Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Блок 1.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.
Действия:
1) Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
α × (А + В) = αА + αВ; α × (βА) = (αβ) × А;
2) Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. А + В = В + А; А + (В + С) = (А + В) + С; А + 0 = А; А - А = 0; 1 × А = А;
3) Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Определитель I-го порядка – число ∆n , заданное с помощью таблицы [a11; a12; a1n; a21; a22; a2n] и вычисленное с помощью всех элементов таблицы.
aij i – номер строки, j – номер столбца
1<j<n 1<j<m
Вычисление
1) n=1 , то
2) n=2 , то
3) n=3 , то
Свойства определителей.
1) Если строки определителя взаимно заменить соответствующими столбцами, то определитель не изменится.
2) Если поменять местами любые 2 строки, то определитель поменяет знак.
3) Общий множитель любой строки можно вынести за знак определителя.
4) Если в определителе есть одна нулевая строка или столбец, то определитель равен нулю.
5) Если в определителе любые две строки равны, то определитель равен нулю.
6) Если в определителе 2 строки пропорциональны, то определитель равен нулю.
7) Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на некоторое число, отличное от неё, то определитель не изменится.
Системы линейных алгебраических уравнений.
1) Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
2) Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
k- произвольное число
3) Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
Единственное решение: (теорема Крамера),
где
Блок 7.
Возрастание и убывание функций.
Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a;b], возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке [a;b] не отрицательна, т.е. .
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в промежутке (a;b) , причём f’(x)>0 для a<x<b , то эта функция возрастает на отрезке [a;b].
Если f(x) убывает на отрезке [a;b], то f'(x)=<0 на этом отрезке. Если f'(x)<0 в промежутке (a;b), то f(x) убывает на отрезке [a;b].
Максимум и минимум функции.
max: функция f(x) в точке x1 имеет max, если значение f(x) в точке x больше, чем её значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x1.
min: функция f(x) имеет min при x>x2, если при любых достаточно малых по абсолютной величине.
Необходимое и достаточное условия экстремума.
Необходимое: если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x=x1 max или min , то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е. .
Достаточное: пусть функция f(x) непрерывная в некотором интервале, содержащем критическую точку x1 , и дифференцируема во всех точках этого интервала. Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x=x1, функция имеет max. Если же при переходе через точку x1 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке min.
Блок 2.
Основные понятия аналитической геометрии на плоскости.
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно-перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, - начале координат.
Формула расстояния между двумя точками на плоскости.
Формула для координат середины отрезка.
Различные виды уравнений прямой на плоскости.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Уравнение прямой в отрезках на осях
, где a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях.
3. Общее уравнение прямой.
Особые случаи:
1)
2)
3)
4)
5)
4. Нормальное уравнение прямой.
, где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а β – угол наклона этого перпендикуляра к оси Ox. Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно все его члены умножить на нормирующий множитель , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена C.
Вычисление угла между двумя прямыми на плоскости.
(прямые расположены относительно друг друга против часовой стрелки)
Условие параллельности.
Условие перпендикулярности.
Формула расстояния от точки до прямой.
Кривая второго порядка – это линия, определяемая уравнением второй степени, которое в общем виде можно записать так:
Окружность – геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Уравнение окружности с центром в точке C(a;b) :
Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F1 есть постоянная величина 2a, большая FF1.
Каноническое уравнение эллипса:
Эллипс, заданный этим уравнением, симметричен относительно осей координат.
Параметры a и b – полуоси эллипса.
! ПРИ a>b:
.
.
! ПРИ a<b :
;
Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F1 есть постоянная величина 2a (0<2a<F1F).
. Гипербола, заданная этим уравнением симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Ox в точках A(a;0) и A1(-a;0).
Параметр a называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.
;
Асимптоты:
Гипербола, у которой a=b , называется РАВНОСТОРОННЕЙ. ; асимптоты
Гиперболы и называются СОПРЯЖЁННЫМИ.
Парабола – геометрическое место точек, одинаково удалённых от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
1. - парабола симметрична относительно оси Ox.
; Директриса ;
2. - парабола симметрична относительно оси Oy.
; Директриса ;
Блок 3.
Основные понятия о векторах.
Вектор – это направленный отрезок , в котором точка A рассматривается как начало, а точка B – как конец.
Коллинеарные векторы – векторы, параллельные одной прямой.
Компланарные векторы – векторы, параллельные одной плоскости.
Равные векторы – 1) имеют равные модули 2) коллинеарны 3) направлены в одну сторону.
Линейные операции над векторами.
1. Умножение вектора на число.
Произведением вектора на число m называется новый вектор, имеющий длину a|m| и направленный одинаково с (при m>0) или противоположно (при m<0).
2. Сложение векторов.
Суммой векторов называется вектор, замыкающий ломаную, построенную из этих векторов.
Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.
Проекция вектора на ось.
Пусть вектор составляет угол f с осью Ox. Тогда проекция на эту ось определяется формулой:
Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций составляющих векторов на эту ось:
Два замечания о векторах.
1. Любой вектор можно представить в виде произведения его длины на его орты.
2. Для того чтобы векторы a и b были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: .
Орты – единичные векторы координатных осей (I,j и k).
Разложение вектора в координатном базисе.
, где a* - проекции на соответствующие оси.
, где a – координаты вектора.
Линейный операции над векторами:
1. Сложение.
2. Вычитание.
3. Умножение на число:
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Достаточное:
Необходимое: и
Скалярное произведение 2х векторов – произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними.
Свойства:
1)
2)
3) Если
4)
Скалярное произведение в координатной форме.
Векторное произведение векторов - это вектор , который:
1) имеет модуль, численно равный площади паралеллограмма, построенного на векторах .
2) перпендикулярен к плоскости паралеллограмма.
3) направлен в такую сторону, с которой кратчайшее вращение от a к b рассматривается соверщающимся против часовой стрелки (правая связка).
Свойства векторного произведения:
(!буквы с надстрочной чертой!)
1)
2)
3) Если
Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.
Площадь паралеллограмма, построенного на векторах a и b = |a x b|
S треугольника – та же, делённая пополам.
Блок 4.
Определение уравнения заданной поверхности.
У.з.п. – уравнение между переменными x, y, z, которым удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
Если
Вывод уравнения поверхности сферы.
C – центр сферы, M – произвольная точка.
Формула расстояния между 2мя точками в пространстве.
Общее уравнение плоскости.
Уравнение плоскости с заданной ориентацией, проходящей через заданную точку (уравнение связки плоскостей).
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Расстояние от точки до плоскости.
, где N – нормальный вектор к плоскости.
Вычисление угла между двумя плоскостями.
Условие параллельности
Условие перпендикулярности
Общие уравнения прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой.
Параметрические уравнения прямой получаем, приравняв каждое из отношений к параметру t.
Уравнения прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки.
Угол между двумя прямыми в пространстве.
Условие параллельности.
Условие перпендикулярности.
Угол между прямой и плоскостью.
Условие паралл.
Условие перпенд.
Блок 5.
Начальные понятия математического анализа.
Рациональные числа – числа целые и дробные, положительные и отрицательные, вместе с числом нуль.
Иррациональные числа – бесконечные, но не периодические десятичные дроби.
Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами различных множеств.
Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y=f(x).
Множество всех значений X – область определения D(y).
Множество y – область значения E(y).
Способы задания функции:
1) Табличный способ
|
x |
x1 |
x2 |
x3 |
xn |
|
y |
y1 |
y2 |
y3 |
yn |
2) Графический способ.
3) Аналитический способ.
y=f(x) =>
Предел функции.
Число b называется пределом функции f(x) при x, стремящимся к a, если всегда из того, что x стремится к a, не принимая значения a, следует, что f(x) стремится к b.
Замечания о пределах.
Существуют пределы слева и справа от точки.
b1 – левый предел ; b2 – правый предел.
!!!!!!!!!ГРАФИК!
Функция имеет предел тогда, когда левое предельное значение равно правому предельному значению.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение: для любого M существует
– бесконечно малая функция
- бесконечно большая функция
Основные правила вычисления пределов
1) Предел
2) Предел от суммы 2х функций равен сумме их пределов
3)Предел произведения – аналогично П.2
4) Предел частного – аналогично П.2
Первый и второй замечательные пределы
Натуральные логарифмы.
при
Непрерывность функций.
Функция непрерывна в
Условия непрерывности
1) 2) 3)
4)
Если выполняется 2 условие, но не выполняетя 3, то это разрыв 1го рода.
Если f из пределов равен бесконечности, то это разрыв 2го рода.
Блок 6.
Производная функции.
- приращение. x – произвольная точка.
Производная y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к прирощению аргумента, при стремлении последнего к нулю.
Физический смысл производной.
Производная функции – это скорость изменения функции.
Дифференциал и его практическое применение.
(I – дифференциал функции)
|
|
Производные высших порядков.
Уравнение касательной в точке M на кривой
Уравнение нормали
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.
Теорема Роля о корнях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль [f(a)=f(t)=a], то существует внутри отрезка [a;b] по крайней мере одна точка x=c, a<c<b , в которой производная f'(x) обращается в нуль, т.е. f’(c)=0.
Теорема Лагранжа о конечных приращениях.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a;b] найдётся по крайней мере одна точка c. a<c<b, что f(b)-f(f)=f’(c)(b-a).
Теорема Коши об отношении приращения двух функций.
Если f(x) и - дву функции, непрерывные на отрезке [a;b] и дифференцируемые внутри него, причём нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c , a<c<b , что
Раcкрытие неопределённостей вида 0/0 по правилу Лопиталя.
Пусть функции f(x) и на некотором отрезке [a;b] удовлетворяет условию теоремы Коши и обращается в нуль в точке x=a, т.е. тогда, если существует предел отношения
причём
Раcкрытие неопределённостей вида по правилу Лопиталя.
Пусть функции f(x) и непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки a, причём производная не обращается в нуль; пусть, далее,
Тогда существует предел и
Формула Тейлора.
или
Примеры разложения функций по формуле Маклорена.