Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Ответы к ЛР 6-1
1. Вынужденные колебания в контуре RLC-контуре, их возникновение, дифференциальное уравнение этих колебаний и его решение. Частота вынужденных колебаний.
Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию. Если вынуждающая сила, действующая на колебательную систему, изменяется по гармоническому закону
F = Fm cos(t) ,
то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний можно представить в виде
, (14)
где – коэффициент затухания , а 0 – собственная частота колебаний системы. Это неоднородное дифференциальное уравнение (с правой частью, не равной нулю). Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение уравнения такого вида представляет собой сумму общего решения однородного уравнения затухающих колебаний, рассмотренного ранее, и частного решения данного неоднородного уравнения. При этом первое убывающее слагаемое играет роль только во время установления колебаний. B установившемся режиме вынужденные колебания являются гармоническими, незатухающими, происходят с частотой вынуждающей силы . Их уравнение
x = xmcos (t + ) (15)
Рис. 3
При этом амплитуда xm вынужденных колебаний равна , (16) а сдвиг фаз этих колебаний по отношению к вынуждающей силе определяется из равенства
. (17)
Зависимость вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (16) приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.
2. Понятие электрического резонанса. Резонанс напряжения в контуре. Резонансная частота
Под резонансом электрической цепи понимают такое состояние цепи, когда ток и напряжение совпадают по фазе, и, следовательно, эквивалентная схема цепи представляет собой активное сопротивление. Такое состояние цепи имеет место при определенном соотношении ее параметров r, L, С, когда резонансная частота цепи равна частоте приложенного к ней напряжения.
Резонанс в электрической цепи сопровождается периодическим переходом энергии электрического поля емкости в энергию магнитного поля индуктивности и наоборот.
При резонансе в электрической цепи малые напряжения, приложенные к цепи, могут вызвать значительные токи и напряжения на отдельных ее участках. В цепи, где r, L, С соединены последовательно, может возникнуть резонанс напряжений, а в цепи, где r, L, С соединены параллельно,— резонанс токов.
При резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т. е. угол φ = 0. и полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению.
z = √r2 + (xL - xС)2 = r.
Это равенство, очевидно, будет иметь место, если xL = хС , т. е. реактивное сопротивление цепи равно нулю:
x = xL — xС = 0.
Выразив xL и xС соответственно через L, С и f, получим
|
2πfL = |
1 |
, |
|
2πfC |
откуда
|
f = |
1 |
= fрез |
|
2π√LC |
где f — частота напряжения, подведенного к контуру; fрез — резонансная частота.
Таким образом, при xL = xС в цепи возникает резонанс напряжений, так как резонансная частота равна частоте напряжения, подведенного к цепи.
3. Добротность колебательного контура и определение добротности в данной работе.
Q – добротность колебательной системы. По определению Q – это отношение числа к логарифмическому декременту затухания колебаний:
Q = /
о
Uc
1
2
Рис.2
о
Для колебательного контура вводится понятие добротности, которая определяется как
Q = Uomax/o. (8)
Или
Q = , (9)
где Rк - некоторое эффективное сопротивление, учитывающее потери энергии в контуре. Зная несколько сопротивлений Ri, включаемых в контур, можно определить величину Rк:
.
.
4. Определение индуктивности, сопротивления контура и коэффициента затухания в данной работе
Индукти́вность— коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и магнитным потоком, Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.
Зная величину индуктивности и сопротивление в контуре можно вычислить коэффициент затухания по соотношению
i=(Rк + Ri)/2L
Силу тока в цепи и напряжение на конденсаторе можно связать, рассматривая процесс изменения заряда конденсатора. IR + Uc = +s , (1)
. (2)
Подставляя (2) в (1), получим
. (3)
Введем обозначения: R/2L=, 1/LC=o2 и o/LC=Eo (о- частота собственных колебаний контура, - коэффициент затухания). После подстановки в (3) получим неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
,