Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос № 22
Теория Марковских случайных процессов.
У теории вероятности очень интересная история. Корни науки уходят далеко в глубь веков, в древнейших государствах – Китае, Индии, Египте, Греции использовались некоторые элементы теории вероятности для переписи населения и даже для определения численности войск неприятеля.
Основоположником теории считают математика, физика и философа Б. Паскаля. Впервые он занялся теорией вероятностей под влиянием вопросов, поставленных перед ним одним из придворных французского двора – шевалье де Мере, блестящим кавалером, философом, искусствоведом и азартным игроком. Но и игра была поводом для глубоких размышлений. Де Мере предложил Б. Паскалю два знаменитых вопроса:
1. Сколько раз надо бросить две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?
2. Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-либо причинам прекратили игру преждевременно?
Эти задачи послужили поводом для первоначального введения понятия «математическое ожидание» и формулирования основных теорем сложения и перемножения вероятностей. Вскоре были определены практические приложения: страхование, демография и т.д.
Якоб Бернулли открыл закон больших чисел, который дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта.
Дальнейшие успехи развития теории вероятностей связаны с П. Лапласом, К. Гауссом, С. Пуассоном и др.
В России математик В.Я. Буняковский в начале 19 в. написал первый учебник по теории вероятностей и разработал ее терминологию в современном виде. П.А. Чебышев, А.А. Марков и А.М. Ляпунов ввели понятие «случайной величины», с которой начала развиваться новая ветвь теории вероятности – теория случайных процессов.
6.2. Основные понятия Марковских процессов
Функционирование различных систем представляет собой последовательность переходов из одного состояния в другое. Если состояние системы меняется во времени случайным образом, то последовательность состояний может рассматриваться как случайный процесс.
Система называется системой с дискретными состояниями, если множество ее состояний конечно, а переходы из одного состояния в другое осуществляется скачком.
Процесс перехода называется цепью.
Определение цепи Маркова
Имеется некоторая физическая система, имеющая конечное число к всех возможных фазовых состояний . Пусть в зависимости от вмешательства случая система шаг за шагом (в моменты времени t0<t1<t2…) скачкообразно меняет свое фазовое состояние, то есть имеют место переходы Q0Q1…, где Qn=Q(tn) – состояние системы через n шагов, а Q0=Q(t0) – начальное состояние системы.
, (6.1)
где - одно из возможных пространств состояний .
Вероятность перехода на -шаге (условная вероятность):
. (6.2)
Таким образом, для вычисления совместных вероятностей Р(Q0, ..,Qn) необходимо задать начальное состояние системы и указать физический механизм осуществления смены состояний, позволяющий вычислить вероятности перехода .
1. Частный (вырожденный) случай цепи Маркова. Смена всех состояний происходит независимо, то есть вероятность какого-либо состояния на -м шаге не зависит от того, в каких состояниях находилась система в предыдущие моменты времени.
– последовательность независимых испытаний.
2. Вероятность фазового состояния параметра Qn в момент времени tn зависит лишь от того, в каком состоянии находилась система в непосредственно предшествующий ему момент времени tn-1, и не зависит от того, в каких состояниях находилась система в более ранние моменты времени t0,…,tn-2.
. (6.3)
3. Цепь Маркова порядка , если вероятность нового состояния зависит только от m состояний системы, непосредственно ему предшествующих:
. (6.4)
Время пребывания системы в некотором состоянии может быть либо дискретным, либо непрерывным. В зависимости от этого различают системы с дискретным или непрерывным временем.
Простейшей вероятностной характеристикой случайного процесса служит набор вероятностей состояний P1(t), P2(t), ... Pn(t), где Pi(t) – вероятность перехода системы в состояние Si в момент времени t. Условие нормировки P1+P2+...+Pn=1.
Если в процессе функционирования система оказывается в состоянии Si, то вероятность перехода ее в состояние Sj в общем случае зависит не только от состояния Si, но и от предыдущего состояния.
Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским (процессом без последействия), если для любого момента времени t0 вероятность состояния системы в будущем (при t>t0) зависит только от состояния в настоящем (при t=t0) и не зависит от того, как и каким образом, система пришла в данное состояние (т.е. не зависит от предыстории).