Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записы вают в порядке нумерации; например, запись а, b, с означает, что вектор а считается первым, b — вторым, с — третьим.
Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если состав ляющие её векторы, будучи приведены к общему началу, располагающи в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указа тельный и средний пальцы правой руки. Если векторы а, b, с расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.
Смешанным произведением трёх векторов а, b, с называется число, равное векторному произведению [ab], умноженному скалярно на вектор с, т. е. [ab] с.
Имеет место тождество: [ab] с = а [ab], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [ab] с употребляется более простой символ: abc. Таким образом,
abc =[abс, abc —a [bc].
Смешанное произведение abc равно объёму параллелепипеда, построен ного на векторах а, b, с, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы а, b, с компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc равно нулю; иначе говоря, равенство abc = 0
есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов а, b, c. Если векторы а, b, с заданы своими координатами:
a = {Xl; Y1; Z1}, b ={X2; Y2; Z2}, с = {X3; Y3; Z3},
то смешанное произведение abc определяется формулой
abc =,
Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой и тройка векторов i, j, k.
865. Определить, какой является тройка а, b, с (правой или левой), если:
1) а = k, b = i, с = у; 2 )а = i, b = k, c = j;
3) a = j, b = i, c = k; 4) а = i + y, b = j, c = k;
5) a = i + j, b = i — j, c= j; 6) a = i + y, b = i — j, c = k.
866. Векторы a, b, с, образующие правую тройку, взаимно пер пендикулярны. Зная, что |а| = 4, |а| = 2, |а| = 3, вычислить abc.
867. Вектор с перпендикулярен к векторам а и b, угол между а и b равен 30°. Зная, что |а| = 6, |b| = 3, |c| = 3, вычислить abc.
868. Доказать, что
|аbc| < |а| |b| |c| ;
в каком случае здесь может иметь место знак равенства?
869. Доказать тождество (а + b) (b + с) (с + а) = 2abc.
870. Доказать тождество
аb (с + a + b) = abc,
где |а| и — какие угодно числа.
871. Доказать, что векторы а, b, с, удовлетворяющие условию
[ab] + [bc]+ [ca] = 0,
компланарны.
872. Доказать, что необходимым и достаточным условием ком планарности векторов а, b, с является зависимость
a + b +c = 0,
где по крайней мере одно из чисел , , не равно нулю.
873. Даны три вектора:
a = {1; — 1; 3}, b = { — 2; 2; 1}, с = {3;—2;5}.
Вычислить a b c.
874. Установить, компланарны ли векторы а, b, с, если:
1) a = {2;3; — 1}, b = {l; - 1;3}, c = { 1; 9; — 11};
2) a = {3; — 2; 1 }, b = {2;1;2}, с = {3; — 1; —2 );
3) а = {2; —1; 2}, b = {1;2;— 3 }, с = {3;— 4; 7 }.
875. Доказать, что четыре точки
А(1; 2; —1), В (0; 1; 5), С (—1; 2; 1), D (2; 1; 3)
лежат в одной плоскости.
876. Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках А (2; —1; 1), В (5; 5; 4), С (3; 2; — 1) и D (4; 1; 3).
877. Даны вершины тетраэдра:
А(2; 3; 1), В(4; 1;—2), С(6; 3; 7), D(— 5; —4; 8).
Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
878. Объём тетраэдра = 5, три его вершины находятся в точках А(2; 1; —1), В (3; 0; 1), С (2; —1; 3). Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу.