Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №3
Механика
Динамика материальной точки
(Три закона Ньютона. Закон относительности Галилея. Силы рассматриваемые в механике)
3.1. Первый закон Ньютона
В кинематике, где только описываются движения и не затрагивается вопрос о причинах, их вызывающих, никакой принципиальной разницы между различными системами отсчета нет, и все они в этом отношении равноправны. Иначе обстоит дело в динамике, где изучаются законы движения. Здесь обнаруживается существенное различие между разными системами отсчета и преимущества одного класса систем отсчета по сравнению с другим.
В принципе можно взять любую из бесчисленного множества систем отсчета. Однако законы механики в разных системах отсчета имеют, вообще говоря, различный вид и может оказаться, что в произвольной системе отсчета описание даже совсем простых явлений будут весьма сложным. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики были бы возможно более простыми. Такая система отсчета, очевидно, наиболее удобна для описания механических явлений.
Рассмотрим с этой целью ускорение частицы в некоторой произвольной системе отсчета. Какова причина этого ускорения? Опыт показывает, что этой причиной могут быть как действие на данную частицу каких-то определенных тел, так и свойства самой системы отсчета (действительно, относительно разных систем отсчета ускорение в общем случае будет различным).
Можно, однако, предположить, что существует такая система отсчета, в которой ускорение материальной точки целиком обусловлено только взаимодействием ее с другими телами. Свободная частица, не подверженная действию никаких других тел, движется относительно такой системы отсчета прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции. Такую систему отсчета называют инерциальной.
Утверждение, что инерциальные системы отсчета существуют, составляет содержание первого закона классической механики - закона инерции Галилея - Ньютона - таково: существуют системы отсчета, называемые инерциальными, в которых при отсутствии воздействия других тел частица сохраняет стационарное состояние движения: движется равномерно и прямолинейно (в частном случае - покоится).
Следует заметить, что оба вида стационарных состояний являются идеализацией реально наблюдаемых природных процессов. Так покой, который в античности считался единственно возможным стационарным состоянием (Аристотель, 384-322 до н. э.), возможен лишь в пренебрежении, например, хаотичным тепловым движением молекул тела. Стационарность равномерного прямолинейного движения (достижение физики 17 века) верна при неучете взаимодействия с телом отсчета (например, гравитационного - по закону тяготения Ньютона) и приборами, которые в результате взаимодействия с частицей измеряют ее "неизменную" скорость. Если для тела неприменима модель частицы (материальной точки), то понятие стационарности состояния резко обогащается и усложняется, но это уже предмет кантовой теории.
Существование инерциальных систем отсчета подтверждается опытом. Первоначальными опытами было установлено, что такой системой отсчета является Земля. Последующие более точные опыты показали, что эта система отсчета не совсем инерциальная: были обнаружены ускорения, существование которых нельзя объяснить действием каких-либо определенных тел - необходимо учитывать вращение Земли и ее движение вокруг Солнца (опыт Фуко по сохранению неизменной плоскости качания маятника с шаровым подвесом без трения и все аналогичные ему). Заметим, что во многих случаях систему отсчета, связанную с Землей, можно считать практически инерциальной.
В то же время наблюдения над ускорениями планет показали инерциальность гелиоцентрической системы отсчета (система Коперника, в честь Николая Коперника, 1473-1543), связанной с центром Солнца и "неподвижными" звездами. В настоящее время инерциальность гелиоцентрической системы отсчета подтверждается всей совокупностью опытов в пределах точности имеющихся измерений. Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, является также инерциальной. Действительно, если в гелиоцентрической системе отсчета ускорение тела равно нулю, то оно равно нулю и в любой другой из этих систем отсчета.
Таким образом, существует не одна, а бесчисленное множество инерциальных систем отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно. Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называют неинерциальными.
Важной особенностью инерциальных систем отсчета является наличие, определенных свойств симметрии времени и пространства. Опыт убеждает, что в этих системах отсчета время однородно, а пространство однородно и изотропно. Свойства симметрии пространства и времени тесно связаны с законами сохранения и определяют их количество.
Однородность времени заключается в том, что протекание физических явлений (в одних и тех же условиях) в разное время их наблюдения одинаково. Иначе говоря, различные моменты времени эквивалентны друг другу по своим физическим свойствам.
Однородность и изотропность пространства заключаются в том, что свойства пространства одинаковы в различных точках (однородность), а в каждой точке одинаковы во всех направлениях (изотропность).
По отношению к неинерциальным системам отсчета пространство не является однородным и изотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами, то тем не менее его различные положения в пространстве и его различные ориентации в механическом отношении не эквивалентны. То же самое относится в общем случае и ко времени, которое будет неоднородным, т. е. его различные моменты неэквивалентны. Ясно, что такие свойства пространства и времени вносили бы большие усложнения в описании механических явлений. Так, например, тело, не подверженное действию со стороны других тел, не могло бы покоиться: если его скорость в некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в определенном направлении.
3.2. Принцип относительности Галилея
Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относительности Галилея, согласно которому все инерциальные системы по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу. Это значит, что никакими механическими опытами, проводимыми "внутри" данной инерциальной системы, нельзя установить, покоится эта система отсчета или движется. Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы, одинаковы также и все законы механики.
Это утверждение - один из важнейших принципов классической механики. Оно является обобщением опыта и подтверждается всем многообразием приложений классической механики к движению тел, скорости которых значительно меньше скорости света.
Все сказанное ясно свидетельствует об исключительности свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны, как правило, использоваться при изучении механических явлений.
Выведем формулы преобразования координат при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, опираясь на одинаковость свойств пространства и времени во всех системах отсчета и их независимость друг от друга. Пусть инерциальная система К движется со скоростью относительно другой инерциальной системы К. Выберем оси координат x, y,
|
Рис. 3.1.
|
z К'-системы параллельно соответствующим осям х, у, z К-системы, причем так, чтобы оси х' и х совпадали между собой и были направлены вдоль вектора (рис. 3.1).
Взяв за начало отсчета времени момент, когда начала координат О' и О совпадали, запишем соотношение между радиус-векторами и одной и той же точки А в К - и К'-системах:
|
|
(3.1) |
и, кроме того,
|
. |
(3.2) |
Здесь использована одинаковость в обеих системах отсчета длин отрезков и хода времени, не зависящих от состояния движения.
Предположение об абсолютности пространства и времени лежит в самой основе представлений классической механики, представлений, основанных на обширном экспериментальном материале, относящемся к изучению движений со скоростями, значительно меньшими скорости света.
Соотношения (3.1) и (3.2) представляют собой так называемые преобразования Галилея. В координатах эти преобразования имеют вид:
|
|
(3.3) |
Продифференцировав (3.1) по времени, найдем классический закон преобразования скорости точки при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:
|
(3.4) |
Дифференцируя это выражение по времени с учетом того, что , получаем , т. е. ускорение точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Масса во всех и системах отсчета постулируется неизменной, так же легко показать, что и размеры предметов при переходе из системы в систему не претерпевают изменения, следовательно и все оснавные законы механики при в разных инерциальных системах отсчета будут неизменны.
3.3. Второй закон Ньютона
Из опытного изучения различных движений обнаруживается, что в инерциальных системах отсчета всякое ускорение тела вызывается действием на него каких-либо других тел. То есть, изменение стационарного состояния есть результат взаимодействия частицы с другими телами. Поскольку представление об уединенной невзаимодействующей частице соответствует практически редко встречающимся случаям, то закон, определяющий изменение стационарного состояния, являясь по счету вторым, может быть назван основным законом динамики. Степень влияния (действия) каждого из окружающих тел на состояние движения интересующей нас частицы А - это вопрос, на который в каждом конкретном случае может дать ответ только опыт.
Влияние другого тела (или тел), вызывающее ускорение частицы А, называют силой. Итак, причиной ускорения является действующая на частицу сила.
Важнейшей характеристикой силы является ее материальное происхождение. Говоря о силе, всегда неявно предполагается, что в отсутствие посторонних тел сила, действующая на интересующую нас частицу, равна нулю. Если же обнаруживается, что сила действует, ищется ее источник в виде того или иного конкретного тела или других тел.
Все силы, с которыми имеет дело механика, обычно условно подразделяют на контактные силы, возникающие при непосредственном контакте тел (силы давления, трения), и силы, возникающие через посредство создаваемых взаимодействующими телами полей (силы гравитационные, электромагнитные). Заметим, однако, что и при непосредственном контакте силы взаимодействия обусловлены также наличием тех или иных полей, создаваемых молекулами или атомами тел, просто можно пренебречь временем распространения взаимодействия. Таким образом, все силы взаимодействия между телами обусловлены, в конечном счете, полями. Вопрос о природе сил выходит за рамки механики и рассматривается в других разделах физики.
Опыт показывает, что всякое тело "оказывает сопротивление" при любых попытках изменить его скорость, как по модулю, так и по направлению. Это свойство, выражающее степень сопротивления тела к изменению его скорости, называют инертностью. У различных тел оно проявляется в разной степени. Мерой инертности служит величина, называемая массой. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот.
Введем понятие массы m, определив отношение масс двух различных тел по обратному отношению ускорений, сообщаемых им равными силами:
|
|
(3.5) |
Отметим, что такое определение не требует предварительного измерения и понимания природы самих сил. Достаточно лишь располагать критерием равенства сил. Например, если на два различных тела, лежащих на гладкой горизонтальной плоскости, последовательно подействовать одной и той же пружиной, ориентировав ее горизонтально и растянув ее на одну и ту же длину, то можно утверждать, что в обоих случаях влияние пружины на каждое тело одинаково, другими словами, одинакова и сила.
Таким образом, сравнение масс двух тел, на которые действует одна и та же сила, сводится к сравнению ускорений этих тел. Для того, чтобы от отношения масс перейти к самим массам, необходимо выбрать массу единичного тела, называемого эталоном. Приближенно 1 дм3 чистой воды при 4 градусах Цельсия имеет массу в 1 кг, а эталоном служит цилиндр из сплава иридия и платины, хранящийся в Международном бюро мер и весов (г. Севр, Франция).
В рамках ньютоновой механики из опыта следует, что так определенная масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:
1) масса - величина аддитивная, т. е. масса составного тела равна сумме масс его частей;
2) масса тела как такового - величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.
Вернемся к опыту по сравнению ускорений двух различных частиц под действием одинаково растянутой пружины. То, что в обоих случаях пружина была растянута одинаково, позволило нам высказать утверждение об одинаковости действия пружины, или силы со стороны пружины. Обычно эту силу натяжения называют силой упругости. Зависимость ее величины от растяжения определяется законом Гука (по имени Роберта Гука, 1635-1703).
Сила является причиной ускорения тела. Ускорения же различных тел под действием одной и той же одинаково растянутой пружины разные. Необходимо так определить силу, чтобы, несмотря на различие ускорений разных тел в рассматриваемом опыте, сила была бы одной и той же.
Для этого, прежде всего надо выяснить: что является одинаковым в данных опытах? Ответ очевиден: произведение массы m частицы на ее ускорение . Эту величину и естественно взять за определение силы. Учитывая, кроме того, что ускорение-вектор, будем считать и силу вектором, совпадающим по направлению с вектором ускорения .
Итак, в ньютоновой механике сила, действующая на тело массы m, определяется как произведение. Оправданием именно такого определения силы кроме соображений наибольшей простоты и удобства служит, конечно, только дальнейшая проверка всех вытекающих из него следствий.
Для того чтобы более тесно связать первый и второй законы механики Ньютона, удобно ввести в рассмотрение импульс частицы . Тогда первый закон может быть сформулирован так: существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), где импульс частицы сохраняется при отсутствии действия других тел. Здесь учтено свойство постоянства массы. Именно оно позволяет представить произведение как производную импульса по времени , если масса тела неизменна. Изучая на опыте взаимодействие различных частиц с окружающими телами, мы обнаруживаем, что зависит от величин, характеризующих как состояние самой материальной точки, так и состояние окружающих тел. Это является весьма существенным физическим фактом, лежащим в основе одного из наиболее фундаментальных обобщений ньютоновой механики - второго закона Ньютона: произведение массы материальной точки на ее ускорение является функцией положения этой точки относительно окружающих тел, а иногда также и функцией ее cкорости. Эту функцию обозначают и называют силой.
Величина называется импульсом силы. Она характеризует действие силы на частицу и изменение ее импульса. Именно в этом и состоит фактическое содержание второго закона Ньютона, который кратко формулируют обычно таким образом: произведение массы материальной точки на ее ускорение равно действующей на нее силе, т. е.
или
сила есть производная импульса частицы по времени, т. е.
|
. |
(3.6) |
Вторая формулировка имеет более общий характер и применима и в случае движения со скоростями, близкими к скорости света. Его можно сформулировать и так
то есть изменение импульса частицы равно импульсу силы.
Это уравнение называют уравнением движения частицы. Сразу же подчеркнем, что второй закон Ньютона и уравнение (3.6) получают конкретное содержание только после того, как установлен вид функции - зависимость от определяющих ее величин, или, как говорят, закон силы. Установление закона силы в каждом конкретном случае является одной из основных задач физической механики.
Определение силы как , лежащее в основе уравнения (3.6), обладает тем исключительным достоинством, что законы сил при этом оказываются очень простыми. Однако переход к изучению движений с релятивистскими скоростями показал, что законы сил потребовалось бы модифицировать, сделав их сложным образом зависящими от скорости материальной точки, если считать, что масса частицы - величина неизменная и определенная в ИСО, где частица покоится. Теория стала бы громоздкой и запутанной.
Существует, однако, простой выход из этого затруднения, если дать несколько иное определение импульса в релятивистской механике, а именно:
.
При таком определении силы (как ) законы сил, оказывается, остаются теми же и в релятивистской области. Так что простое выражение данной силы через физическое окружение изменять не потребуется при переходе к релятивистской механике. Первый и второй законы сохраняют свою формулировку. Это обстоятельство мы учтем в дальнейшем.
Рассмотрим сложение сил. На всякую частицу в данных конкретных условиях действует, строго говоря, всего только одна сила , модуль и направление которой определяются расположением этой точки относительно всех окружающих тел, а иногда также и ее скоростью. Но эта сила может быть результатом взаимодействия одновременно с несколькими телами.
Опыт показывает, что если тела, являющиеся источниками сил, не влияют друг на друга и поэтому не изменяют своего состояния от присутствия других тел, то сила может быть представлена как векторная сумма сил
где - сила, с которой действовало бы на данную материальную точку i-е тело в отсутствие других тел.
Если это так, то говорят, что силы ,... подчиняются принципу суперпозиции. Такое утверждение надо рассматривать как обобщение опытных фактов.
3.4. Третий закон Ньютона
В тех случаях, когда в опыте участвуют только две частицы А и В и частица А сообщает ускорение частице В, обнаруживается, что и частица В сообщает ускорение частице А. Отсюда мы заключаем, что воздействия тел друг на друга имеют характер взаимодействия.
Ньютон постулировал следующее общее свойство всех сил взаимодействия-третий закон Ньютона.
Силы, с которыми две материальные точки воздействуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки, т. е.
|
. |
(3.7) |
Это значит, что силы взаимодействия всегда появляются парами. Обе силы приложены к разным материальным точкам и, кроме того, являются силами одной природы.
Закон (3.7) обобщается и на системы из произвольного числа частиц, исходя из представления, что и в этом случае взаимодействие сводится к силам попарного взаимодействия между ними.
В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны по модулю в любой момент времени независимо от движения точек. Это утверждение соответствует ньютонову представлению о мгновенном распространении взаимодействий - предположению, которое носит название принципа дальнодействия классической механики. Согласно этому принципу, взаимодействие между телами распространяется в пространстве с бесконечно большой скоростью. Иначе говоря, если изменить положение (состояние) одного тела, то сразу же можно обнаружить хотя бы очень слабое изменение во взаимодействующих с ним телах, как бы далеко они ни находились. В действительности это не так - существует конечная максимальная скорость распространения взаимодействий, которая равна скорости света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определенные пределы применимости. Однако при скоростях тел, значительно меньших скорости света, с которыми имеет дело классическая механика, закон выполняются с очень большой точностью. Свидетельством тому являются хотя бы расчеты траекторий планет и искусственных спутников, которые проводятся с "астрономической" точностью именно с помощью законов Ньютона.
Три закона динамики Ньютона являются основными законами классической механики. Они позволяют, по крайней мере, в принципе, решить любую механическую задачу; кроме того, из них могут быть выведены и все остальные законы классической механики. По принципу относительности Галилея законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Это значит что уравнение (3.6) будет иметь один и тот же вид в любой инерциальной системе отсчета. Действительно, масса т материальной точки как таковой не зависит от скорости, т. е. одинакова во всех системах отсчета. Кроме того, для инерциальных систем отсчета одинаковым является и ускорение точки. Сила тоже не зависит от выбора системы отсчета, поскольку она определяется только взаимным расположением и скоростью материальной точки относительно окружающих тел, а эти величины, согласно нерелятивистской кинематике, в разных инерциальных системах отсчета одинаковы.
Таким образом, все три величины, , и , входящие в уравнение (3.6), не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, а следовательно, не меняется и само уравнение (3.6). Другими словами, уравнение инвариантно относительно преобразований Галилея. В случае движения частиц со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме, первый и второй законы Ньютона сохраняют свой вид в записи через импульс и уравнения механики инвариантны относительно преобразований Лоренца, которые переходят в преобразования Галилея при малых скоростях. Третий закон, сформулированный Ньютоном для мгновенного дальнодействия, утрачивает свое значение, так как требует введение в рассмотрение различного рода полей, что выходит за рамки чистой механики.