Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный аграрный университет» |
|
Кафедра математики
Математика
Методические указания к выполнению контрольной работы № 1
Для направлений бакалавриата:
270800 Строительство
Профиль:
Промышленное и гражданское строительство
Уфа 2012
00УДК 51(07)
ББК 22.1я73,22.161.6
М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года ) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)
Составители: доцент Лукманов Р.Л., доцент Каптелинина Ф.И.
Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.
Оглавление
Введение 4
1 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса 5
4 Основные теоремы о пределах 15
4.1 Вопросы для самопроверки 18
5 Варианты индивидуальных заданий 18
Библиографический список 24
Целью настоящих методических указаний является помощь студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №1.
Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы [1] – [3] и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях. Большое количество образцов решенных задач дано в руководстве к решению задач [5]. Задачи для самостоятельного решения имеются как в представленных методических указаниях, так и в сборниках задач [4], [6].
Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле ,
где - номер варианта,
- номер задания,
- предпоследняя цифра шифра студента,
- последняя цифра шифра.
Пример.
Пусть шифр студента 1235, тогда:
номер варианта первого задания: =;
номер варианта второго задания: ;
номер варианта третьего задания: ;
номер варианта четвертого задания: .
Пусть дана система n уравнений с n неизвестными:
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
называется определителем системы.
Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной и имеет единственное решение.
В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими системами.
Наиболее простым методом для решения таких систем линейных уравнений является метод Крамера.
Формулы Крамера имеют вид:
(1.1.1)
Более универсальным и эффективным является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Решение осуществляется в два этапа: 1) система приводится к треугольному виду, 2) последовательно определяют неизвестные .
Пример 1.
Решить систему уравнений методами Крамера и Гаусса:
Решение:
а) Метод Крамера.
Найдем определитель системы,. Предварительно сложив второй столбец с третьим и разложив определитель по элементам последнего столбца.
==2(-1)=-2(-2-3)=10.
Так как , то система имеет единственное решение.
Найдем определители и , заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов (при вычислении определителя преобразования аналогичные предыдущему.)
==2(-1) -2(-1-4)=10.
При вычислении определителя последнюю строку складываем с первой и вычитаем из второй строки. Разлагаем по элементам последнего столбца.
==1(-1) =10+10=20.
При вычислении определителя последнюю строку складываем с первой и со второй строки и разлагаем получившийся определитель по элементам второго столбца.
==-1(-1) =50-20=30.
Подставляя найденные значения в формулы (1.1.1), получим:
х= у= z=
б) Метод Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы:
Разрешающим элементом удобно иметь единицу, поэтому переставим второе уравнение на место первого.
Получим нули в первом столбце, умножив первое уравнение последовательно на (-2) и (-3) и складывая со вторым и третьим.
(-2) (-3)
С помощью второго элемента второй строки сделаем нуль во втором столбце третьей строки, для чего умножим вторую строку на (-2) и сложим с третьей.
(-2) .
Таким образом, свели матрицу к треугольному виду. Запишем полученную систему уравнений:
Из последнего уравнения сразу находим значение z=3, подставляя которое во второе уравнение находим у=11-3z=11-9=2. Затем из первого уравнения найдем
х=1, у=2, z=3.
1.1 Вопросы для самопроверки
Основным методом решения задач аналитической геометрии является метод координат.
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат, которая задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми-осями координат, на каждой из которых выбрано положительное направление и масштаб.
Координаты произвольной точки А в системе ОХУ записываются так: А(х;у).
Напомним наиболее важные формулы и уравнения аналитической геометрии, необходимые для решения задач.
Так, пусть даны две точки и
Тогда: 1)Расстояние между ними определяется по формуле:
. (2.1.1)
2) Координаты точки М (х,у), делящей отрезок АВ в отношении , имеют вид:
(2.1.2)
3) В частности, координаты середины отрезка находятся по формулам:
(2.1.3)
4) Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:
(2.1.4)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом будет:
(2.1.5)
где - угловой коэффициент или тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси Ох; b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу.
Угол между двумя прямыми, заданными своими уравнениями с угловыми коэффициентами , находится по формуле:
. (2.1.6)
Из этой формулы легко получить условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Во многих задачах используется уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (уравнение пучка прямых):
, (2.1.7)
где (х,у) - координаты заданной точки (центр пучка).
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:
Ах+Ву+С=0. (2.1.8)
Расстояние от точки А до прямой, заданной общим уравнением: Ах+Ву+С=0, находится по формуле:
. (2.1.9)
Найти длину отрезка АВ, если известны координаты точек А(1;1) и В(4;5).
Решение:
Согласно формуле (2.1.1) будем иметь: подставим координаты точек А и В, получим: (ед.дл.).
Пример 3.
Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1;2) и В(4;4) и ее угловой коэффициент.
Решение:
Используем уравнение (2.1.4): Подставим в него координаты точек А и В; ;
- угловой коэффициент.
Пример 4.
Найти уравнение и длину перпендикуляра, опущенного из точки С(1;2) на прямую 3х – 4у + 2 =0.
Решение:
Через точку С проведем пучок прямых(2.1.7):
Угловой коэффициент «к» найдем из условия перпендикулярности прямых , для чего прежде найдем угловой коэффициент заданной прямой.
тогда .
Подставим найденное значение в уравнение пучка прямых.
уравнение перпендикуляра.
Длину этого перпендикуляра найдем по формуле(2.1.7):
где
- координаты точки С.
В нашем случае это будет:
Пример 5.
Найти: а) уравнение медианы АЕ; б) прямой, проходящей через точку Е, параллельно стороне АВ в треугольнике с вершинами в точках А(-3;0),В(2;5) и С(4;3).
Решение:
а) Найдем координаты точки Е – середины отрезка ВС по формулам(2.1.3):
Е(3;4).
Уравнение медианы найдем, используя уравнение прямой, проходящей через две точки(2.1.4).
Подставим в него координаты точек А и Е:
.
б) Прежде, чем ответить на вопрос задачи, найдем уравнение стороны АВ, как прямой, проходящей через две точки. Затем через точку Е проведем пучок прямых, подчинив его условию параллельности прямых.
; .
Пучок прямых,. проходящих через точку Е: у-4=к (х-3).
Условие параллельности прямых . Подставим это значение «к» в уравнение пучка, у-4=х-3, или у=х+1.
2.1 Вопросы для самопроверки
3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
Вектор – отрезок, имеющий определенную длину и направление. Любой вектор можно разложить по ортам координатных осей:
, где
х, у, z – проекции вектора на оси координат, - орты (единичные векторы координатных осей).
Модуль (длина) вектора определяется по формуле:
(3.1.1)
Если известны координаты начала и конца В()вектора, то вектор можно записать следующим образом:
(3.1.2)
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
.
Отсюда нетрудно определить угол между векторами
. (3.1.3)
Если векторы и заданы своими проекциями = и =, то скалярное произведение находится по формуле:
. (3.1.4)
Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.:
. (3.1.5)
Векторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый условиями:
.
Для векторов, заданных проекциями = и =, векторное произведение имеет вид:
. (3.1.6)
Отсюда, условие коллинеарности векторов:
. (3.1.7)
().
Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.
Если векторы заданы проекциями =, = и =, то смешанное произведение имеет вид:
. (3.1.8)
Условие компланарности (принадлежности трех векторов одной плоскости или параллельности плоскостям), имеет вид:
. (3.1.9)
Знание векторной алгебры во многом упрощает решение задач по аналитической геометрии в пространстве.
Так, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(), перпендикулярно вектору имеет вид:
. (3.1.10)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(), В(), и С(), имеет вид:
(3.1.11)
Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:
, (3.1.12)
где ()-точка, через которую проходит прямая; -проекции направляющего вектора прямой.
Уравнения прямой, проходящей через две точки, определяются так:
. (3.1.13)
Если прямая вида (3.1.12) перпендикулярна плоскости, заданной общим уравнением: , то выполняется условие:
. (3.1.14)
Рассмотрим несколько примеров применения изложенных выше теоретических положений.
Пример 6.
Записать вектор в системе орт и найти его модуль, если А(1, 2, 3);
В(0, 1, 5).
Решение.
Используя формулу (3.1.2) получим:
=(0-1)=.
Используя формулу (3.1.1), найдем модуль этого вектора:
(ед.дл.)
Пример 7.
Найти угол между векторами и .
Решение.
Используя формулу (3.1.3), получим:
,
что соответствует углу .
Пример 8.
Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами и
, выходящими из одной точки.
Решение.
Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равна модуля векторного произведения векторов и :
.
Векторное произведение найдем по формуле (3.1.6):
Найдем модуль полученного вектора, используя формулу (3.1.1):
Тогда искомая площадь будет:
(кв.ед.)
Пример 9.
Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах:
.
Решение:
Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен
, где ,
где -смешанное произведение векторов.
Величину найдем по формуле (3.1.8):
=
Тогда (куб.ед.).
Пример 10.
Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки А(1,2,5) и В(0,1,2).
Решение:
Подставив координаты точек А и В в уравнение (3.1.13), получим:
; ; .
Пример 11.
Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, 2, 3);
В(1, 1, 0) и С(2, 3, 1).
Решение:
Используя уравнение (3.1.11), получим:
(х-1),
Пример 12.
Через точку А(1, 0, 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости
Решение.
Используем канонические уравнения прямой (3.1.12), подставив координаты точки А, получим:
.
Проекции направляющего вектора прямой найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости (3.1.14).
В нашем случае это будет:, тогда будем иметь:.
3.1 Вопросы для самопроверки
Пределом функции в точке «а» называется постоянная величина «b», если для любого положительного сколь угодно малого >0 найдется такое положительное число >0, что для всех выполняется неравенство , что символически записывается так:
,
При вычислении пределов функций будем пользоваться следующими теоремами:
Кроме этих теорем широкое применение имеют два замечательных предела:
, или . (4.1.1)
или . (4.1.2)
Рассмотрим применение указанных теорем в решении конкретных примеров.
Пример 13.
Вычислить предел
Решение:
а) Подставив предельное значение аргумента в заданное выражение, получим неопределенность вида , для раскрытия которой числитель и знаменатель дроби разложим на множители, найдя предварительно корни трехчленов.
б) Подстановка предельного значения х показывает, что имеем неопределенность вида , для раскрытия которой числитель и знаменатель дроби делим почленно на .При этом получим пределы вида и т. д., которые равны нулю.
.
Пример 14.
Вычислить предел .
Решение:
Нетрудно убедиться, что имеем неопределенность , которая в отличие от предыдущего примера, содержит иррациональность в числителе.
Чтобы освободиться от этой иррациональности, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю. Применив затем формулу разности квадратов двух чисел и упростив числитель, можем сократить дробь.
Оставшаяся дробь не содержит нуль в знаменателе и дает возможность арифметического подсчета.
=
=.
Пример 15.
Вычислить предел .
Решение:
Преобразуем данное выражение:
В каждом сомножителе выполним несложные преобразования, позволяющие применить 1-ый замечательный предел:
.
Пример 16.
Вычислить предел
Решение:
Преобразуем исходное выражение так, чтобы использовать 2-ой замечательный предел.
Выделим внутри скобки единицу, сделаем замену переменной и преобразуем показатель степени.
== =.
4.1 Вопросы для самопроверки
Задание 1
Решить систему уравнений методами Крамера и Гаусса. Сделать проверку полученного решения.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
Задание 2
Даны координаты вершин треугольника АВС.
Найти:
1)длину стороны АВ;
2)уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент;
3)уравнение и длину высоты СД;
4)уравнение медианы АЕ;
5)уравнение прямой, проведенной через точку Е, параллельно стороне АВ;
6)сделать чертеж.
Задание 3
Даны координаты вершин пирамиды АВСД.
Найти:
Задание 4
Вычислить пределы:
1. а); б) ;
в) ; г) .
2. а) ; б) ;
в) ; г) .
3. а) ; б) ;
в) ; г) .
4. а) ; б) ;
в) ; г) .
5. а) ; б) ;
в) ; г) .
6. а) ; б) ;
в) ; г) .
7. а) ; б) ;
в) ; г) .
8. а) ; б) ;
в) ; г) .
9. а) ; б) ;
в) ; г) .
10. а) ; б) ;
в) ; г) .
11. а) ; б) ;
в) ; г) .
12. а) ; б) ;
в) ; г) .
13. а); б) ;
в) ; г) .
14. а) ; б) ;
в) ; г) .
15. а) ; б) ;
в) ; г) .
16. а) ; б) ;
в) ; г) .
17. а) ; б) ;
в) г) .
18. а) б)
в) г)
19. а) б)
в) г)
20. а) б)
в) г)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Письменный Д. Т.
Конспект лекций по высшей математике : полный курс / Д. Т. Письменный . - 9-е изд. - М.: Айрис-Пресс, 2008. – 280с.- Ч. 1.
2. Пискунов Н. С.
Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов / Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 415 с. Т.1.
3. Шипачев В.С.
Курс высшей математики: учебник для вузов / В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.
4. Берман Г. Н.
Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2006 - 432 с.
5. Лунгу К.Н.
Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 574 с.
6. Шипачев В. С.
Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 304 с.: ил.
7. Данко П. Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова . - 6-е изд..-М.: ОНИКС.- 2008 .-368 с.- Ч.1.
EMBED Equation.3
EMBED PBrush