Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 2
©Секованов В.С., Миронкин Д.П.
Лекция 11
Построение фрактальных множеств в пакете Mathcad
Занятие 1
Тема: Рабочее окно пакета Mathcad
Изучив данный учебный элемент, вы:
Среда математических вычислений Mathcad - уникальный, мощный инструмент, позволяющий работать с уравнениями, числами, текстом, и графиками. Основа экранного интерфейса среды Mathcad - чистый лист, в любом месте которого можно задавать уравнения, графики, функции, или текстовые пояснения. Среда Mathcad работает с математикой в общепринятых математических обозначениях. И вместо того, чтобы использовать синтаксис языков программирования, среда Mathcad позволяет использовать язык математики.
После запуска на экране появляется рабочее окно Mathcad с главным меню и тремя панелями инструментов: Стандартная, Форматирование, Математическая.
Главное меню
Главное меню Mathcad занимает верхнюю строку рабочего окна (рис.1). Любые действия можно выполнить, используя команды этого меню и элементы управления открывающихся диалоговых окон.
Рис.1 Главное меню Mathcad
Команды главного меню Mathcad:
При наведении указателя мыши на пункт меню в строке состояния (она находится в нижней части окна Mathcad) появляется его описание.
Панели инструментов
Панели инструментов служат для быстрого выполнения наиболее часто применя емых команд (рис.2).
Рис.2 Панели инструментов
При наведении указателя мыши на любую из кнопок рядом появляется всплыва ющая подсказка — короткий текст, поясняющий назначение кнопки.
Рис.2а Стандартная панель инструментов
Стандартная панель инструментов Mathcad содержит следующие ин струменты:
Рис.2б Панель инструментов форматирования
Панель инструментов форматирования Mathcad содержит следующие инструмен ты:
На математической панели расположены девять ссылок. Попробуем для интереса открыть все эти панели.
Рис.2в Математическая панель
Перечислим следующие дополнительные панели математической панели инструментов:
Освободив достаточное пространство рабочего листа, внимательно изучите его. На пер вый взгляд он вам покажется простым белым полем, однако немного передвинув его видимую часть с помощью одной из полос прокрутки, вы обнаружите, что не ограни ченное ни справа, ни снизу пространство документа разбито с помощью тонких серых штриховых линий на прямоугольные участки, соответствующие по размерам формату А4. Существование таких границ оправдывается практикой, так как они помогают пра вильно форматировать решенные и оформленные задачи перед их распечаткой.
Помимо линий границ, на рабочем листе можно увидеть маленький красный крестик. В Mathcad он выполняет функции курсора ввода. В общем случае он ука зывает на участок документа, в который будет вставлен любой объект: формула, текст, график или даже картинка. Переместить его можно простым щелчком мышью на нуж ном фрагменте листа.
Занятие 2
Тема: Вычисления в Mathcad
Изучив данный учебный элемент, вы:
Для того чтобы использовать среду Mathcad для вычислений, необходимо набрать математическое выражение, которое нужно вычислить и напечатать знак равенства:
Выражение =
Например:
Выражение может быть арифметическим, алгебраическим, содержать функции и т.д. Результатом вычисления выражения будет некоторое число. Если оно целое, дробная часть не изображается, если - нет, то после десятичной точки по умолчанию выводится не более 3-х цифр. При необходимости можно увеличить число цифр после точки, задав команду формата представления чисел.
При записи арифметических действий используют те же клавиши, что и в языках программирования. Например, действию умножения соответствует * (звездочка), деления - / (косая черта). Имеется панель управления вычислениями, которая содержит кнопки, включающие панели управления большинством необходимых математических операций. Например, открыв панель арифметических вычислений можно выбрать необходимое математическое действие или функцию непосредственно в панели. Это позволит легко построить и вычислить выражения подобно этому:
Важную роль при вводе и редактировании выражений играет клавиша Пробел. При нажатии на эту клавишу изменяется размер выделенной части математического выражения. Операция, введенная после такого выделения, будет относиться к выделенной части. Это позволяет, например, не использовать скобки при операциях деления или умножения суммы или разности и т.д.
Иногда требуется получить точные ответы, выраженные дробями и радикалами вместо десятичных дробей. Для этого используют панель аналитических вычислений среды Mathcad, которая имеет "аналитический знак равенства" для получения точных ответов. Он обозначается стрелочкой (). Вот что получится, если задана аналитическая оценка выражений, решенных численно выше:
Когда необходимо проанализировать зависимость для различных значений аргументов, вводят собственные переменные и функции. При этом средой Mathcad будет реализована вычислительная модель, которую можно назвать активной математикой. Это свойство среды состоит в том, что при каждом редактировании значений, переменных или функций, производится перерасчет по всем имеющимся формулам. Для машин с низким быстродействие это полезное свойство иногда было обременительным, так как процесс перерасчета замедлял работу пользователя. На современных компьютерах перерасчет проводится в большинстве случаев практически мгновенно.
Чтобы придать вычислениям общность, в математике используют переменные. Имена переменных в системе Mathcad должны начинаться с буквы и могут содержать только латинские буквы, цифры и знак подчеркивания. Чтобы задать значение переменной используют знак присваивания (:=)
Важным понятием в математике является функция. Аргументами функций могут быть константы, переменные и другие функции. Аргумент функции всегда заключается в скобки. Если аргументом функции является переменная, то необходимо, чтобы перед использованием этой переменной ей было присвоено некоторое числовое значение. В системе Mathcad имеется множество встроенных функций. Их можно задавать, набирая название функции с клавиатуры или используя кнопку ввода функции f(x).
Например, чтобы вычислить площадь круга для различных значений радиуса, определим переменную радиуса r и зададим ее величину:
r := 7
Если задать формулу площади, получим цифровой ответ:
r2 = 153.938
Если теперь изменить значение r на другое число и щелкнуть мышкой за пределами формулы увидим, что формула пересчитана.
Чтобы использовать формулу для вычисления площади в других местах документа, можно определить функцию площади:
S(r) := r2
Теперь всякий раз, когда нужно найти точное значение площади можно использовать эту функцию.
Кроме встроенных функций в системе Mathcad можно задавать функции пользователя. Функции пользователя можно включать в любые математические выражения. Они могут иметь как один, так и несколько аргументов. Функция пользователя задается своим именем, списком аргументов в круглых скобках через запятую и арифметическим выражением после знака присваивания. Например: sc(x,y) := sin(x) + cos(y).
Занятие 3
Тема: Построение графиков в Mathcad
Изучив данный учебный элемент, вы:
Среда Mathcad - это разностороннее средство визуального представления математических соотношений, которое поддерживает полный комплект средств графики, несложной обработки образов и анимации.
Наличие в системе Mathcad графического процессора позволяет достаточно просто стоить графики функций, изменять их размеры и параметры, переносить и копировать графические блоки документов. Графики в документе всегда должны размещаться после тех вычислительных блоков, которые готовят исходные данные для построения этих графиков.
Для построения графика кривой некоторой функции в среде Mathcad, вводят вид нужной функции, например t3. Затем нажимают кнопку графики на панели управления и кнопку для построения графика XY. В отметку у оси абсцисс вводят обозначение аргумента (в нашем случае - t). После этого достаточно щелкнуть мышкой вне графической области или нажать Enter и будет построен нужный график (Рис.20). Параметрические графики строятся также, но в отметку у оси абсцисс вводят обозначение параметрической функции этой координаты (Рис.21). Также как и все вычисления в среде Mathcad, графики изменятся если изменить задающие их функции, в этом можно убедиться заменив 5t на 7t в параметрическом графике.
Рис.20 Рис.21
В одном графическом блоке можно построить графики нескольких функций, как одного, так и разных аргументов. Для этого у оси ординат через запятую перечисляют необходимые функции, а у оси абсцисс - их аргументы (Рис.22). Функции можно задавать аналитически или численно - в виде набора узловых точек. Для численного представления функций используются векторы значений и аргументов (на рис.23 - это VY и VX).
Рис.22 Рис.23
Занятие 4
Тема: Работа с векторами и матрицами.
Создание векторов и матриц
Изучив данный учебный элемент, вы:
Система Mathcad оперирует с двумя типами массивов: одномерными массивами (векторами) и двумерными массивами (матрицами).
В Mathcad этим термином принято обозначать матрицы-столбцы, хотя иногда под ним понимают и матрицы-строки.
Это двумерный массив. Представляет собой множество элементов, организованных по принципу шахматной доски.
Матрицу можно представить как таблицу, имеющую m строк и n столбцов. Если m=n, то матрицу именуют квадратной. Число элементов или размер матрицы есть m*n. Вектор с длиной m рассматривается как одномерная матрица размера m*1.
Определить вектор или матрицу можно с помощью следующего алгоритма:
- Введите имя матрицы и оператор присваивания (=:).
- В математической панели щелкните на кнопке Панель векторов и матриц – откроется панель Матрица, на которой щелкните на кнопке Матрица или Вектор. Открывается диалоговое окно, запрашивающее число строк и столбцов матрицы. Определившись с размерами матрицы нажмите ОК.
Назначение кнопок окна: OK и Cancel служат для выполнения или отмены операции, кнопки Insert и Delete - соответственно вставляют или удаляют в выделенной матрице заданное количество строк и столбцов.
- При этом в документ будет вставлена заготовка с черными маркерами вместо элементов.
Последовательно перемещая курсор с помощью мыши или клавиш управления курсором, введите маркеры нужные значения. Элементы матрицы можно представить и символически: как в виде переменной, так и в виде выражения.
Элементы характеризуются порядковыми номерами или индексами. Нумерация индексов начинается с нуля.
Элементы вектора имеют только один индекс. Например, вектор V имеет элементы: V0, V1, V2 и т.д.
Матрицы имеют элементы с двумя индексами: номерами строки и столбца. Например, матрица М имеет элементы: М0,0; М0,1; М1,0 и т.д. Индексы матриц вводятся через запятую и заключаются в круглые скобки.
Для набора нижнего индекса используют клавишу [ (открывающаяся квадратная скобка).
Нумерация элементов вектора или матрицы может начинаться с 0,1 или с любого другого числа (положительного или отрицательного).
Рассмотрим пример задания матрицы с элементами – переменными:
Рассмотрим пример задания матрицы с элементами – функциями:
Рассмотрим пример вывода элементов матрицы:
Рассмотрим пример выделения столбца массива:
Рассмотрим пример поэлементного задания матрицы:
Занятие 5
Тема: Работа с векторами и матрицами.
Основные действия с матрицами
Изучив данный учебный элемент, вы:
Арифметические операции матрицы и скаляра
В Mathcad к матрице можно прибавлять (или отнимать от нее) любое число. При этом оно будет прибавлено ко всем (или вычтено из всех) элементов исходной матрицы. При умножении матрицы на скаляр на него умножается каждый элемент исходной матрицы. Аналогично умножению, матрицу можно разделить на скаляр. Во всех операциях матрица и скаляр могут быть представлены и символически: как в виде буквы, так и в виде выражения. При этом в качестве оператора ввода следует использовать оператор символьного вывода ().
Выше сказанное аналогично применимо не только к матрицам, но и к векторам.
Рассмотрим пример:
Арифметические операции матриц
Сложение и вычитание матриц
Чтобы сложить или вычесть матрицы, используются привычные символы (+) или (-) , которые помещаются между соответствующими матрицами (или именами матриц). При это каждому элементу Мi,j первой матрицы прибавится (или вычтется из него) элемент М1i,j второй матрицы. Результатом будет третья матрица, элементы которой являются суммой (разностью) соответствующих элементов суммируемых (вычитаемых) матриц. Матрицы должны быть одинаковой размерности. В выражениях матричного сложения или вычитания можно использовать и коэффициенты.
Рассмотрим пример:
Даны матрицы:
Найти А+В; матрицу Х, удовлетворяющую условию 3А-2Х=В
Выше сказанное аналогично применимо не только к матрицам, но и к векторам.
Матричное умножение
Матричное умножение выполняется следующим образом: все элементы нулевой строки первой матрицы умножаются на соответствующие элементы нулевого столбца второй матрицы, и затем эти произведения суммируются. Далее нулевая строка первой матрицы аналогично умножается на первый столбец второй матрицы, и значение заносится как второй элемент верхней строки матрицы – результата. При умножении следующей строки первой матрицы на столбцы второй будет сформирована первая строка результирующей матрицы. И так далее – до тех пор, пока не будут перемножены все строки. Так при умножении матрицы размерности M*N на матрицу размерности M*K будет получена матрица размерности N*K. Перемножать матрицы можно лишь в том случае, если количество столбцов первой равно числу строк второй. Перемножать матрицы можно и в том случае, когда элементы их представлены символами или выражениями.
Рассмотрим пример:
Найдите произведение АВС для трех матриц:
Символьное умножение матриц:
Транспонирование матриц
Транспонированием называется матричная операция, переводящая матрицу размерности M*N в матрицу размерности N*M. Иначе говоря, при транспонировании строки исходной матрицы превращаются в столбцы, а столбцы – в строки. Оператор транспонирования находится на панели Матричные. Транспонирование можно провести и для матриц, чьи элементы определены символически. При этом следует использовать оператор (), расположенный на панели Символьные.
Рассмотрим пример транспонирования матриц:
Даны матрицы:
Найдите матрицу Х=3А+ВТ
Символьное транспонирование:
Занятие 6
Тема: Программирование в пакете Mathcad
Изучив данный учебный элемент, вы:
Первым делом, приступая к разговору о создании алгоритмов в среде Mathcad, откроем панель Программирование. Открыв данную панель, вы обнаружите, что язык программирования Mathcad имеет малое количество операторов – всего 8. Для создания программы надо:
Иногда при написании программы бывает нужным добавить строку к уже созданному блоку. Чтобы это сделать, поставьте курсор в ту строку блока, выше или ниже которой должна быть введена строка, и нажмите клавишу Пробел. При этом строка будет выделена и можно будет произвести добавление одним из стандартных способов. Положение вставляемого маркера определяется положением вертикальной черты курсора. Если она находится слева от выделенного выражения, то маркер будет добавлен выше выделенной строки, если справа – то ниже. Чтобы добавить строку к целому блоку, его следует выделить, дважды нажав на Пробел.
Для присвоения значений переменным и функциям в программах Mathcad используется оператор ← (локальное присваивание), расположенный на панели Программирование.
Если значение переменной или функции присваивается в программе посредством оператора (←), то такая переменная или функция будет являться локальной. То есть она будет видимой только в рамках программы. Если переменная или функция задается выше программы с помощью оператора (=:), то она будет обладать глобальной видимостью. То есть такая переменная или функция будет доступна любому нижележащему объекту, в том числе и коду программ.
Рассмотрим пример задания программного блока:
Задано значение х
Вычислен квадратный корень из х
Локально задано х=12
и вычислен квадратный корень из х=12
За пределами программного блока
Х сохранило значение 25
Занятие 7
Тема: Условный оператор if.
Оператор otherwise
Изучив данный учебный элемент, вы:
Условный оператор if
Условный оператор if действует в два этапа. Сначала проверяется условие, записанное справа от оператора if, и, если оно истинно, выполняется выражение слева от него, если ложно, происходит переход к следующей строке программы.
Задается в виде: Выражение if Условие
Чтобы вставить условный оператор if в программу, проделайте следующую операцию:
Если условие ложно, происходит переход к следующей строке программы. Она может содержать новое условие или быть обычным выражением.
Рассмотрим пример применения инструкции условного выбора if в программном блоке:
Условный оператор otherwise
Оператор otherwise (Иначе) предназначен для определения того действия, которое должно быть выполнено, если условие оператора if (Если) окажется неистинным.
Одновременно может быть использовано несколько условных операторов if (Если). Оператор otherwise (Иначе) в таком случае будет задействован, если не выполнятся условия всех операторов if (Если).
Занятие 8
Тема: Оператор цикла while.
Операторы break, continue, return
Изучив данный учебный элемент, вы:
Оператор while
Оператор while служит для организации циклов, действующих до тех пор, пока выполняется некоторое условие.
Задается в виде: while Условие
Тело цикла
Выполняемое выражение записывается в расположенное ниже место ввода.
Цикл while выполняется до тех пор, пока остается истинным условие продолжения цикла, поэтому нет необходимости знать заранее число вычислений. Важно только, чтобы где-либо внутри цикла или в другом выполняемом участке программы присутствовал оператор, делающий условие цикла ложным. В противном случае цикл будет выполняться бесконечно. В этом случае, чтобы остановить программу, нужно нажать клавишу Esc.
Чтобы записать цикл while, надо выполнить следующую последовательность действий:
Обнаружив оператор цикла while, Mathcad проверяет условие продолжения цикла. Если оно истинно, Mathcad выполняет тело цикла и снова проверяет условие. Если оно ложно, Mathcad заканчивает выполнение цикла.
Рассмотрим пример применения инструкции while для вычисления факториала:
Операторы break, continue, return используются для управления циклами и программой в целом:
Оператор break
Break (Прервать) вызывает прерывание выполнения программы. Чаще всего эта инструкция используется совместно с условной инструкцией if и инструкциями циклов while и for, обеспечивая переход в конец тела цикла.
Оператор continue
Continue (Продолжить) используется для продолжения работы после прерывания программы. Она также чаще всего используется совместно с инструкциями циклов while и for, обеспечивая возвращение в точку прерывания и продолжение вычислений.
Оператор return
Return (Возвратить) прерывает выполнение программы и возвращает значение операнда, стоящего следом за ней. Например, в приведенном ниже случаебудет возвращаться значение 0 при х<0.
return 0 if х<0
Занятие 9
Тема: Оператор цикла for.
Оператор on error
Изучив данный учебный элемент, вы:
Оператор for
Оператор for служит для организации циклов с заданным числом повторений.
Задается в виде: for Var Nmin .. Nmax
Тело цикла
Эта запись означает, что выражение, помещенное в расположенное ниже место ввода, будет выполняться для значений переменной Var, меняющихся от Nmin до Nmax с шагом +1. Переменную счетчика Var можно использовать в исполняемом выражении.
В цикле for число повторений цикла определяется переменной, задаваемой в начале цикла.
Рассмотрим пример применения инструкции цикла for для вычисления суммы последовательности целых чисел от 1 до n:
Оператор on error
Оn error позволяет создавать процедуры обработки ошибок. Задается в виде:
Выражение_1 on error Выражение_2
Если при выполнении Выражения_1 возникает ошибка, то выполняется Выражение_2. В правый маркер следует ввести величину или выражение, ошибка в вычислении которого должна быть зарегистрирована. В левом маркере следует прописать условие, которое должно быть выполнено при возникновении ошибочной ситуации.
Занятие 10
Тема: Построение кривой Коха в пакете Mathcad
Изучив данный учебный элемент, вы:
Построение кривой Коха в пакете Mathcad
Интерпретация построения кривой Коха в Mathcad может выглядеть следующим образом:
Рис.30
На Рис.30 показано построение кривой Коха. Данное построение начинается с нулевой итерации и заканчивается пятой.
Занятие 12
Тема: Построение снежинки Коха в пакете Mathcad
Решение задач, развивающих творческие способности учащегося
Изучив данный учебный элемент, вы:
Построение снежинки Коха в пакете Mathcad
Интерпретация построения снежинки Коха в Mathcad может выглядеть следующим образом:
Рис.32а Рис.32б
Рис.32в
На Рис.32а показано построение снежинке Коха, используя нулевую итерацию. На Рис.32б показано построение снежинке Коха, используя первую итерацию. На Рис.32в показано построение снежинке Коха, используя пятую итерацию.
Занятие 13
Тема: Построение ковра Серпинского в пакете Mathcad.
Решение задач, развивающих творческие способности учащегося
Изучив данный учебный элемент, вы:
Интерпретация построения ковра Серпинского в Mathcad может выглядеть следующим образом:
Рис.35
На Рис.35 показано построение ковра Серпинского, используя шестую итерацию.