Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию fч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены
f(u )- аппроксимирующая функция
Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x 0 f(x 0 ) требуется построить аппроксимирующюю функцию j (x) совпадающую в узлах с x i c заданной, то такой способ называется интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид
j (x)=p n (x)=a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a n ,a n-1 , …a 0 , так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:
P n (x i )=y i i=0,1,…n
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L n (x)
i ¹ j
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией
Задание
С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке x c , узлы интерполяции расположены равномерно с шагом D х=4,1 начиная с точки х 0 =1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}
ГСА для данного метода
CLS
DIM Y(9)
DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10
FOR I = 0 TO N - 1
X(I) = X0 + H * I
READ Y(I)
PRINT Y(I); X(I)
NEXT I
S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
FOR I = 0 TO N - 1
S1 = S1 + X(I) ^ 2
S2 = S2 + X(I)
S3 = S3 + X(I) * Y(I)
S4 = S4 + Y(I)
NEXT I
D = S1 * N - S2 ^ 2
D1 = S3 * N - S4 * S2
D0 = S1 * S4 - S3 * S2
A1 = D1 / D: A0 = D0 / D
YC = A1 * XC + A0
PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC
FOR X = 0 TO 50 STEP 10
Y = A1 * X + A0
PRINT X, Y
NEXT X
END
XC= 10
Х Y
.3 -6.56
.4 -3.77
.5 -1.84
.6 .1
.7 2.29
.8 4.31
.9 5.86
8.82
.1 11.33
.2 11.27
S=-1.594203
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x i ,y i ), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.
Графическая интерпретация аппроксимации
Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий
Обозначим через f i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x i и сопоставляемое с y i
Одно из условий согласования можно записать как
S = (f i -y i ) min ,
т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается
Использование критерия S = |f i -y i | min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума
Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов , т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой
S = (f i -y i ) 2 , (1)
обращается в минимум
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C 0 + C 1 X + C 2 X 2 +...+C M X M . (2)
Формула (1) примет вид S = ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - Y i ) 2
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С 0, С 1 ,...С М :
S C0 = 2 ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - Y i ) = 0 ,
S C1 = 2 ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - y i ) X i = 0 , (3)
S CM = 2 ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - Y i ) X i M = 0 ,
Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
C 0 (N+1) + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+ C M X i M = Y i ,
C 0 X i + C 1 X i 2 + C 2 X i 3 +...+ C M X i M+1 = Y i X i ,(4)
C 0 X i M + C 1 X i M+1 + C 2 X i M+2 +...+ C M X i 2M = Y i X i M
Для определения коэффициентов С i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении
|
(N+1) |
X i |
X i 2 |
... |
X i M |
Y i |
|
X i |
X i 2 |
X i 3 |
... |
X i M+1 |
Y i X i |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
X i M |
X i M+1 |
X i M+2 |
... |
X i 2M |
Y i X i M |
Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения
Задание
Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.
Программа
¦CLS
¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10
¦DIM Y(9): DIM X(9)
¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
¦FOR I = 0 TO N - 1
¦X = X0 + H * I:
¦X(I) = X
¦READ Y(I)
¦PRINT X(I), Y(I)
¦NEXT I
¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
¦I = 0
¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:
¦S2 = S2 + X(I):
¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):
¦S4 = S4 + Y(I)
¦I = I + 1
¦IF I <= N - 1 THEN 10
¦D = S1 * N - S2 ^ 2:
¦D1 = S3 * N - S2 * S4:
¦D0 = S1 * S4 - S2 * S3
¦A1 = D1 / D:
¦A0 = D0 / D
¦Y = A1 * XC + A0
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0="; A0,
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1="; A1,
¦PRINT TAB(2); "ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y="; Y
¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10
¦Y = A1 * X + AO
¦PRINT X, Y
¦NEXT X
¦FOR I = 1 TO N - 1
¦S = S + Y(I): NEXT I
¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 * S)
¦PRINT "ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D="; D
Ответы
Х Y
.3 -6.56
.4 -3.77
.5 -1.84
.6 .1
.7 2.29
.8 4.31
.9 5.86
8.82
.1 11.33
.2 11.27
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5007687
ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495
5.007687
10.01537
ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166.9725