Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препод2

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 9.11.2024

План учебного занятия № 91-92.

дисциплины «Высшая математика»

Специальность  2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий

Группа     

Преподаватель Моисеева Т.И.

Раздел программы   Числовые и функциональные ряды.

Тема:   Функциональные ряды, сумма и область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов.                       

Цель обучения: Сформировать понятие  функционального ряда, его суммы и области сходимости.

Цель развития: Показать возможные  способы

Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.

Тип занятия: Урок изучения нового материала.

Вид занятия:  Урок-лекция.

Межпредметные связи: Науки, изучающие применение  рядов в приближенных вычислениях и при изучении других дисциплин.

Ход занятия:

  1.                            Функциональные последовательности.

 Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

 Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство

выполняется при n>N.

При выбранном значении >0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.

 Определение. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0  существует номер N = N(), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

 Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

Построим графики этой последовательности:

sinx                                                 

 Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.

  1.                                              Функциональные ряды.

 Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда  называются функции

 Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности  называется суммой ряда  в точке х0.

 Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

 Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

 Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

 Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа >0 существовал такой номер N(), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

 Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

 Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд  мажорируется числовым рядом .

 Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как  всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд  при =3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

 Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство  т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-, -1) (1, ) расходится.

  1.                                    Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

 Если члены ряда  - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

 Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

 3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

 Если члены ряда  сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

 

 На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.




1. 30 ноября ДАТА и ВРЕМЯ Мероприятие ВА
2. ТЕМА 3 Защита частных прав Иски1
3. статья] [к содержанию] [следующая статья] Г
4. Лабораторная работа 39 1
5. Пусть хотя бы ктото будет счастлив ~ прокомментировала витавший дух разлада Витта
6. АМБЕЛЯЕВ ВОЕННАЯ СОЦИОЛОГИЯ- ПРОБЛЕМЫ МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЙ РЕФЛЕКСИИ БЕЛЯЕВ Александр Матвеевич к
7. Программа надзора за животными
8. Тема снижения затрат всегда является актуальной
9. Вначале была только Тишина полная Тишина
10. Факторы влияющие на формирование планировочной структуры города
11. Зварювання ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри зварювального
12. Завещание как одна из форм активного волеизъявления
13. Методы организации коллективной мыследеятельности
14. Особенности организации экспорта лесоматериалов круглых хвойных пород с учетом обязательств Российской Федерации при присоединении к ВТО
15.  Понятие предмет и задачи архивного законодательства
16. 7 лет является переход в новый социальный статус- дошкольник становится школьником
17. Облік доходів від операційної діяльності підприємства та шляхи їх удосконалення на ТОВ Золотий колос
18. СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТОКСИКОЛОГИИ ЯДОВИТЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ ЖИДКОСТЕЙ ТОКСИКОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭТИЛЕНГЛИКОЛЯ И ЕГО ЭФИРОВ
19. терапия ПОСОБИЕ ДЛЯ НАЧИНАЮЩЕГО КЛИЕНТА Кто такой психотерапевт Как найти психотерапев
20. Гомельский государственный дорожностроительный колледж имени Ленинского комсомола Белоруссии