Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
8. V-произвольное векторное пространство над полем P.
ОПР.V над полем P наз. конечномерным векторным пр-вом(КВП), если найдется такая конечная система векторов {а1,а2,…,аn}V, что V=L(а1,а2,…,ак).
Примеры: -арифметическое n-мерное пространство. Имеет базис, значит конечномерное.
ОПР. Базисом КВП наз-ся непустая упорядоченная конечная система векторов S= {а1,а2,…,аm}, которая удовл. след. усл.:
1)S-лнз.
2)каждый вектор из пространства V линейно выражается через векторы системы S, т.е. V= L (в1,в2,…,вm)
Теорема. Любые два базиса КВП состоят из одинакового количества векторов.
V-векторное пространство; S= {а1,а2,…,аr}, Т=(в1,в2,…,вs)-два базиса
Док-ем, что r=s.
V=L(S)=L(T)
S,T-лнз, S~T(эквивалентно Т). А две эквивалентные между собой системы векторов, состоят из одинакового количества векторов. т. е. r=s. ч.т.д.
ОПР.КВП наз-ся пространством размерности n и обоз. dimV=r, если базис пространства V состоит из r векторов.
Нулевое векторное пр-во не имеет конечного базиса, его размерность считается равной нулю.
Св-ва размерноси:
1. Если размерность пр-ва V=n, k>n, то любая система векторов из пространства V, содержащая к векторов является лз.
2. dimV=n {в1,в2,…,вm} лнз, то mn
3. Если U подпр-во пр-ва V, то размерность U V.
Теорема.Если векторное пространство V есть сумма пространств V1 +V2= V, то размерность V= dim(V1 +V2)= dim V1 + dimV2 - dim (V1 V2).
Подпространства.
Пусть V-произвольное вект-е пр-во над полем P. L-непустое подмножество пр-ва V LV.
ОПР. Непустое подмножество L векторного пр-ва V над полем P называют его подпространством, если L само является векторным пр-ом над полем P относительно операций, определенных в пр-ве V.
Теорема о подпространствах. Непустое подмн-во L векторного пр-ва V над полем P (LV над P) явл. его подпространством тогда и только тогда, когда вып-ся след. усл:
1) а, вL (а+в) L.
2) аL Р (а) L.
Изоморфизм векторных пространств.
Пусть V1 иV2 векторные пр-
ва над одним и тем же полем Р.
ОПР. Векторные пр-ва V1 и V2 над Р наз-ся изоморфными, если существует такое биективное отображение φ: V1 →V2, которое сохраняет основные операции т.е.:
1) а, вV1 ,φ(а,в)= φ(а)+φ(в)
V1 V2
2) аV1 , Р ,φ(,а)= φ(а)
V1 V2
V1 V2 .
Св-ва изом. вект прост:
1. Если φ-это изоморфизм V1 →V2, то φ()=
2. Если φ-изоморфизм пр-тв V1,V2, то лнз система пр-ва V1 переходит в лнз систему пр-ва V2.
3.При изоморфизме векторных пространств V1 и V2 базис пр-ва V1 переходит в базис пр-ва V2.
Теорема об изоморфизме векторных пространств. (сх. док-ва) Два КВП одинаковой размерности над одним и тем же полем изоморфны.
Док-во: Пусть V1 иV2 векторные пр-ва над одним и тем же полем Р. dim V1=dimV2. Пр-ва конечно-мерные значит у каждого из них есть базис:
{е1,е2,…,еn} -базис V1 (1), а {е1′,е′2,…,е′n}-базис V2 (2). Изоморфизмом явл отображение φ: V1 →V2(на), которое задается след. образом: хV1(х-вектор) следует, что х можно однозначнозаписать: х=V1. Тогда φ(х)= V2 (координаты те же, а базисные векторы меняются). Непосредственно проверяется, что данное отображение явл. изоморфизмом(по опр.). Например, φ(х+у)= φ(х)+ φ(у). Пусть х=V1, у=V1.
φ(х+у)= (+)е´+…+(+) =е´+…++е´+…+= φ(х)+φ(у).(гомоморфизм-сохранение операций).