Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1. Таблица интегралов
– независимая переменная или любая дифференцируемая функция, , – произвольная постоянная.
(1) .
(2) .
В частности, (2а), (2б) , (2в) .
(3)
(4) . В частности, (4а) .
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
5.2. Таблица наиболее часто встречающихся дифференциалов
(1) (2)
(3) (4) (5)
(6) (7) (8)
(9) (10)
(11)
(12)
5.3. Интегрирование по частям
Обозначения: – многочлен степени -произвольные числа)
|
Тип |
Общий вид |
Берем за u |
Берем за dv |
|
I тип |
|||
|
II тип |
|||
|
III тип (Возвратные интегралы – интегрирование по частям применятеся дважды) |
любой из сомножителей |
другой сомножитель и |
|
5.4. Интегрирование выражений,
содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
В интегралах вида (а) , (б) в знаменателе выделяется полный квадрат, и затем применяются табличные интегралы (2в),(3),(13) – (17) из п.5.1.
Чтобы найти интегралы вида (в) , (г) , нужно найти производную знаменателя и выделить ее в числителе. Далее разбить интеграл на два, почленно поделив преобразованный числитель на знаменатель. При этом получаются два интеграла. Первый находим по одной из следующих формул: или . А второй интеграл будет иметь вид (а) или (б), нахождение которых описано выше.
5.5. Интегрирование рациональных дробей
, где – многочлены степеней соответственно
Если , то рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.
Если интегрируется неправильная дробь, то прежде всего делим числитель на знаменатель. Это позволит представить дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. А затем правильную рациональную дробь раскладываем на простейшие или с помощью преобразований приводим к табличному виду.
Рекуррентная формула:
(n>1)
5.6. Интегрирование иррациональных функций
(1) . Делаем замену
(2) . Замена
(3) . Замена
В интегралах (1)–(3) , иначе говоря, – общий знаменатель дробей .
(4) . Замена .
. Замена
. Замена
5.7. Интегрирование тригонометрических функций
(1) Универсальная тригонометрическая подстановка
(2) Интегралы вида Возможны два варианта:
а) n – нечётное. Тогда отделяем сомножитель в первой степени и вносим его под знак дифференциала. Оставшееся выражение преобразуем с помощью основного тригонометрического тождества: или .
б) n – чётное. Используем формулы понижения степени .
(3) Интегралы вида . Возможны два варианта:
а) хотя бы одно из m и n нечётное. Тогда отделяем от меньшей нечетной степени сомножитель в первой степени и вносим его под знак дифференциала. Оставшееся выражение преобразуем так, чтобы оно содержало лишь функцию, полученную под дифференциалом. Делаем это с помощью формул и .
б) обе степени – чётные. Используем формулы для понижения степени: .
(4) Интегралы вида . В числителе расписываем единицу и почленно делим на знаменатель, разбиваем на два интеграла.
(5) Интегралы вида ; ; .
Используем тригонометрические формулы
(6) Интегралы вида , . Используем формулы , .
§6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
6.1. Формула Ньютона-Лейбница
, где - любая из первообразных для функции , непрерывной на отрезке .
6.2. Метод интегрирования по частям
Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то .
6.3. Несобственные интегралы
(1) Несобственный интеграл I рода – интеграл с бесконечным промежутком интегрирования. Пусть интегрируема на любом отрезке. Тогда несобственные интегралы I рода определяются следующим образом: , .
Если пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися. В противном случае – расходящимися.
, где – любое число (чаще ).
И далее рассматривается каждый из интегралов.
(2) Несобственный интеграл II рода – интеграл от неограниченной функции.
Если непрерывна на и имеет разрыв 2 рода в точке , то несобственный интеграл II рода определяется следующим образом:
.
Если непрерывна на и имеет разрыв 2 рода в точке , то
Если непрерывна на и имеет разрыв 2 рода в точке , то .
6.4. Приложения определенного интеграла
(1) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу кривой , а слева и справа – прямыми и , определяется по формуле:
(2) Длина дуги кривой, заданной уравнением , при вычисляется по формуле .
(3) Объемы тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ох (или оси Оy) криволинейной трапеции, ограниченной кривой () и прямыми , вычисляются соответственно по формулам: , , .
(4) Если дуга кривой () вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
Если дуга кривой () вращается вокруг оси Оy, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
§7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ: ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Двойной интеграл – обобщение определенного интеграла на случай функций двух переменных.
Двойной интеграл имеет вид: .
В зависимости от вида области интегрирования, двойной интеграл можно свести к повторному:
|
1) |
2) |
|
3) = |
4) |
§8. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
8.1. Основные понятия
Числовой ряд: , где - произвольные вещественные числа.
Частичные суммы ряда: , где .
Если существует конечный предел , то исходный ряд сходится (и величина называется суммой ряда). В противном случае ряд расходится.
8.2. Необходимое условие сходимости ряда
Если ряд сходится, то .
(Т.е. если , то ряд расходится, а если , то требуется дальнейшее исследование на сходимость).
8.3. Основные расходящиеся и сходящиеся ряды
(1) Геометрическая прогрессия .
Если то ряд сходится; если , то ряд расходится.
(2) Ряд Римана (обобщенный гармонический ряд) .
Если , то ряд сходится; если , то ряд расходится.
8.4. Знакопостоянные ряды
Ряд называется знакоположительным, если при любом
8.4.1. Признак сравнения. Рассмотрим и .
Если при (то есть начиная с некоторого ), то:
расходится => расходится
сходится => сходится.
8.4.2. Признак эквивалентности. Рассмотрим и .
Если при , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.
8.4.3. Признак Даламбера. Находим значение предела .
Если => ряд расходится; если => ряд сходится; если q=1 =>(?)
8.4.4. Признак Коши. Находим значение предела .
Если => ряд расходится; если => ряд сходится; если q=1 =>(?)
8.4.5. Интегральный признак.
– члены этого ряда является значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на [1,+). Тогда
если сходится => ряд сходится;
если расходится => ряд расходится.
8.5. Знакопеременные ряды
8.5.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакочередующимся называется ряд вида , где . Иными словами, это ряд вида
Чередование знака может быть представлено не только в виде , но и в других вариантах, например: , и т.п. Чтобы убедиться, что знаки чередуются, можно последовательно подставить .
Признак Лейбница применим только к знакочередующимся рядам:
а) ; б) последовательность {} убывающая.
Если оба условия выполнены, то ряд сходится.
Если не выполнено а) то ряд расходится.
Если не выполнено б) то вопрос остаётся открытым.
Для пункта б): {} убывает, если с некоторого выполнено одно из условий: *) ; *) ; *) .
8.5.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость.
Абсолютную сходимость можно применять для любых числовых рядов, т.е. для , где – любого знака.
Рассмотрим - знакопостоянный ряд
если сходится => сходится абсолютно
если расходится => вопрос о сходимости ряда открыт
Замечание: Если сходится, а расходится, то сходится условно.
§9. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
9.1. Основные понятия
Общий вид степенного ряда: , – фиксированная точка, – числовые коэффициенты ряда.
Если , то степенной ряд имеет вид: .
9.2. Радиус и интервал сходимости
Радиус сходимости степенного ряда находится по одной из следующих формул: или .
Интервал сходимости ряда имеет вид: . Графически это можно изобразить следующим образом:
9.3. Разложение функций в степенные ряды
9.3.1. Ряд Тейлора
.
Если , тогда получаем ряд Маклорена:
9.3.2. Пять важнейших разложений в ряд Маклорена
(1) , ;
(2) , ;
(3) , ;
(4) , ;
(5)
,
при 0 ; при -1<<0 ; при -1 .
Частный случай (при = -1):
§10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
10.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Это уравнения вида или
В первом случае разделяем переменные:
Во втором случае подставляем в уравнение , получая . Затем разделяем переменные:
В уравнении с уже разделенными переменными интегрируем обе части.
10.2. Линейные уравнения
Это дифференциальное уравнение вида:
Если , то уравнение называется однородным.
Если , то уравнение называется неоднородным.
Решается методом Бернулли через замену => .
10.3. Уравнение Бернулли
Это дифференциальное уравнение вида
Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки
Также его можно решить как обычное линейное уравнение по методу Бернулли через замену .
§11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
11.1. Уравнения вида
Такие уравнения решаются путем интегрирования n раз правой части уравнения, т.е. функции :
, и т.д.
11.2. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
11.2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:
, где – вещественные числа.
|
Характеристическое уравнение – это уравнение вида: |
||
|
Подсчитывается его дискриминант и определяются корни |
||
|
и различны и вещественны |
комплексно-сопряженные корни: |
|
|
Линейно независимые решения: |
||
|
, |
, |
, |
|
Общее решение однородного уравнения имеет вид: |
||
11.2.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:
, где – вещественные числа.
(1) Метод неопределенных коэффициентов.
1. Находим общее решение однородного уравнения (см. п.11.2.1).
2. Общий вид частного решения определяется по виду правой части (см.таблицу на следующей странице).
3. Чтобы отыскать неизвестные коэффициенты частного решения, определяются первая и вторая производные: и . Затем , и подставляются в исходное уравнение и определяются неизвестные коэффициенты.
4. Подставляем найденные коэффициенты в .
5. Записываем общее решение неоднородного уравнения:
(2) Метод вариации постоянных
1. Находим общее решение однородного уравнения
2. Частное решение ищем в виде:
3. Составляем систему:
4. Решаем эту систему относительно и:
,
5. Находим и
6. Записываем частное решение , подставляя найденные и из п.5 в из п.2.
7. Записываем общее решение: .
Теорема: Если и – частные решения соответственно уравнений и , то функция – частное решение уравнения
|
Вид правой части (известен) |
Кратность корней |
Общий вид частного решения |
Пояснения |
|
не является корнем характеристич.уравнения |
- общий вид многочлена той же степени, что и у стоящего в правой части |
||
|
является корнем характеристич.уравнения кратности |
|||
|
, где -вещественное число |
не является корнем характеристич.уравнения |
– неизвестная постоянная |
|
|
является корнем характеристич.уравнения кратности |
|||
|
не является корнем характеристич.уравнения |
- общий вид многочлена той же степени, что и у стоящего в правой части |
||
|
является корнем характеристич.уравнения кратности |
|||
|
не является корнем характеристич.уравнения |
, – неизвестные постоянные |
||
|
является корнем характеристич.уравнения кратности |
|||
|
не является корнем характеристич.уравнения |
, - общий вид многочленов степени , где - степени многочленов правой части и |
||
|
является корнем характеристич.уравнения кратности |
PAGE 1
PAGE 14
Справочный материал. 2 семестр. Специальность "Экономика"