Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
16.Сущность средних величин и условия их применения.
Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.
Величина средней дает обобщающую количественную характеристику всей совокупности и характеризует ее в отношении данного признака.
Так, например, средняя заработная плата дает обобщающую количественную характеристику состояния оплаты труда рассматриваемой совокупности работников. Кроме того, используя средние величины, имеется возможность сопоставлять различные информационные совокупности. Так, например, можно сравнивать различные организации по уровню производительности труда, а также по уровню фондоотдачи, материалоотдачи и по другим показателям.Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения вызванные основным фактором.Статистическая обработка методом средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака
некоторой уравновешенной средней величиной
Например, индивидуальная выработка у 5 операционистов коммерческого банка за день составила 136, 140, 154 и 162 операции. Чтобы получить среднее число операций за день, выполненных одним операционистом, необходимо сложить эти индивидуальные показатели и полученную сумму разделить на количество операционистов
операций.
Как видно из приведенного примера, среднее число операций не совпадает ни с одним из индивидуальных, так как ни один операционист не сделал 150 операций. Но если мы представим себе, что каждый операционист сделал по 150 операций, то их общая сумма не изменится, а будет также равна 750. Таким образом, мы пришли к основному свойству средних величин: сумма индивидуальных значений признака равна сумме средних величин.
Это свойство еще раз подчеркивает, что средняя величина является обобщающей характеристикой всей статистической совокупности.
Средние величины широко применяются в различных отраслях знаний. Особо важную роль они играют в экономике и статистике: при анализе, планировании, прогнозировании, при расчете нормативов и при оценке достигнутого уровня. Средняя всегда именованная величина и имеет ту же размерность, что и отдельная единица совокупности.
Важнейшими условиями (принципами) для правильного вычисления и использования средних величин является следующие:
В каждом конкретном случае необходимо исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков и имеющиеся для расчета данные.
Индивидуальные значения, из которых вычисляются средние, должны относиться к однородной совокупности, а число их должно быть значительным.
Виды средних величин
Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние
Степенные средние:
Арифметическая
Гармоническая
Геометрическая
Квадратическая
Структурные средние:
Мода
Медиана
Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.
Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.
Расчет некоторых средних величин:
Средняя заработная плата 1 работника = Фонд заработной платы / Число работников
Средняя цена 1 продукции = Стоимость производства / Количество единиц продукции
Средняя себестоимость 1 изделия = Стоимость производства / Количество единиц продукции
Средняя урожайность = Валовый сбор / посевная площадь
Средняя производительность труда = объем продукции, работ, услуг / Отработанное время
Средняя трудоемкость = отработанное время / объем продукции, работ, услуг
Средняя фондоемкость = Средняя стоимость основных фондов / объем продукции, работ и услуг
Средняя фондоотдача = объем продукции, работ и услуг / средняя стоимость основных фондов
Средняя фондовооруженность = средняя величина основных производственных фондов / среднесписочная численность производственного персонала
Средний процент брака = ( стоимость бракованной продукции / Стоимость всей произведенной продукции ) * 100%
Степенные средние величины.
Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.
Если вариант X встречается один раз, расчеты проводим по средней простой (например зарплата в 3 тыс.руб. встречается только у одного рабочего), а если вариант повторяется неодинаковое число раз, то есть имеет разные частоты F (например зарплата в 4 тыс.рублей встречается у пяти работников), то расчет проводим по средней взвешенной.
Формула степенной простой в общем виде
xi — индивидуальное значение признака -й единицы совокупности
k — показатель степени средней величины
n — число единиц совокупности
Формула степенной средней взвещенной в общем виде
fi — частота повторения i-й варианты.
В зависимости от того, какое значение принимает показатель степени средней величины k, получаем различные виды средних:
При расчете различных степенных средних по одним и тем же данным значения средних будут неодинаковыми. Чем выше показатель степени (k), тем больше величина средней, т.е. действует правило мажорантности средних:
17.Средняя арифметическая простая и взвешенная.
Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.
Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина -среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия - это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну.Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид:
Средняя арифметическая
где х? - средняя величина;
п – численность совокупности.
По формуле (5.1) вычисляются средние величины первичных (объемных) признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения или группировку, как, например, табл. 5.1.
Таблица 5.1
Распределение футбольных матчей высшей лиги России по числу забитых за матч обеими командами мячей в 1996 г.
Число
забитых
мячей,x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Итого
Число
матчей,fi 30 56 71 59 49 24 12 3 0 2 306
Среднее число мячей, забитых за одну игру, должно представлять собой результат равномерного распределения общего числа забитых мячей по всем 306 матчам розыгрыша первенства. Общее число забитых мячей, согласно исходной информации табл. 5.1, можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе хi, на число игр с таким количеством забитых мячей fi (частоты). Получим формулу (5.2)
где п — число групп.Такую форму средней арифметической величины называют взвешенной арифметической средней в отличие от простой средней, рассчитанной по формуле (5.1). В качестве весов выступают здесь числа единиц совокупности в разных группах. Название «вес» выражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины. «Важнее», весомее число забитых мячей, которое встречалось чаще: 1, 2, 3 мяча, а такие значения, как 7 или 9 забитых мячей, как бы ни радовались таким результативным матчам болельщики, при расчете средней не играют большой роли: их «вес» мал.
Имеем: х? = 802 : 306 = 2,62 мяча за игру.
Как видим, средняя арифметическая величина может быть дробным числом, если даже индивидуальные значения признака могут принимать только целые значения (дискретный признак). Ничего «предосудительного» для метода средних в этом не заключено; из сущности средней не вытекает, что она обязана быть реальным значением признака, которое могло бы встретиться у какой-либо единицы совокупности.
Виды средней арифметической
Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл. 5.2 можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст - 65 лет, тогда последний интервал - 50-65 лет.Таблица 5.2
Распределение рабочих предприятия по возрасту
Группы рабочих Число рабочих Середина интервала
по возрасту, лет fj х'j xjfj
До 20. 48. 18,5. 888
20-30. 120. 25. 3000
30-40. 75. 35. 2625
40 - 50. 62. 45. 2790
Старше 50. 54. 57,5. 3105
Итого. 359. 34,56. 12,408
Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле (5.2) с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил:
что и записано в итоговую строку по графе 3 табл. 5.2. Напомним, итог объемного показателя — это сумма, итогов по графе относительных показателей или средних групповых величин — средняя. Числитель дроби - это общая сумма человеко-лет, прожитых рабочими предприятия; разделив ее на число работников, получаем возраст в годах, так что логика показателя средней величины соблюдена.
Перейдем к рассмотрению средних вторичных (относительных) признаков. Сумма таких показателей сама по себе реальной величиной какого-либо признака в совокупности не является. Однако общее определение арифметической средней сохраняет силу и в этом случае. При вычислении таких средних величин необходимо, чтобы сохранялась сумма величины объемного признака, который является числителем при построении осредняемого относительного показателя. Например, при вычислении средней величины урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры (по формуле (5.2)) необходимо, чтобы общий объем валового сбора этой культуры остался неизменным при замене индивидуальных величин урожайности средней величиной. Нельзя менять реальную величину объемного признака - она является базой расчета средней. Чтобы выполнить указанное условие, в качестве весов при расчете средней величины относительного показателя необходимо принять значения того признака, который является знаменателем при определении относительного показателя. Так, при вычислении средней урожайности по совокупности хозяйств весами должны служить размеры площади данной культуры.
Рассмотрим пример расчета средней доли предметов народного потребления в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий (табл. 5.3). В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия.
Тогда средняя доля предметов народного потребления в продукции четырех предприятий равна: х = (615,5: 2047) • 100% = 30,07%. Средняя доля ближе к долям у тех предприятий, которые имеют большой объем всей продукции (предприятия № 2 и 3). Числитель средней величины
-
это объем выпуска предметов потребления всеми предприятиями - величина, которая должна сохраняться неизменной при замене разных четырех долей на среднюю долю. Расчет по данным табл. 5.3 проведен на основе известных индивидуальных значений осредняемого признака и весов.
Свойства арифметической средней величины
Знание некоторых математических свойств средней арифметической полезно как при ее использовании, так и при ее расчете.
1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.
Доказательство:
Примечание. Для взвешенной средней сумма взвешенных отклонений равна нулю
2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.Доказательство:
Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с.
3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число.Доказательство:
Это свойство полезно использовать при расчете средней величи-ны из многозначных и слабоварьирующих значений признака, например роста группы лиц: х1 = 179 см; х2 = 183 см; х3= 171 см; х4 = 180 см; х 5= 169 см. Для вычисления среднего роста из каждого значения вычитаем 170 см и находим среднюю из остатков:(9+ 13 + 1 + 10 - 1) : 5 = 6,4. Средний рост = 6,4 + 170 = 176,4 см.4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.Доказательство:
Используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения. Применение простой и взвешенной средней
Простая и взвешенная средние величины различаются не только по величине (не всегда), по способу вычисления, но и по своей роли в решении различных задач статистического анализа. Рассмотрим, например, среднюю величину урожайности картофеля в группе хозяйств. Если эта средняя при решении поставленной задачи входит в систему показателей площади посадки, валового сбора, себестоимости, суммы затрат и других характеристик производства, то следует применять взвешенную среднюю, так как произведение невзвешенной средней на общую сумму площадей не даст суммы валового сбора.
Если же нас интересуют такие задачи, как измерение вариации урожайности между хозяйствами или связь урожайности с дозой органических удобрений, то следует применять простую среднюю величину урожайности, полностью абстрагируясь от размеров площадей посадки. Иначе на полученный результат повлияют различия площадей, совершенно не касающиеся этого признака. Точно так же, если необходимо изучить колебания урожайности за ряд лет и выявить их связь с температурой июня и суммой осадков за лето, нужно применять простую среднюю урожайность за ряд лет, абстрагируясь от различия размеров площадей в разные годы.
Чтобы правильно применять средние величины, следует знать, от каких причин зависит различие между простой и взвешенной средними. Рассмотрим этот вопрос на примере арифметической средней. Пусть x? - простая средняя, х?z - взвешенная средняя, в которой весами выступают значения признака z, п - число единиц совокупности. Отклонения индивидуальных значений признака хi от простой средней х? обозначим ?xi = хi - х?. Отклонения признака веса ?zi = zi -z?. Тогда индивидуальные значения признаков х и z можно выразить через их средние и отклонения: хi = х? + ?xi; zi = z? + ?zi, а взвешенную среднюю х, представить в виде
Перемножим величины в скобках и просуммируем почленно, имея в виду, что . Средние величины можно вынести за знак суммирования, как константы. Получим:
Так как суммы отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической согласно первому ее свойству равны нулю, то второе и третье слагаемые числителя также равны нулю.
19.Средняя хронологическая
Средняя хронологическая применяется для моментного ряда с равными интервалами между датам» (например, когда известны уровни на начало каждого месяца или квартала, года):
Средняя гармоническая (простая и взвешенная) применяется, когда характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное отделения одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной:
20.Средняя геометрическая
Средняя геометрическая (простая):
Средняя геометрическая (взвешенная)