Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Методические указания по изучению дисциплины и задания для контрольных работ.
Тема 1. Неопределенный интеграл.
Известно, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. Поэтому для того, чтобы проверить, правильно ли найден данный интеграл, достаточно продифференцировать найденную первообразную. Если при этом получим подынтегральную функцию, то интеграл найден, верно.
Пример 1. Проверить, правильно ли найден интеграл:
Решение. Находим:
(
Получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл найден правильно.
Используя формулы дифференцирования, можно составить таблицу так называемых основных интегралов:
1.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна данной функции, т.е.
Неопределенным интегралом от непрерывной функции f(x) или от дифференциального выражения f(x) dx называется общее выражение для всех первообразных функции f(x):
где (x)=f(x).
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x) dx-подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла:
[
Таблица простейших неопределенных интегралов:
(1.1)
(1.2)
+C; (1.3)
(1.4)
; (1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Методы интегрирования
Найти интегралы:
4) + 2
5)
6) =
7)
8)
Самостоятельная работа №7 раздел 6
Решить самостоятельно:
Найти неопределенные интегралы:
Ответы: 1) 4) 3arctgx - 7arcsinx + C
2) 5 5) x +
3) 4cosx - 5ctgx+C 6) x+ cosx +C
1.4 Интегрирование заменой переменной (метод постановки)
Если данный интеграл является табличным и не может быть найден способом непосредственного интегрирования, то во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к табличному. В этом сущность так называемого метода подстановки.
Часто интеграл можно упростить путем введения новой переменной t. Положим, что x=φ(t), где φ(t) – есть монотонная и непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке. Если на указанном промежутке изменения переменной x функция f(x) интегрируема, то имеет место следующая формула:
(1)
После того, как интеграл найден с помощью подстановки x=φ(t), следует возвратиться к первоначально заданной переменной x.
Иногда вместо подстановки x=φ(t) применяют подстановку t=φ(x), то есть рассматривают новую переменную t как функцию от x.
1) =
2)
3)
4)
5)
6)
Самостоятельная работа №8 раздел 6
Самостоятельно! Проверь себя?
Найти следующие интегралы:
Ответы:1) - 3)
2) 4) -
5) 6)
1.5 Интегрирование по частям
Пусть u и – дифференцируемые функции от переменной x. Определим дифференциал от произведения этих функций.
d(uѵ)= udѵ+ѵdu, откуда udѵ=d(uѵ)-ѵdu. Проинтегрировав обе части последнего равенства, получим:
формулой пользуются в тех случаях, когда интеграл есть более простой по сравнению с заданным интегралом
Найти интегралы:
Отсюда получаем окончательный результат:
Самостоятельная работа №9 раздел 6
Самостоятельно:
Ответы: 1) -
2)
3)
4)
1.6 Интегрирование дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов. Если степень многочлена, стоящего в числителе дроби, не меньше, чем степень многочлена в знаменателе, то в этой дроби следует выделить целую часть, т.е. представить ее в виде:
R(x) +
где R(x), P(x), Q(x) – многочлены, причем степень P(x) меньше степени Q(x). Рациональная дробь , обладающая этим свойством, называется правильной. Для интегрирования такой дроби ее необходимо разложить в сумму простейших дробей, которые легко интегрируются:
т.е. этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней (интегрирование простейших дробей последнего типа будет показано ниже на примере). Остановимся подробнее на методике разложения правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Это выполняется по следующей схеме:
1. Сначала знаменатель дроби Q(x) необходимо разложить на множители вида: x-a, (x-.
При этом часто используется теорема Виета: если квадратный трехчлен имеет корни то
= a(x-.
2. Далее следует записать разложение дроби в сумму простейших дробей, оставляя неопределенными коэффициентами А, В, С, D и т.д. При этом каждому множителю вида (x-a) соответствует дробь , множителю вида ( соответствует сумма дробей:
,
а множителю вида , если он не имеет действительных корней (, соответствует дробь вида:
.
Вычислить интеграл:
Решение. Произведем преобразования:
; , приводим к общему знаменателю.
Следовательно, , раскрываем скобки в числителе
2x+1=
Приравниваем коэффициенты при x. Здесь коэффициент при в левой части равен 0, следовательно A+B=0; коэффициент при x=2, поэтому
2A+B+C=2.
Свободный член в левой части равен 1, отсюда следует, что A=1
Итак,
Решение:
Дробь является неправильной; выделим целую часть:
Решение:
Дробь является неправильной; выделим целую часть:
Таким образом, .
Прежде чем приступить к интегрированию, необходимо разложить дробь на сумму простейших дробей. В силу теоремы данная дробь может быть представлена в виде
Неизвестные коэффициенты находим следующим образом
Сравнивая числители исходной дроби и дроби с неизвестными коэффициентами получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Итак,
.
2);
Решение:
Разложим дробь на сумму простейших:
.
Неизвестные коэффициенты A,B,C находим из системы:
Итак, .
3);
Решение:
Дробь имеет следующее разложение на сумму простейших дробей:
.
Коэффициенты A,B,C находятся из следующей системы:
Итак,
Самостоятельно:
1);
2);
3);
4);
Ответы:
4)
Таким образом, .
Прежде чем приступить к интегрированию, необходимо разложить дробь на сумму простейших дробей. В силу теоремы данная дробь может быть представлена в виде
Неизвестные коэффициенты находим следующим образом
Сравнивая числители исходной дроби и дроби с неизвестными коэффициентами получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Итак,
.
2);
Решение:
Разложим дробь на сумму простейших:
.
Неизвестные коэффициенты A,B,C находим из системы:
Итак, .
3);
Решение:
Дробь имеет следующее разложение на сумму простейших дробей:
.
Коэффициенты A,B,C находятся из следующей системы:
Итак,
Самостоятельно:
1);
2);
3);
4);
Ответы:
4)
PAGE \* MERGEFORMAT 19