тематического знания
Работа добавлена на сайт samzan.net:
36. Аналитическая геометрия Р.Декарта.
В учении о познании Д. был родоначальником рационализма, который сложился в результате наблюдений над логическим характером математического знания. Математические истины, по Д., совершенно достоверны, обладают всеобщностью и необходимостью, вытекающими из природы самого интеллекта. Поэтому Д. отвёл исключительную роль в процессе познания дедукции, под которой он понимал рассуждение, опирающееся на вполне достоверные исходные положения (аксиомы) и состоящее из цепи также достоверных логических выводов. Достоверность аксиом усматривается разумом интуитивно, с полной ясностью и отчётливостью. Для ясного и отчётливого представления всей цепи звеньев дедукции нужна сила памяти. Поэтому непосредственно очевидные исходные положения, или интуиции, имеют преимущество сравнительно с рассуждениями дедукции. Вооружённый достоверными средствами мышления - интуицией и дедукцией, разум может достигнуть во всех областях знания полной достоверности, если только будет руководствоваться истинным методом. Правила рационалистического метода Д. состоят из четырёх требований:
1) допускать в качестве истинных только такие положения, которые представляются ясными и отчётливыми, не могут вызвать никаких сомнений в их истинности; 2) расчленять каждую сложную проблему на составляющие её частные проблемы или задачи; 3) методически переходить от известного и доказанного к неизвестному и недоказанному и 4) не допускать никаких пропусков в логических звеньях исследования. Совершенство знания и его объём определяются, по Д., существованием в нас врождённых идей, разделяемых Д. на врождённые понятия и врождённые аксиомы. Достоверно известно очень немногое о телесных вещах; гораздо больше мы знаем о человеческом духе и ещё больше о боге.
Учение Д. и направление в философии и естествознании, продолжавшее его идеи, получило название картезианства - от латинизированной формы имени Д. Он оказал значительное влияние на последующее развитие науки и философии, причём как идеализма, так и материализма. Учения Д. о непосредственной достоверности самосознания, о врождённых идеях, об интуитивном характере аксиом, о противоположности материального и идеального явились опорой для развития идеализма. С др. стороны, учение Д. о природе и его всеобщий механистический метод делают философию Д. одним из этапов материалистического мировоззрения нового времени.
В. Ф. Асмус.
В "Геометрии" (1637) Д. впервые ввёл понятия переменной величины и функции. Переменная величина у Д. выступала в двойной форме: как отрезок переменной длины и постоянного направления - текущая координата точки, описывающей своим движением кривую, и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. Двоякий образ переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры. У Д. действительное число трактовалось как отношение любого отрезка к единичному, хотя сформулировал такое определение лишь И. Ньютон; отрицательные числа получили у Д. реальное истолкование в виде направленных ординат. Д. значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин (x, у, z,...) и коэффициентов (a, b, с,...), а также обозначения степеней (х4, a5,...). Запись формул у Д. почти ничем не отличается от современной. Д. положил начало ряду исследований свойств уравнений: сформулировал правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости (представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций такого же рода), указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах и решается с помощью циркуля и линейки, когда оно приводимо. В аналитической геометрии, которую одновременно с Д. разрабатывал П. Ферма, основным достижением Д. явился созданный им метод координат. В область изучения геометрии Д. включил "геометрические" линии (названные позднее Г. Лейбницем алгебраическими), которые можно описать движениями шарнирных механизмов. Трансцендентные ("механические") кривые Д. исключил из своей геометрии. В "Геометрии" Д. изложил способ построения нормалей и касательных к плоским кривым (в связи с исследованиями линз) и применил его, в частности, к некоторым кривым 4-го порядка, т. н. овалам Декарта. Заложив основы аналитической геометрии, сам Д. продвинулся в этой области недалеко - не рассматривались отрицательные абсциссы, не затронуты вопросы аналитической геометрии трёхмерного пространства. Тем не менее его "Геометрия" оказала огромное влияние на развитие математики. В переписке Д. содержатся и др. его открытия: вычисление площади циклоиды, проведение касательных к циклоиде, определение свойств логарифмической спирали. Из рукописей Д. видно, что он знал (открытое позднее Л. Эйлером) соотношение между числами граней, вершин и рёбер выпуклых многогранников.
Аналитическая геометрия. Аналитическая, или координатная, геометрия была создана независимо П.Ферма (1601-1665) и Р.Декартом для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие - осознание всей мощи алгебраических методов - принадлежит Декарту. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение - отрезок, имевший соответствующую длину. Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин.
Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал приемлемой кривую, которую можно записать с помощью единственного алгебраического уравнения относительно х и у. Такой подход был важным шагом вперед, ибо он не только включил в число допустимых такие кривые, как конхоида и циссоида, но также существенно расширил область кривых. В результате в 17-18 вв. множество новых важных кривых, таких как циклоида и цепная линия, вошли в научный обиход.
По-видимому, первым математиком, который воспользовался уравнениями для доказательства свойств конических сечений, был Дж.Валлис. К 1865 он алгебраическим путем получил все результаты, представленные в V книге Начал Евклида.
Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж, «пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству».
Аналитическая геометрия Декарта
«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того
широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в
1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили
уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в алгебраической, так
и в геометрической части, имелись у ее творца не позднее 1632 г.
Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от
данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам
«Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы
новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении».
Но в других отношениях геометрия Декарта имела решительные преимущества. Не
говоря уже о том, что Декарт применял более развитую символику, что его
изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих
идей и предложений, весьма существенных для последующего.
Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие
линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Декарта в то, что
единственным общим методом математики является алгебраический. Сначала этот
ответ формулируется в кинематических выражениях: геометрические линии — это
те, которые «описаны непрерывным движением или же несколькими такими
последовательными движениями. пз которых последующие вполне определяются им
предшествующими.— ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»[6].
Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются
механические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между
которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно
измерить»[7]. Примеры механических линий—спираль и квадратриса: в качестве
примера геометрических приводятся кривые, описываемые некоторым шарнирным
механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот
механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III в. до
н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между
1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его
помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными
отрезками
а : x1 = x1 : x2 = x2 : х3 = ... = xn : b.
Уравнения описываемых этим прибором линий
r2 (x2 + у2)2n-1 = x4n (n = 0,1, 2,...)
Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.
Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии
Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом
кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых
одним или несколькими непрерывными движениями, последовательно
определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что
для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или
несколько линий можно перемещать вдоль друг друга и что их пересечения
образуют другие линии»[8]. Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт
предвосхитил уже упоминавшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе
(1876), согласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно
описать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной
трансцендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометрические
и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитическую форму и
здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,— пишет он,—
которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-
либо точную и определенную меру, обязательно находятся в некотором
отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено
некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии»[9]. В
этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит
и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с
тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из
«неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как
описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя
значения х по данным значениям у,— первой координатой у него служила у.
В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраическими,
а механические — трансцендентными, мотивируя отказ от терминологии Декарта
тем, что и механические линии не подлежат исключению из геометрии.
Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит
первую общую классификацию алгебраических кривых в зависимости от степени
их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п — 1 и 2п.
Классификация требовалась прежде всего для всеобщей математики Декарта
(стр. 30), а также была нужна в аналитической геометрии. Предложенное
Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось
тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще не сложнее,
чем с уравнением степени 2п — 1. Все трудности, связанные с четвертой
степенью, писал он, приводятся к третьей, а трудности, связанные с шестой
степенью,— к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по
порядкам мы обязаны Ньютону.
Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или
порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора
координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда мимоходом, но
вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предложение об
инвариантности рода кривой при замене одной системы прямолинейных координат
другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного
уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и
точку ни взяли, всегда можно сделать так, чтобы линия оказалась того же
самого рода: это легко доказать»[10]. Впрочем, доказательство не
приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще
отсутствовали.
В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС, описанной
точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолженной стороны CNK
плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона которой KL движется вдоль данной
прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно проходящую
при этом через точку L. Приняв GA, перпендикуляр к ВА, равным а, KL = b, NL
= с, выбрав АВ за ось х и точку А за начало, Декарт обозначает
«неопределенные и неизвестные величины» СВ = у, ВА = х. Тогда на основании
подобия треугольников СВК и NLK, с одной стороны, и CBL и GAL — с другой,
быстро выводится уравнение линии ECG
уу = су ( [pic]ху + ау ( ас,
так что эта линия первого рода и, как указывает без доказательства Декарт,
гипербола (пример этот подробно разобрали комментаторы латинского издания
«Геометрии»).
Страница первого издания «Геометрии» Р. Декарта (1637):
начало вывода уравнения линии ЕС
[pic]
Заменяя прямую CNK другими линиями, можно получать таким образом
бесконечное множество кривых. Так, если CNK есть окружность с центром L, то
будет описана конхоида (несомненно, что прием Декарта является как раз
обобщением античного определения конхоиды), а если CNK есть парабола с
диаметром KB, то возникает кривая второго рода, именно та, которую Ньютон
впоследствии назвал трезубцем (ср. далее стр. 108). Вообще, заявляет
Декарт, если образующая кривая имеет род п, то описанная линия будет рода п
-)- 1. Это одна из немногих ошибок Декарта, который не довел, видимо, до
конца легкие, по его собственным словам, вычисления. На самом деле, если в
подвижной системе координат СВ = у, BL = х', уравнение линии CNK есть
f(x',y) = 0,
то кривая ECG имеет в прежних координатах уравнение
[pic]
Неточность Декарта показал на частном примере еще Ферма. В рассмотренном
только что примере нарисованы две взаимно перпендикулярные координатные
оси, хотя и не в обычном для нас положении. Однако чаще всего Декарт, так
же как Ферма и ближайшие поколения их последователей, чертил только одну
ось с начальной точкой и указывал направление других координат, вообще
говоря наклонных. Отрицательные абсциссы lie рассматривались, что иногда
приводило к неточным или неполным чертежам. Эти замечания не относятся к
Ньютону или Лейбницу. но правильное различение знаков координат и
применение обеих осей стало обычным делом уже в XVIII в.
Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов,
рассматриваемых в биполярных координатах, и проведение нормалей. Вторая
книга сочинения завершается краткими замечаниями о возможности
распространения метода на пространственные кривые посредством
проектирования их точек на две взаимно перпендикулярные плоскости и
заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал,
необходимых для познания кривых линий»[13].
Конечно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской
оценке «Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действительно,
перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки
немало спорили о том, имелась ли у Аполлония аналитическая геометрия и было
ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от
определения термина «аналитическая геометрия», который, как отмечалось в
другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно
многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не
внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто
аналитическом плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент
поистине новой геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали
буквенным уравнениям кривых второго порядка.
Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма,
приданная методом древних самой алгебре, была причиной многочисленных
комбинаций между средствами и объектом геометрического исследования —
комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуждыми аналитической
геометрии, в особенности поскольку последняя стремилась превратить
геометрические проблемы целиком в задачи исчисления»[14]. И до тех пор,
пока средством исследования оставалась геометрическая алгебра,
синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в
глазах некоторых ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон,
завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть
коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е.
исполняемое не с помощью исчисления, но геометрическим построением, и
изыскивалось древними»[15]. Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им
начинает развиваться чисто аналитический метод исследования геометрических
образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям
и опирающийся лишь на алгебраическое исчисление. Такова общая, идейная
сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства
изучения кривых любого порядка, первые примеры чего имеются уже у
Декарта[16] (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что
система координат становилась свободной от связи с теми или иными
исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной
конического сечения), что приобретали право на существование отрицательные
координаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новой геометрии впервые
нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.
В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, присущие
аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к тому же менее
совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об
отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй
оси, а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими
примерами приложения нового метода.
Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в латинских
изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслуживающие упоминания
вещи.
Математические исследования Декарта тесно связаны с его работами по философии и физике. В "Геометрии" (1637г.) Декарта впервые ввел понятие переменной величины и функции. Переменная величина выступала у Декарта как отрезок переменной длины и постоянного направления (текущая координата точки, описывающей своими движениями кривую) и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, составляющих координатный отрезок. Двоякий образ переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры, к которому стремился Декарта. Алгебра Декарта в отличие от алгебры Ф. Виета, имеет всегда один основной
элемент - линейный отрезок, операции над которым приводят опять-таки к некоторому отрезку. Эти отрезки по свойствам равносильны действительным числам. У Декарта действительное число выступало как отношение длины отрезка к единичному, хотя сформулировал такое определение числа лишь И. Ньютон. Отрицательные числа получили у Декарта реальное истолкование в виде направленных координат. Декарт ввел общепринятые теперь знаки для переменных и искомых величин, для буквенных коэффициентов, а также степеней. Записи формул алгебры у Декарта почти не отличаются от современной. Большое значение для формулировок общих теорем алгебры имела запись уравнений, при которой в одной из частей стоит нуль. Декарт положил научные исследования свойств уравнений; сформулировал положение о том, что число действительных и комплексных корней уравнения равно его степени (это основная теорема алгебры, которую строго доказал К. Гаусс в конце XVIII в., а высказал еще А. Жирар). Декарт формулировал правила знаков для определения числа положительных и отрицательных корней уравнения; поставил вопрос о границах действительных корней и приводимости многочлена. Декарт доказал, что уравнение 3-ей степени разрешимо в квадратных радикалах и решается с помощью циркуля и линейки, когда левая часть ее приводима. В аналитической геометрии, которую одновременно с Декартом разработал П. Ферма, основным достижением Декарта явился созданный им метод прямолинейных координат. В область изучения Декарт включил "геометрические" линии, которые можно описать одним или несколькими непрерывными движениями шарнирных механизмов. Он установил, что степень уравнения кривой не зависит от выбора прямоугольной системы координат. В "Геометрии" Декарт изложил алгебраический способ построения нормалей и касательных к плоским кривым и применил его к кривым 4-го порядка, овалам Декарта. Заложив основы аналитической геометрии, сам Декарт продвинулся в этой области недалеко. Несовершенной была его система координат: в ней не рассматривались отрицательные абсциссы. Почти незатронутыми остались вопросы аналитической геометрии трехмерного пространства. Тем не менее " Геометрия" Декарта оказала огромное влияние на развитие математики, и почти 150 лет алгебра и аналитическая геометрия развивались преимущественно в направлениях, указанных Декартом. Из переписки Декарта известно, что он сделал и другие открытия, в частности в области исчисления бесконечно малых: вычисление площади циклоиды по методу неделимых; проведение касательной к циклоиде и ее разновидностям, основанное на идее о мгновенном центре вращения; определение свойств логарифмической спирали; приближенное решение задачи об определении кривой по данному свойству касательной. Из рукописей Декарта видно, что он знал открытое позднее Л. Эйлером соотношение между числами граней, вершин и ребер многогранников - важный результат в топологии поверхностей. Именем Декарта названы: координаты, произведение, парабола, лист, овал.
Математические исследования Декарта тесно связаны с его работами по философии и физике. В "Геометрии" (1637) Декарт впервые ввёл понятия переменной величины и функции.
Переменная величина у Декарта выступала в двойной форме: как отрезок переменной длины и постоянного направления - текущая координата точки, описывающей своим движением кривую, и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. Двоякий образ переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры. У Декарта действительное число трактовалось как отношение любого отрезка к единичному, хотя сформулировал такое определение лишь И. Ньютон; отрицательные числа получили у Декарта реальное истолкование в виде направленных ординат. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин (x, у, z,...) и коэффициентов (a, b, с,...), а также обозначения степеней (х4, a5,...). Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной.
Декарт положил начало ряду исследований свойств уравнений: сформулировал правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости (представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций такого же рода), указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах и решается с помощью циркуля и линейки, когда оно приводимо.
В аналитической геометрии, которую одновременно с Декартом разрабатывал П. Ферма, основным достижением Декарта явился созданный им метод координат. В область изучения геометрии Декарта включил "геометрические" линии (названные позднее Г. Лейбницем алгебраическими), которые можно описать движениями шарнирных механизмов. Трансцендентные ("механические") кривые Декарт исключил из своей геометрии.
В "Геометрии" Декарт изложил способ построения нормалей и касательных к плоским кривым (в связи с исследованиями линз) и применил его, в частности, к некоторым кривым 4-го порядка, т. н. овалам Декарта.
Заложив основы аналитической геометрии, сам Декарт продвинулся в этой области недалеко - не рассматривались отрицательные абсциссы, не затронуты вопросы аналитической геометрии трёхмерного пространства. Тем не менее его "Геометрия" оказала огромное влияние на развитие математики. В переписке Декарта содержатся и др. его открытия: вычисление площади циклоиды, проведение касательных к циклоиде, определение свойств логарифмической спирали. Из рукописей Декарта видно, что он знал (открытое позднее Л. Эйлером) соотношение между числами граней, вершин и рёбер выпуклых многогранников
В каждой революции решаются две проблемы: разрушения и созидания (точнее, разрушения для созидания). В содержательном плане научная революция XVII века ознаменовала собой смену картин мира. Поэтому главной предметной областью проходивших процессов была физика и астрономия.
Разрушение-созидание совпадали (правда, в различной степени) в трудах отдельных "героев" научной революции. Если Возрождение выявило тенденцию к разрушению старого Космоса, то, начиная с 1543 года - года выхода книги Н. Коперника (1473 - 1543) "О вращении небесных сфер" - процесс приобретает четкие научные формы.
“Старый космос" - это мир по Аристотелю и Птолемею. Их модели были призваны воспроизвести с максимальной точностью, то что они непосредственно наблюдали на небе, а не истинную картину мира. Космос имеет шаровидную форму, вечен и неподвижен; за его пределами нет ни времени, ни пространства. В центре его – Земля. Он дихотомичен: изменяющийся подлунный мир и совершенно неизменный надлунный. Пустоты нет: в подлунном мире - 4 элемента: земля, вода, воздух, огонь, в надлунном – эфир. Все движения в космосе - круговые, в соответствии с кинематикой Птолемея.
"Новый космос" (по Копернику) начинался с простой модели, совпадавшей с моделью Аристарха Самосского: вращение Земли происходило вокруг оси, центральное положение Солнца - внутри планетной системы. Земля - планета, вокруг которой вращается Луна. Именно эта модель, как пифагорейский символ гармоничного мира вдохновляла и самого Коперника, Галилея, и Кеплера, поскольку соответствовала астрономическим наблюдениям лучше, чем геоцентрическая модель Птолемея. Нельзя сказать, что теория Коперника позволила с большей точностью толковать астрономические наблюдения: в одних отношениях она была более точной, в других менее. А в одном важном отношении она явно противоречила тому, что считалось неоспоримым: она предсказывала наличие параллактического смещения звезд на протяжении года. Ни сам Коперник, ни кто-либо из его предшественников не могли обнаружить такого рода смещений. Коперник объяснял это удаленностью звезд, вследствие чего параллакс слишком мал, чтобы его заметить. Но возникала другая проблема: если при большой удаленность звезд мы их видим достаточно крупными, то по своим размерам они должны превосходить диаметр земной орбиты. Это противоречило здравому смыслу.
Модель Коперника, когда он попытался ее расширить, оказалась малопригодной для практического применения. Гелиоцентрическая модель была столь же громоздкой, как и геоцентрическая. Не отличалась большой точностью, вытекающие из нее выводы о размерах звезд – абсурдными. К тому же, она сохраняла и весь аппарат птолемеевской модели - круговые орбиты, эпициклы и т.д.. Значительно мощнее оказался удар этой модели по христианскому мировоззрению - недаром Мартин Лютер и Джон Донн в своей сатирической поэме "Святой Игнатий, его тайный совет .." всячески поносили католического священника Коперника. Коперник, "остановив Солнце", лишил Землю сакральности центра мироздания.
В практической же деятельности, как до Коперника, так и после него использовалась видоизмененная астрономическая модель Птолемея. Практика включала два основных направления деятельности: реформу календаря и обеспечение навигации.
Переход на новую систему летоисчисления был узаконен папской буллой от 24 февраля 1582 года. Она предписывала всем христианам по всей Европе принять григорианский календарь со следующего года. Необходимость реформы календаря была очевидна с XIV века, но отсутствовали точные астрономические данные. Прежде всего, не была известна истинная величина тропического года (промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центра Солнца через точку весеннего равноденствия).
Для ориентации корабля, как и вообще для определения положения планет на небесной сфере, использовались альфонские таблицы, составленные по указанию Альфонса X еще в 1252 году. В 1474 году в Нюрнберге впервые были напечатаны "Эфемериды" Региомонтана, а следующее их издание уже содержало таблицы для решения самой сложной задачи - определения широты места. Все великие мореплаватели XV века - Диас, Васко да Гама, Америго Веспуччи и Колумб пользовались этими таблицами. С их помощью Веспуччи определил в 1499 году долготу Венесуэлы, а Колумб смог поразить туземцев, сообщив им о предстоящем солнечном затмении 29 февраля 1504 года.
Новая модель Космоса
Первый "рабочий чертеж" новой модели мира суждено было выполнить Иоганну Кеплеру, на которого с детства выпало столько личных несчастий, что трудно найти более тяжелую судьбу. Кеплер был открытым и последовательным пифагорейцем и совершенство своей астрономической модели искал (и нашел) в сочетании правильных многогранников и описывавших их окружностей, правда, нашел их в своей третьей геометрической модели, отказавшись при этом от круговой орбиты небесных тел.
В книге "Новая астрономия” завершенной в 1607 году, Кеплер приводит два, из своих трех знаменитых законов движения планет:
• Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
• Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем, линия соединяющая Солнце с планетой (радиус-вектор планеты), за ее равные промежутки времени описывает равные площади.
Эти законы были выведены в следствии изучения движения планеты Марс, когда Кеплер стал помощником датского астронома Тихо Браге. Кеплер внес несколько коренных изменений в геометрическую модель мира Аристарха:
• Планетарные орбиты, которые в модели Аристарха целиком лежали в оной плоскости, следовало поместить в различные плоскости. Плоскости должны проходить через Солнце.
• Принцип равномерного кругового движения, который неизменно лежал в основе математического подхода к астрономии с момента зарождения до конца XVI века, следовало заменить новым – отрезок прямой, соединяющий планету с Солнцем, описывает равные площади за равные промежутки времени.
• Движение планет по круговой орбите заменить эллиптическим, поместив в один из фокусов эллипса Солнце.
Никаких промежуточных моделей за всю предшествующую историю астрономии не было. Для достижения этих идей от Кеплера требовалось беспрецедентные по точности наблюдения, самоотверженность, математический гений.
Кеплер не смог объяснить причины планетных движений: он считал, что их "толкает" Солнце, испуская при своем вращении особые частицы (species immateriata), при этом эксцентричность орбиты определяется магнитным взаимодействием Солнца и планеты. Все его усилия ушли на математическое описание предложенной геометрической модели. Сколь не простой была эта задача, свидетельствует множество безуспешных попыток Кеплера совместить его закон площадей с круговыми формами орбит. В отчаянии он усомнился в верности закона, пока не преодолел стереотип мышления: "Загипнотизированный общепринятым представлением, я заставлял их (планеты) двигаться по кругам, подобно ослам на мельнице".
Закон площадей Кеплера - это первое математическое описание планетарных движений, исключившее принцип равномерного движения по окружности как первооснову:
• Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца соотносятся как кубы больших полуосей их орбит.
Более того, он впервые выразил связь между мгновенными значениями непрерывно изменяющихся величин угловой скорости планеты относительно Солнца и ее расстояния до него. Этот "мгновенный" метод описания, который Кеплер впоследствии вполне осознано использовал при анализе движения Марса, стал одним из выдающихся принципиальных достижений науки XVII века - методом дифференциального исчисления, оформленного Лейбницем и Ньютоном.
В конце концов Кеплеру удалось построить модель Солнечной системы, которая за малым исключением, описывала движение планет и их спутников в пределах точности наблюдений Тихо Браге. Так Кеплер завершил научную программу, начатую последователями Пифагора, и заложил первый камень (вторым - стала механика Галилея) в фундамент, на котором покоится теория Ньютона.
Космология и механика Галилея
У Галилео Галилея (1564 - 1642) впервые связь космологии с наукой о движении приобрела осознанный характер, что и стало основой создания научной механики. Первоначально (до 1610 г.) Галилеем были открыты законы механики, но первые публикации и трагические моменты его жизни были связаны с менее оригинальными работами по космологии. Галилей первым отчетливо понимал два аспекта физики Архимеда : поиск простых и общих математических законов и эксперимент, как основа подтверждения этих законов.
Изобретение в 1608 году голландцем Хансом Липперсхеем, изготовителем очков, телескопа (правда, не предназначавшегося для астрономических целей), дало возможность Галилею, усовершенствовав его, в январе 1610 года "открыть новую астрономическую Эру".
Оказалось, что Луна покрыта горами, Млечный путь состоит из звезд, Юпитер окружен четырьмя спутниками и т.д. "Аристотелевский мир" рухнул окончательно. Галилей спешит с публикацией увиденного в своем "Звездном вестнике", который выходит в марте 1610 г. Книга написана на латыни и была предназначена для ученых.
В 1632 г. во Флоренции была напечатана наиболее известная работа Галилея, послужившая поводом для процесса над ученым. Ее полное название - "Диалог Галилео Галилея Линчео, Экстраординарного Математика Пизанского университета и Главного Философа и Математика Светлейшего Великого Герцога Тосканского, где в четырех дневных беседах ведется обсуждение двух Основных Систем Мира, Птолемеевой и Коперниковой и предполагаются неокончательные философские и физические аргументы как с одной, так и с другой стороны".
Эта книга была написана на итальянском языке и предназначалась для "широкой публики". В книге много необычного. Так, например, один из ее героев Симпличио (в переводе с латинского - простак), отстаивающий точку зрения Аристотеля, - явный намек на выдающегося комментатора Аристотеля, жившего в VI веке - Симпликия. Несмотря на легкость и изящество литературной формы, книга полна тонких научных наблюдений и обоснований (в частности таких сложных физических явлений как инерции, гравитации и прочие.) Вместе с тем, Галилей не создал цельной системы.
В 1638 г. вышла последняя книга Г. Галилея "Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению...", в которой он касался проблем, решенных им около 30 лет назад.
Механика Галилея дает идеализированное описание движения тел вблизи поверхности Земли, пренебрегая сопротивлением воздуха, кривизной земной поверхности и зависимостью ускорения свободного падения от высоты. В основе "теории" Галилея лежат четыре простые аксиомы, правда в явном виде Галилеем не сформулированные.
• Свободное движение по горизонтальной плоскости происходит с постоянной по величине и направлению скоростью (сегодня - закон инерции, или первый закон Ньютона).
Исходя из этого утверждения становится ясно, что тело скользящее без трения по горизонтальной поверхности не будет не ускоряться, не замедляться ни отклоняться в сторону. Это утверждение не является прямым следствием наблюдений и экспериментов. В законе говорится о движении, которое никогда не наблюдалось. Будучи последователем Архимеда, Галилей считал, что физические законы похожи на геометрические аксиомы. В природе не существует идеальных вещей и предметов. Но он не пренебрегал усложнениями вносимыми трением, воздухом – он пытался поставить эксперимент показывающий незначительность этих эффектов. Свой закон свободного движения Галилей получил не из реальной жизни и экспериментов, а из мысленного опыта.
• Свободно падающее тело движется с постоянным ускорением.
Равноускоренным называется движение, при котором скорость тела за равные промежутки времени увеличивается на одну и ту же величину:
.
Рассмотрим как Галилей пришел к этому выводу. Сначала он предположил, что первоначально покоящееся тело постепенно увеличивает свою скорость от начального значения V=0. Во времена Галилея полагали, что как только на тело начинает действовать сила тяжести, оно мгновенно приобретает скорость и эта скорость тем больше, чем тяжелее тело. Галилей мысленно поставил эксперимент, который показывал что тело, падающее из состояния покоя, должно двигаться очень медленно, а по мере падения увеличивать скорость.
Далее Галилей полагал, что движение падающих тел должно описываться простым законом.
На какое то время он решил, что это закон : ,равные приращения скорости, за равные промежутки расстояния. Но он отверг этот закон, когда понял что если бы он был справедлив, то тело, первоначально покоящееся, осталось бы в покое навсегда.
Проверить закон в первоначальном виде было практически невозможно. В то время не существовало точных часов, кратчайший промежуток времени который можно было определить 10 секунд. За 10 секунд свободно падающее тело пролетает 490 метров ! По этому для применения закона ему потребовался постулат:
• Тело, скользящее без трения по наклонной плоскости, движется с постоянным ускорением
угол наклона плоскости к горизонту
Свободное падение можно рассматривать как частный случай движения по наклонной плоскости , а закон инерции соответствует горизонтальной плоскости. Используя в своих экспериментах наклонную плоскость с малыми углами наклона, Галилей смог проверить гипотезу постоянства ускорения при вертикальном падении.
Из закона вытекает, что конечная скорость тела, скользящего без трения по наклонной плоскости из состояния покоя, зависит лишь от высоты, с которой тело начало двигаться, но не зависит от угла наклона плоскости: .Галилей гордился этой формулой, поскольку она позволяла определить скорость при помощи геометрии. Измерение скорости в то время было малонадежной процедурой из за отсутствия точных часов. Теперь можно измерить только расстояние. Если мы захотим придать телу скорость , то нужно столкнуть его с высоты , предполагая отсутствие трения.
• Принцип относительности Галилея
Представим корабль движущийся с постоянной скоростью. С его мачты сбрасывают предмет, куда он упадет? Соотечественники Галилея сказали бы, что он упадет отклонившись от
Основания мачты в сторону кормы при движении корабля, и не отклонился бы вообще будь корабль неподвижен. Однако Галилей доказал, что траектория падающего тела отклоняется от вертикали только от сопротивления воздуха. В вакууме тело упало бы точно под точкой, из которой начала падать, если корабль движется с постоянной скоростью и с неизменным направлением. Траектория падения тела для наблюдателя с берега будет парабола.
2. Блеск Петербурга
3. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Київ
4. Контрольный осмотр и прослушивание работы двигателя
5. а Угольная промышленность считалась базовой отраслью советской промышленности и на ее дотирование госуд
6. это необходимый фундамент для повседневной и творческой жизни людей
7. тема РФ сформировать навыки проведения анализа и подготовки заключений по вопросам формирования доходов г
8. Масса инкубационных яиц и продуктивность бройлеров
9. Античная философия
10. Правотворческая политика современного демократического государства
11. Понятие государства и права
12. изучает физикохимические свойства ионных систем а также явления и процессы на границе раздела фаз с учетом
13. Созвездия звёздного неба
14. Реферат- Становление феодальных отношений в Японии
15. статьях на разных языках мира смысл которых им не понятен
16. Система управления людскими ресурсами в крупных компания
17. Папайя
18. і. Міфологічні та філософські символи ldquo;Човни золотії із сивоїсивої Давниниrdquo; ~ ldquo;ласкою в серце зране
19. Лабораторная работа 1 первая часть unit Unit1; interfce uses Windows Messges SysUtils Vrints Clsses Grphics Controls Forms Dilogs
20. В V веке до нашей эры о нём уже писал древнегреческий историк Геродот