Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство РФ по связи и информатизации
ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
Уральский технический институт связи и информатики (филиал)
Кафедра физики, прикладной математики и информатики
КУРСОВАЯ РАБОТА
по информатике
ВАРИАНТ №1:
«Визуализация численных методов.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений».
Исполнитель:
студент гр. МЕ-71
Арапов И.А.
Руководитель:
Доцент Минина Е.Е
Екатеринбург
2008
Введение
Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения ДУ играют важную роль в практике инженерных расчетов. Дифференциальные уравнения - уравнения, связывающие между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производную.
Если решить сложно или невозможно, используют числовые методы, то есть приближенные значения. В числовых методах обязательно используют начальные условия, чтобы исключить константу.
Числовые методы позволяют построить интегральную кривую по точкам. В зависимости от того, сколько точек используется для расчета очередной точки интегральной кривой, все численные методы делятся на одношаговые и многошаговые. В нашем случае мы используем одношаговые численные методы.
Основные цели и задачи работы:
Целью моей работы является изучение основ системы программирования Microsoft Visual Basic и приобретение начальных навыков разработки программного обеспечения для операционных систем Windows.
1. Постановка задачи
Решить методами Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка 2*x*y*dx-(x+1)=0
на отрезке [1,2; 2] с шагом h=0.1 и начальным условием: Y(0) = 1. Общее решение: y=exp(2*x)*C/(x+1)^2
Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:
|
X |
Y(1) |
Y(2) |
YT |
|
X0 |
Y0(1) |
Y0(2) |
Y(X0) |
|
X1 |
Y1(1) |
Y1(2) |
Y(X1) |
|
… |
… |
… |
… |
|
Xk |
Yk(1) |
Yk(2) |
Y(Xk) |
Где: Y(1) - решение, полученное методом Эйлера, Y(2) – решение, полученное методом Рунге-Кутта 4 порядка, YT – точное решение дифференциального уравнения.
Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.
Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.
2. Описание используемых методов
2.1 . Решение поставленной задачи методами Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка
2.1. 1. Метод Эйлера
1. Строим оси координат;
2. Отмечаем A(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;
3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1,2; 1))=arctg(-0.598)=333º
4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;
5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования
x1 = 1,2+ 1 · 0,1 = 1,3
6. Проводим прямую x = x1 = 0,1 до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);
7. Ищем y точки B:
Из прямоугольного треугольника ABC ,
Δy = y1 – y0,
Δx = x1 – x0 = h,
f(x0; y0) = (y1 – y0)/h =>
y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1,2; 1) = 0,95
Следовательно, точка B имеет координаты (1,3; 0,95).
2.1.2. Метод Рунге-Кутта 4 порядка
1. Строим оси координат;
2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;
3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;
5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih
x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;
k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055
k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403
k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406
k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346
∆y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619
∆y2=1+(-0,03619)=0,964
Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)
3. Блок-схемы основных процедур.
Блок-схема функции.
Блок-схема методЭйлера.
Блок-схема методом Эйлера модифицированным.
Блок-схема графика.
Блок схема программы.
4. Формы программы.
Исходный вид формы программы.
Итоговый вид формы программы.
5. Листинг программы на языке Visual Basic.
Dim x(50) As Single, y(50) As Single, k(50) As Single, z(50) As Single, p(50) As Single
Private y0 As Single
Private x0 As Single
Private xk As Single
Private C As Single
Function f(t As Single, q As Single) As Single
f = 2 * t * q / t + 1
End Function
Private Sub Command2_Click()
x0 = Val(Text1.Text)
xk = Val(Text2.Text)
y(0) = Val(Text4.Text)
h = Val(Text3.Text)
p(0) = y(0)
z(0) = y(0)
n = Round((xk - x0) / h)
C = (y(0) * (x0 + 1) ^ 2) / Exp(2 * x0)
MSFlexGrid1.Rows = n + 2
MSFlexGrid1.Cols = 4
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "P"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yэ"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yэм"
Max = y(0)
Min = y(0)
For i = 1 To n
x(i) = x0 + i * h
p(i) = Round(C * (x(i) * x(i) * x(i)) )
y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h )
z(i + 1) = Round(z(i) + f(x(i) + h / 2, z(i) + h / 2 * f(x(i), z(i))) * h)
If y(i) > Max Then Max = y(i)
If y(i) < Min Then Min = y(i)
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(p(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(z(i))
Next i
Picture1.Cls
kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)
ky = (Picture1.Height - 1200) / (Max - Min)
Label4.Caption = Str(Min)
Label5.Caption = Str(Max)
Label6.Caption = Str(x0)
Label7.Caption = Str(xk)
For i = 0 To n - 1
z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)
z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)
z4 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)
z5 = Round(5400 - (p(i) - Min) * ky)
z6 = Round(5400 - (p(i + 1) - Min) * ky)
z7 = Round(5400 - (z(i) - Min) * ky)
z8 = Round(5400 - (z(i + 1) - Min) * ky)
Picture1.Line (z1, z7)-(z3, z8), vbRed
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vbGreen
Picture1.Line (z1, z5)-(z3, z6), vbBlue
Next i
End Sub
Private Sub Command1_Click()
End
End Sub
6. Решение задачи в MathCAD.
Заключение
В данной курсовой работе я изучил численные методы решения задачи
По окончании работы я научился работать в среде программирования Visual Basic 6.0. и MathCad.
Я, в своей курсовой работе решал уравнение двумя методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного.Я выяснил, что метод Эйлера модифицированный имеет меньшую погрешность, чем метод Эйлера.
Eiler
h=(xk-x0)/N
i=0,…,N-1
x(i)=x0+h*i
yi=yi-1+h*f(xi-1,yi-1)
end
Eiler mod
=(xk-x0)/N
i=0,…,N-1
x(i)=x0+h*i
Yi=y(i-2)+h*F(x(i-2)+h/2,y(i-2)+h/2*F(x(i-2), y(i-2))
end
end
F=2*t*q/t+1
F(t,q)
Graphic
x0, xk, y0, h
N=Round((xk-x0)/h)
MSFlexGrid1.Rows=n+2
MSFlexGrid1.TextMatrix(0,0)=”X”
MSFlexGrid1.TextMatrix(0,1)=”YЭ”
MSFlexGrid1.TextMatrix(0,2)=”YЭМ”
MSFlexGrid1.TextMatrix(0,3)=”P”
x(0)=x0
y(0)=y0
c=y0*(x0+1)^2/exp(2*x0)
y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))
For i=0 to N
x(i)=x0+h*i
Z(0)=y0
y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)++h*F(x(i),y2(i))/2
Y(i)=exp(2*x(i)) *C/(x(i)+1)^2
min=Y(0)
For i=0 to N
Y(i)<min
min=y(i)
max=Y(0)
For i=0 to N
Y(i)>max
max=Y(i)
kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)
ky = (Picture1.Height - 1200) / (Max - Min)
нет
да
нетт
да
p(0)=y0
For i=0 to N-1
p1=720+(x(i)-x0)*kx
p2=5400-(y1(i)-min)*ky
p3=720+(x(i+1)-x0)*kx
p4=5400-(Y(i+1)-min)*ky
p5=5400+(p(i)-min)*ky
p6=5400-(p(i+1)-min)*ky
p7=5400-(z(i)-min)*ky
P8=5400-(z(i+1)-min)*ky
Picture1.Line(p1,p2)-(p5,p6),vbRed
Picture1.Line(p1,p3)-(p5,p7),vbGreen
Picture1.Line(p1,p4)-(p5,p8),vbBlue
end
Programma
x0, xk, y0, h
h=(xk-x0)/N
c=y(0)*(x0+1)^2/exp(2*x0)
i=0,…,N
x(i)=x0+h*i
y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))
y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)++h*F(x(i),y2(i))/2
Y(i)=( exp(2*x(i)) *C/(x(i)+1)^2
x(i),y1(i),y2(i),Y(i)
end