Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Математика билеты:
Вопрос № 1
Матрицы и операции над ними.
Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами. Они обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной, а прямоугольной когда (m ≠ n).
Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.
Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .
Операции:
1) Две матрицы называются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах и размерности.
2) Сложение матриц - сумма матриц А и В называется матрица С той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. С=А+В и cij = aij bij .Эта операция обладает теми же свойствами что и сложение чисел.
3) Умножение матрицы на число - умножение каждого элемента матрицы на это число.
Свойства:
(АВ) =А В
А() = А А
(*β)А = (α*А)β
4) Произведение двух матриц - произведение матрицы А (m*n) на матрицу В (n*p) есть матрица С(m*n), что каждый элемент матрицы С равен сумме произведений элементов i – той строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В.
Свойства:
АВ ВА
(А+В)*С=А*С+В*С
АЕ = ЕА = А
(АВ)С=А(ВС)
(AB) = (A)B = A(B).
Вопрос № 2
Определители. Свойства определителей.
Определителем n-ого порядка матрицы называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «» в противном случае.
Свойства определителей
1) Транспонированием матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. Определители не меняются при транспонировании.
2) Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.
Док-во: каждое слагаемое определителя содержит множители один из элементов 0 строки или 0 столбца и => все слагаемые равны 0, а значит =0 и определитель.
3) Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
4) Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.
5) Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.
6) Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
7) Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же.
8) Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.
9) если в определителе n-ого порядка вычеркнуть i-ую строку и j-ый столбец, то получится определитель 1 порядка, который называется минором исходного определителя.
Алгебраическим дополнением Аij элементами aij данного определителя называется Мij взятый со знаком + если сумма i+j= четна, и "-" если нечетна.
Вопрос № 3
Уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Так вот зависимость между абсциссой и ординатой каждой точки прямой в фиксированной системе координат, может быть задана уравнением, которое называют уравнением прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxyесть некоторое уравнение с двумя переменными x и y, которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой.
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Угол между прямыми
Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями:
l1: y=k1x+в1
l2: y=k2x+в2
c углами наклона к оси Ох соответственно φ1 и φ2 (рис.2).
Обозначим через φ1 угол наклона прямой l1 к оси Ох и через φ угол, на который нужно повернуть прямую l1 до совпадения с l2 (рис. 6).
Тогда φ1+φ=φ2 будет, очевидно, углом наклона прямой l2 к оси Oх. Отсюда φ=φ2-φ1 и если прямые l1и l2 не являются перпендикулярными, то (по известной формуле тригонометрии)
Заметив, что tgφ1=k1 и tgφ2=k2 получим:
(9)
Если прямые расположенные на плоскости параллельны, то их угловые коэффициенты равны, а если прямые ┴ то их угл. коэф. обратны по величине и знаку.
Расстояние от точки до прямой:
Расстояние d от точки M0(x0,y0,z0)до прямой Аx+By+C=0 вычисляется по формуле:
Вопрос № 4
Уравнение плоскости. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
Вопрос № 5
Векторы. Операции над векторами.
Вектор - направленный отрезок или упорядоченную совокупность двух точек. Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны или лежат на одной прямой. Два вектора считаются равными, если: 1) равны их длины 2) они коллинеарны 3) одинаково направлены.
Проекцией вектора АВ на ось называется длина отрезка этой оси, расположенной между точками а1 и b1, являющимися проекциями точек а и b и взятое со знаком "+", если направление отрезка a1b1 совпадает c направлением оси и со знаком "-", в обратном случае.
. Т.к. вектор задается точками начала и конца положения которых определяются координатами, т.е. проекциями точек на координатной оси. => вектор однозначно определяется проекциями на оси x, y, z, которые являются координатами вектора.
1) сложение - суммой 2х векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом 1 го вектора, а конец с концом 2 го, если конец 1 го вектора совмещен с началом 2 го.
Рис.10.2.Сложение векторов
1° - коммутативность
2° - ассоциативность
3°
4°
2) умножение вектора на число - произведение вектора а на число m называется вектор ma, длина которого в m раз больше длины вектора а , а направление совпадает с направлением вектора а, если m>0 и противоположно а, если m<0.
Свойства умножения вектора на число:
3) разложение вектора на составляющие - такое представление вектора ОМ называется разложением на составляющие, причем величины x, y, z представляют собой проекции вектора ОМ на координатные оси, т.е. координаты ОМ.
12333 3