Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 9
Тема 2.1 Численные методы решения тепловой задачи. Метод конечных разностей
Многие математические модели описываются дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений с краевыми условиями первого, второго и третьего рода. Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток.
Основная идея построения модели на основе интегральных уравнений заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям.
Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.
Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных, в общем случае, алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.
Рассмотрим представленную на рис 1.а. задачу распространения тепла в двумерной области W.
Рисунок 1.а.
Если потоки тепла в направлении осей x и y на единицу длины за единицу времени обозначены через qx и qy соответственно, то разность D между исходящим и входящим потоками для элемента размера dx и dy задается выражением:
(1)
Для сохранения энергии эта величина должна быть равна сумме тепла, генерируемого в элементе за единицу времени dt, например, Qdxdy, где Q может изменяться в зависимости от координат и времени, и тепла, освобождаемого за единицу времени , а именно – , где с – удельная теплоемкость, р – плотность и j(x, y, t) – распределение температуры. Ясно, что это требование равенства ведет к дифференциальному соотношению:
(2)
Соотношение выполняется во всей области W, где решается задача.
Вводя теперь физический закон, определяющий поток тепла в изотропной среде, можно записать для компоненты потока в произвольном направлении n:
(3)
где к – коэффициент теплопроводности, характеризующий свойства среды. В частности, для изотропного материала по направлениям x и y выполняются равенства
, (4)
Соотношение (2) и (4) определяют систему дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую задачу; теперь эти уравнения нужно решить относительно трех зависимых переменных qx, qy и j.
Для такого решения необходимо задать начальные условия, например, в момент времени t=t0 (например, в этот момент времени всюду в W может быть задано распределение температуры), и граничные условия на границе Г области решения задачи, в качестве которых, как правило, могут быть использованы два различных типа условий.
В случае первого условия, скажем применяемого на участке границы Гj, задаются значения температуры (x, y, t), т.е
на (5)
Граничные условия этого вида часто называют граничными условиями Дирихле.
В случае второго условия, применяемого на остальной части границы Гq, задаются значения потока тепла (x, y, t) в направлении нормали к границе n тогда можно записать
на , (6а)
Или
на , (6б)
Этот тип краевого условия часто называется граничными условиями Неймана.
Теперь задача полностью определена уравнениями(2), (4), (5) и (6), и решением этой системы уравнений в принципе можно получить числа, представляющие распределения для j, qx и qy в любой момент времени.
Данную задачу можно записать в иной форме, исключив при помощи уравнений(4) величины qx и qy из уравнения (2) и получив в результате дифференциальное уравнение более высокого порядка с одной независимой переменной, а именно уравнение
,
для которого опять требуется задать начальные и краевые условия.
Выше была рассмотрена задача, определенная в пространственно- временной области и требующая задания начальных условий. Независимыми переменными здесь были x, y и t. Если предполагаются стационарные условия (т.е., задача не зависит от времени и, следовательно,), то уравнения (2) и (7) упрощаются. В последнем случае имеет место уравнение
, (8)
для решения, которого требуется только задать краевые условия вида (5) и (6).
Хотя основные уравнения были записаны для двумерного случая, их легко распространить на трехмерный случай, чтобы иметь возможность иметь дело с более общими задачами. С другой стороны в некоторые задачи входит только одна независимая переменная; на рис 1.б., например, рассматривается поток тепла через плиту, на которых условия не меняются по у.
Рисунок 1.б.
Тогда из уравнения (8) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
,
А областью «определения задачи» является отрезок 0 £ х £ Lx.
Предположим, что решается просто одномерная краевая задача, т.е. требуется определить функцию j(х), удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению на отрезке 0 £ х £ Lx вместе с надлежащими краевыми условиями при х = 0 и х = Lx. как было только что показано, типичным примером такого рода задачи является задача вычисления распределения температуры j(х) в плите толщиной Lx из материала с коэффициентом теплопроводности к; на плоскостях х = 0 и х = Lx, ограничивающих плиту, сохраняются заданные значения температуры и соответственно, и в плите генерируется тепло со скоростью Q(x) на единицу толщины. Дифференциальное уравнение для этой задачи является уравнением (1.9), которая при предположении, что теплопроводность материала постоянно, сводится к уравнению
Соответствующие краевые условия задаются равенствами вида (5) и могут быть записаны в виде
,
Для решения этой задачи методом конечных разностей, прежде всего, производится дискретизация независимой переменной х, т.е. строится множество (или сетка) L+1 дискретных равноотстоящих точек хl (l=0, 1, 2,…,L) на отрезке 0 £ х £ Lx х0=0, хL=Lx и хl+1-xl= x.
Следующий шаг состоит в замене в дифференциальном уравнении членов, содержащих дифференцирование членами, в которых используется только алгебраические операции. Этот процесс по необходимости включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования конечно-разностных аппроксимаций для производных функции.
Основная идея метода заключается в замене частных производных их разностными аналогами. Рисунок 2 (графическая интерпретация некоторых конечно-разностных аппроксимаций для производных).
Рисунок 2.
- правая схема
- левая схема
- центральная схема
Получение разностных аналогов:
(1)
(2)
Центральная разность (1) - (2):
Метод конечных разностей (МКР) является старейшим методом решения краевых задач.
Алгоритм (рис 3) МКР состоит из этапов традиционных для метода сеток:
1. Построение сетки в заданной области. В МКР используется сетка, задаваемая конечным множеством узлов. В узлах сетки определяются приближенные значения φh искомой функции φ. Совокупность узловых значений φh называют сеточной функцией.
2. Замена дифференциального оператора Lh=∂φ/∂u в исходном дифференциальном уравнении разностным аналогом Lh, построенным по одной из схем, рассмотренных ниже. При этом непрерывная функция φ аппроксимируется сеточной функцией φh.
3. Если есть граничные условия второго и третьего рода, то для граничного узла с этим условием записывается соответствующая аппроксимация. В результате должна получиться замкнутая система НАУ.
4. Решение полученной системы алгебраических уравнений.
В МКР используются, как правило, регулярные сетки, шаг которых либо постоянен, либо меняется по несложному закону. Примеры сеток предложены на рис. 3.
Рисунок 3.
В реальных задачах одно или несколько краевых условий часто могут быть выражены через производную (краевые условия Неймана).
Часто при работе с математическими моделями приходится исследовать зависимость параметров системы от времени. Такой класс задач называется нестационарные. Существует два способа получения решения: явный и неявный метод. При использовании любого из способов нам надо принять шаблон для замены частных производных на разностные аналоги.
LV+P=0 исходный дифференциальный оператор
LhVh+ph=0 разностный оператор. h – шаг сетки
|| V(h)-Vh ||≤c1*hk – сходимость порядка К. Разностная схема аппроксимируется с точностью К.
с1=Const, не зависит от h
Аппроксимация
LhV(h)+ph=δh<o:p</o:p
Если норма невязки || δh || ≤ c2*hk – имеет место аппроксимация порядка К.
Устойчивость к возмущению
LhVh+ph=0
LhZh+ph=εh