мало при ха ,
поэтому.
Свойства бесконечно малых величин описываются в следующих утверждениях:
Теорема 1. Сумма конечного числа бесконечно малых величин при ха есть величина бесконечно малая при ха .
Доказательство. Пусть бесконечно малые величины при ха . По заданному >0 в силу определения бесконечно малой величины можно найти числа так, чтобы , как только . Положим min тогда на интервале выполняются все неравенства . Таким образом, по заданному >0 мы нашли так, чтобы , как только . Но это означает, что бесконечно малая величина при ха .
Теорема 2. Произведение бесконечно малой величины при ха на величину, ограниченную при ха, есть величина, бесконечно малая при ха .
Доказательство этой теоремы повторяет доказательство предыдущей.
Следствие 1. Произведение константы на бесконечно малую величину при ха есть бесконечно малая величина при ха .
Следствие 2 . Если (х) - бесконечно малая величина при ха , то , также величина бесконечно малая при ха .
Теорема 3. Если (х) - бесконечно малая величина при ха , не обращающаяся в нуль в некоторой окрестности точки а, исключая саму точку, то есть величина бесконечно большая при ха .
Доказательство. Пусть M>0 сколь угодно большое положительное число. Положим и, пользуясь определением бесконечно малой величины, подберем так, чтобы , как только . Это означает, что по сколь угодно большому M>0 мы нашли так, что , как только По определению это означает, что - бесконечно большая величина при ха .
Теорема 4. Если М(х) - бесконечно большая величина при ха , то есть величина бесконечно малая при ха .
Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3.
Замечания.
1.Условие в ”проколотой” окрестности точки а необходимо для определения функции . В теореме 4 такое условие отсутствует в силу того, что M(x)0 (M(x)>M) по определению бесконечно большой величины.
2.Символически утверждение теоремы 3.4 записывают следующим образом: . Отметим, что это не настоящие равенства (числа нет, а на 0 делить нельзя), а символические, означающие лишь то, что сформулировано в теоремах 3,4 соответственно.
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
Свойство 1(единственность предела). Функция может иметь не более одного предела при ха .
Доказательство. Пусть функция имеет два различных предела при xa, т.е. .В силу основной теоремы теории пределов где - бесконечно малые величины при ха . Но тогда и в силу свойств бесконечно малых константа есть бесконечно малая величина при ха . Ясно, что константа может быть бесконечно малой лишь, если она - нуль. Поэтому b-b’ =0, т.е. .
Свойство доказано.
Свойство 2. Предел суммы функции равен сумме пределов слагаемых при условии, что каждый из последних существует.
Доказательство. Пусть тогда в силу основной теоремы теории пределов f(x)=b+(x), g(x)=c+(x), где (х), (х) - бесконечно малые величины при ха . Но тогда f(x)+g(x)=(b+c)+(x), где (x)=(x)+(x) - бесконечно малая величина при ха в силу свойств бесконечно малых. По основной теореме теории пределов функции f(x)+g(x) имеет предел, равный b+c, т.е. .
Свойство доказано.
Свойство 3. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей при условии, что предел каждого сомножителя существует.
Доказательство этого свойства аналогично доказательству предыдущего.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Свойство 4. Предел отношения функций равен отношению пределов при условии, что пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.
Доказательство. Пусть , тогда f(x)=b+(x), g(x)=c+(x), где (х), (х) - б.м.в. при ха . Отсюда : .
Функция есть б.м.в. при ха по следующим причинам:
Числитель бесконечно мал как сумма произведений констант на бесконечно малые величины. Знаменатель c2+c(x) имеет предел в силу основной теоремы теории пределов, равный с20. Поэтому функция ограничена при ха . Но тогда рассматриваемая функция бесконечно мала как произведение б.м.в.
(х)с-(х)b на ограниченную Таким образом, где - бесконечно малая величина при ха .В силу основной теоремы теории пределов .
Свойство доказано.
Свойство 5. Если функция y=f(x) неотрицательна в некоторой окрестности точки а и существует ,то и .
Доказательство. Пусть и предположим, что b<0. В силу основной теоремы теории пределов f(x)=b+(х), где (х) - б.м.в. при ха . В силу малости (х) функция f(x) имеет знак b в достаточно малой окрестности точки а, т.е. f(x)<0 в некоторой окрестности точки а. Но это противоречит условиям. Следовательно, наше предположение b<0 было неверным. Это означает, что
.
Свойство доказано.
Следствие. Если f(x)g(x) в некоторой окрестности точки а и существуют пределы обеих функций при ха , то
Замечания.
1. Свойство пределов в оговоренных выше условиях записываются следующим образом:
2.Следствие к свойству 3 надо понимать следующим образом: левая и правая части существуют и не существуют одновременно, и в случае существования одной из них вторая так же существует и выполняется написанное равенство.
3. Предельный переход не сохраняет строгих неравенств. Например, для последовательности , но
ПОНЯТИЕ О НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯХ
Под неопределенностями понимают те случаи, встречающиеся при вычислении пределов, когда свойства пределов неприменимы вследствие нарушения условий. По характеру нарушения условий различают следующие типы неопределенностей:
- предел отношения бесконечно малых величин,
- предел отношения бесконечно больших величин,
- предел разности бесконечно больших величин,
- предел произведения бесконечно малой величины на бесконечно большую,
- предел степенно-показательного выражения, основание которого стремится к 1, а показатель – бесконечно большая величина.
Разумеется, существуют и другие типы неопределенностей. Мы упоминаем лишь наиболее распространенные.
Под раскрытием неопределенности мы будем понимать такое алгебраическое преобразование выражения, предел которого вычисляется, что ко вновь полученному выражению уже можно применять свойства пределов.
Пример. Вычислить .
Ясно, что это неопределенность вида :
Разложим числитель и знаменатель на простейшие множители:
x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1);
x2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3).
Тогда
Теорема о пределе промежуточной переменной
Если в некоторой окрестности точки а функции f(x),g(x),(x) удовлетворяют условию:
f(x)g(x)(x),
и существуют пределы:
,
то также существует и равен b.
Доказательство. По определению предела по заданному сколь угодно малому >0, найдутся такие, что
b-<f(x)<b+ и b-<(x)<b+, как только х-а<1 и х-а<2 соответственно. Положим =min(1,2), тогда оба неравенства для f(x) и (х) выполняются, как только x-a<. Таким образом, по заданному >0 мы нашли =min(1,2) так, что b-<f(x)g(x)(x)<b+, как только х-а<. Рассматривая в выписанном неравенстве лишь функцию g(x), по определению предела получаем, что существует предел .
Теорема доказана.
1.3.8. Специальные (замечательные) пределы и их следствия
Первый специальный предел.
Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге равен 1:
.
Ясно, что первый специальный предел раскрывает неопределенность вида . Доказательству этого утверждения предпошлем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма
Доказательство. Построим единичную окружность.
По определению ON=cosx. Ясно, что если х0, то ONOM=1. Таким образом . Лемма доказана.
Перейдем к доказательству основного утверждения. Сначала будем считать, что угол х расположен в I четверти, т.е. .
Проведем следующие построения на единичной окружности:
Ясно, что площади фигур, изображенных на
рис. 1.18, связаны неравенством
.
Найдем каждую из этих площадей,
учитывая, что ON=OM=1:
Но тогда.
Так как то sinx > 0, поэтому, разделив на полученное неравенство, получим .
Отсюда, переходя к обратным величинам, имеем .
Отметим, что в последнем неравенстве содержатся лишь четные функции. Поэтому это неравенство справедливо для всех х. Поскольку в силу леммы , по свойствам пределов . Но тогда в силу теоремы о пределе промежуточной переменной существует и равен 1, что и требовалось доказать.
Следствия.
. .
. .
2. Второй специальный предел.
Теорема.
Доказательство. Рассмотрим последовательность:
Преобразуем yn, воспользовавшись формулой бинома Ньютона: .
Положим , тогда .
Поскольку:
то: .
Если стремится к 0, поэтому с увеличением n 3-й, 4-й, ... члены выписанного разложения увеличиваются. Кроме того, с увеличением n добавляются новые положительные слагаемые. Это означает, что последовательность возрастает. Покажем, что она ограничена. В самом деле, пользуясь выписанным разложением , имеем:
Итак, последовательность yn возрастает и ограничена сверху, поэтому у нее существует предел: .
Можно показать, что число е иррационально и .
Замечание. Можно доказать, что справедливы формулы:
; .
Отметим, что второй специальный предел раскрывает неопределенность вида (1).
Напомним, что называют натуральным логарифмом числа х.
Следствия :
1.3.9. Сравнение бесконечно малых величин. Шкала
Пусть и - бесконечно малые величины при а .
Определение. Будем говорить, что б.м.в. (х) является б.м. более высокого порядка малости, чем б.м.в. (х), если .
Отметим, что в этом же случае говорят, что б.м.в. (х) является б.м.в. более низкого порядка, чем (х).
Пример. При х0 б.м.в. = является б.м. более высокого порядка, чем , где nN -произвольно: .
Приведенный пример поясняет фразу “более высокого порядка” в определении.
Определение. Шкалой б.м.в. называют последовательность б.м.в. с возрастающим порядком малости.
Из предыдущего примера вытекает, что последовательность образует шкалу б.м.в. при х0.
Определение. Будем говорить, что б.м.в. (x) и (x) имеют одинаковый порядок малости, если , где А0 - конечное число.
Если А=1 , то говорят, что (x) эквивалентна (x) при xa, и записывают следующим образом: .
Замечание 1. Первый специальный предел и его следствия, а также следствия из второго специального предела, дают следующий набор эквивалентных при х0 бесконечно малых величин:
sin ~ , ;
tg , ;
arcsin , ;
arctg , ;
, (в частности );
, ;
( 1 + x )m - 1 ~ mx, x 0.
Теорема. При вычислении пределов частных и произведений бесконечно малые величины можно заменять на эквивалентные им, не меняя при этом значений пределов.
Пример. Вычислить .
В силу замечания 1 при ~ , а sin5x ~ 5x, поэтому .
Замечание 2. Аналогичным образом могут быть сформулированы понятия бесконечно больших величин большего (меньшего) порядка роста, бесконечно больших величин одного порядка, эквивалентных бесконечно больших величин, шкалы бесконечно больших величин.
1.4. Непрерывность
1.4.1. Непрерывность функции в точке
Понятие непрерывности функции тесно связано с геометрическим изображением функции - ее графиком и интуитивно ясное понятие неразрывности (целостности) графика уточняется в следующих определениях.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , входящей в область определения функции вместе с некоторой окрестностью, если , т.е. предел при существует и совпадает со значением функции в точке а.
Поскольку , то для непрерывной в точке а функции .
Таким образом, непрерывными в точке а являются те и только те функции, для которых знаки функции и предела можно менять местами в рассматриваемой точке.
Вспоминая критерий существования предела функции, определению 1 можно придать следующую форму.
Определение 2. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х=а, если выполнены следующие условия:
функция определена в точке a и некоторой ее окрестности,
существует ,
существует ,
.
Положим и назовем эту величину приращением аргумента. Ясно, что если , то и наоборот. Пользуясь этим обозначением, определение 1 можно переписать следующим образом:
.
Обозначая , получим .
принято называть приращением функции в точке а, соответствующим приращению аргумента .
При этом значения функции называют старым и новым (наращенным) значениями функции.
Таким образом, мы пришли к следующему определению.
Определение 3. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х=а, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, т.е. если.
Поясним сказанное геометрически:
Замечание. Разумеется, все приведенные определения эквивалентны (что, впрочем, следует из характера изложения). Выбор конкретного определения диктуется соображениями удобства.
1.4.2.Свойства функций, непрерывных в точке
Все формулируемые ниже свойства легко вытекают из определения 1 и соответствующих свойств пределов.
Сумма функций, непрерывных в точке х=а, непрерывна в этой точке.
Произведение функций, непрерывных в точке х=а, непрерывно в этой точке.
Частное непрерывных в точке х=а функций есть непрерывная в этой точке функция , если знаменатель не обращается в нуль в точке а.
Следствие. Множество функций, непрерывных в точке, образует кольцо относительно операций сложения и умножения.
1.4.3. Понятие разрыва в точке. Классификация разрывов
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a.
Определение. Функцию, не являющуюся непрерывной в точке х=а, называют разрывной в этой точке.
Это означает, что функция не является непрерывной, если в определении 2 не выполняется хотя бы одно из условий 1),2),3),4). В зависимости от того, каким образом нарушаются указанные условия, различают разрывы I и II рода.
Определение. Будем говорить, что в точке х=а функция терпит (имеет) разрыв I рода, если выполнены условия 2), 3), а условия 1) или 4), нарушены.
Таким образом, функция y=f(x) имеет в точке х=а разрыв I рода в одном из двух случаев:
Она определена в точке х=а и некоторой ее окрестности и существуют односторонние пределы , , но они либо не равны, либо хотя бы один из них не совпадает со значением функции в точке а.
Односторонние пределы существуют, а значение функции в точке a не определено.
Разрыв I рода называют устранимым, если (либо f(a) не существует), и неустранимым, если .
Число называют скачком функции в точке х=а.
Ясно, что если функция имеет устранимый разрыв первого рода, то , а в случае неустранимого разрыва первого рода .
Определение. Будем говорить, что функция терпит (имеет) в точке х=а разрыв II рода, если она имеет в этой же точке разрыв, не являющийся разрывом I рода.
Пользуясь свойствами пределов и определением непрерывности функции в точке, нетрудно убедиться в справедливости следующего факта.
Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей естественной области определения.
Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию
Функция задана разными аналитическими выражениями на разных подмножествах области определения. На каждом из этих подмножеств функция () есть элементарная и поэтому непрерывна в каждой внутренней точке по предыдущей теории. Остается проверить лишь точку х=2 являющуюся “точкой стыковки”.
Проверим выполнение условий определения 2:
1) Функция определена всюду и, в частности, в точке х=2 и любой ее окрестности,
2) .
3)
4) .
Так как нарушено лишь условие 4), то это разрыв I рода. Но , поэтому это неустранимый разрыв I рода.
Стрелочка означает, что .
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию .
Очевидно, что и в силу сформулированной теоремы функция непрерывна в каждой точке . Осталось выяснить, что происходит в точке х=1. Поскольку 1, то не выполняется уже условие 1) определения 2, и поэтому функция имеет в точке х=1 разрыв. Чтобы выяснить характер поведения функции в окрестности точки х=1 найдем А и В:
Рис. 1.22
ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА МНОЖЕСТВЕ
Назовем предельной точкой множества такую точку а, в любой окрестности которой имеется хотя бы одна точка множества, отличная от а.
Отметим, что предельная точка может принадлежать множеству, и может не принадлежать ему. Например, точка х=1 является предельной и для множества [0,1] и для множества (0,1), но первому принадлежит, а второму нет.
Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Точка множества называется внутренней, если она содержится в нем вместе с некоторой окрестностью.
Определение. Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым.
Точки множества, не являющиеся внутренними, называют граничными.
Например, множество (0,1) - открыто, множество [0,1] - замкнуто, и точки х=0, х=1 - граничные, множества [0,1), (0,1] не являются ни открытыми, ни замкнутыми.
Определение. Мы будем говорить, что функция y=f(x) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой его внутренней точке, а в каждой граничной точке она непрерывна по Гейне, причем последовательности {xn} выбираются из точек множества, стремящихся к граничной точке.
Для отрезка [0,1] это означает, что , и , .
Для отрезка (0,1) это означает, что , .
Для отрезка [0,1) это означает, что , и.
Справедливы следующие очевидные свойства.
Свойство 1. Сумма функций, непрерывных на множестве, непрерывна на этом множестве.
Свойство 2. Произведение функций, непрерывных на множестве, непрерывно на этом множестве.
Свойство 3. Частное непрерывных на множестве функций непрерывно, если знаменатель не обращается в нуль на этом множестве.
Имеют место следующие (нетривиальные) утверждения, принадлежащие К. Вейерштрассу. Мы приводим их без доказательства.
Теорема 1. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на нем и снизу, и сверху: , причем и верхняя, и нижняя границы достигаются, т.е. на множестве найдутся такие точки а и b, что , .
Теорема 2. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, принимает все значения на отрезке [m,M], где m, M - наименьшее и наибольшее значение функции соответственно. Это означает, что, каково бы ни было , найдется точка с из рассматриваемого множества, такая, что
f(c) = .
Следствие. Если на концах отрезка [a,b] функция имеет значения разных знаков, то на отрезке [а, b] найдется хотя бы одно решение уравнения .
Замечание. Сформулированное следствие позволяет указать метод приближенного решения скалярных уравнений y=f(x), где f(x) - непрерывная функция. Этот метод, называемый методом половинного деления, состоит в следующем.
Находят точки а, b так, чтобы . Затем отрезок [a, b] делят пополам и находят . Если f (с) = 0, то корень найден. Если же
, то из двух отрезков [а, с], [c, b] выбирается тот, для которого функция на концах имеет значения разных знаков. Обозначим этот отрезок [a1, b1]. Ясно, что . Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку [a1,b1], получим либо решение уравнения, либо отрезок [a2 , b2 ] и т.д.
Ясно, что длина Lk отрезка [an, bn] естьгде - длина [a,b]. Это значит, что отрезок стягивается к некоторой точке сo при n, причем . Реализовать на практике весь описанный процесс затруднительно, поэтому останавливаются на точке с номером n, где n выбирается так, чтобы модуль не превышал доступной погрешности. При этом полагают : .