Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препод2

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 24.11.2024

План учебного занятия № 91-92.

дисциплины «Высшая математика»

Специальность  2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий

Группа     

Преподаватель Моисеева Т.И.

Раздел программы   Числовые и функциональные ряды.

Тема:   Функциональные ряды, сумма и область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов.                       

Цель обучения: Сформировать понятие  функционального ряда, его суммы и области сходимости.

Цель развития: Показать возможные  способы

Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.

Тип занятия: Урок изучения нового материала.

Вид занятия:  Урок-лекция.

Межпредметные связи: Науки, изучающие применение  рядов в приближенных вычислениях и при изучении других дисциплин.

Ход занятия:

  1.                            Функциональные последовательности.

 Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

 Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство

выполняется при n>N.

При выбранном значении >0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.

 Определение. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0  существует номер N = N(), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

 Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

Построим графики этой последовательности:

sinx                                                 

 Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.

  1.                                              Функциональные ряды.

 Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда  называются функции

 Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности  называется суммой ряда  в точке х0.

 Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

 Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

 Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

 Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа >0 существовал такой номер N(), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

 Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

 Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд  мажорируется числовым рядом .

 Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как  всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд  при =3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

 Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство  т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-, -1) (1, ) расходится.

  1.                                    Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

 Если члены ряда  - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

 Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

 3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

 Если члены ряда  сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

 

 На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.




1. I Tht disese chrcterized by severe inflmmtion of mucous membrnes nd usully trnsmitted sexully hd spred beyond the genitls to the rest of the body
2. Омский государственный технический университет З
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РОДИТЕЛЬСКОЙ УСТАНОВКИ МАТЕРИ НА РАЗВИТИЕ РЕБЁНКА
4. Статья- Каталитические реакторы для дожигания отходящих газов
5. з курсу Психологія і педагогікаrdquo; для студентів інженерних економічних спеціальностей УСІХ.html
6. Topics It overlps with wider more generl field known s psychology of lnguge which includes the reltionship of lnguge to thought nd with n even wider one the psychology of communiction
7. на тему- ИИС бурения нефтяных и газовых скважин Выполнил- ст
8. карьера Карьера ~ успешное продвижение вперед в той или иной области деятельности
9. Уголовный кодекс Российской Федерации
10. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук5
11. Основные периоды и этапы в развитии отечественной истории физической культуры и спорта как учебной дисциплины
12. а Источником электромагнитной волна обычно служит какаянибуть небольшая элементарная антенна называемая
13. 1] 1 Хронологические рамки античной литературы её особенности и историческое значение [0
14. Парижские отели
15. Тот Боян исполнен дивных сил Приступая к вещему напеву Серым волком по полю кружил
16. тематичних фізичних навантаженнях
17. ICHRCTERISTICS OF CORPORTION
18. Экономико-географическая характеристика Аргентины
19. Я уже и забыл когда в последний раз наблюдал чтобы дождь лил с такой силой
20. где Со.м. ~ стоимость основных материалов руб