Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глава 3
Элементы теории вероятностей
3.1. События. Операции над событиями
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. «Случайное событие» (или просто «событие») следует рассматривать как исходное неопределяемое понятие теории вероятностей, как, например, понятия точки и прямой в евклидовой геометрии. Поясним его смысл.
Пример 3.1
Рассмотрим опыт (испытание), заключающийся в подбрасывании игральной кости (кубика с шестью гранями). Обозначим через выпадение очков на верхней грани. Тогда событие - «выпадение четного числа очков» можно представить как множество .
Пусть в том же испытании нас интересует событие «выпадение 5 очков». Соответствующее множество .
Итак, событие — это некоторое множество возможных исходов испытания. Математической моделью события в теории вероятностей является множество. Если это множество содержит один элемент, как в примере 3.2, то событие (исход) называется элементарным.
Множество всех элементарных исходов испытания называется пространством элементарных событий данного испытания. В примере 3.1 .
Очевидно, событие всегда является некоторым подмножеством пространства элементарных событий: (пример 3.1).
Если , то говорят, что элементарный исход благоприятствует событию А. Так в примере 3.1 событию «выпало четное число очков» благоприятствуют элементарные исходы , и.
Это означает, что событие совершается, если наступает хотя бы один из исходов или, или.
Итак, с каждым испытанием связано некоторое множество – пространство элементарных событий этого испытания.
Очевидно, выбор пространства элементарных событий в каждом случае должен сообразовываться со смыслом конкретного испытания. Так, при подбрасывании игральной кости напрашивается «естественный» выбор пространства элементарных событий: . Но, допустим, игра заключается в ставках на «чет» — «нечет». Тогда нет нужды различать исходы , , так же, как и исходы , , . В этом случае события и следует считать элементар ными, и пространство элементарных событий имеет вид .
Множество , как и всякое множество, связанное с испытанием, является событием. Оно наступает при любом исходе испытания, так как при всех . Поэтому множество называют достоверным событием. Обычно достоверное событие обозначается U. Таким образом, . Пустое множест во интерпретируется как невозможное событие. В реаль ной ситуации это событие, которое никогда не наступает в данном испытании. Невозможное событие обычно обознача ется V, т. е. V =.
Операции над событиями – сумма, произведение и разность – определяются как соответствующие операции над множествами.
Пусть и являются подмножествами пространства , т. е. событиями, которые могут произойти в результате одного и того же испытания.
Суммой (или объединением) событий и будет событие +(или ), элементарные исходы которого благоприятствуют хотя бы одному из событий или В. В реальном испытании это означает, что происходит, по крайней мере, одно из событий А или В (возможно, имеют место оба события).
Произведением (или пересечением) событий и называется событие АВ (или ), элементарные исходы которого благоприятствуют и и В. В реальном испытании событие АВ заключается в том, что имеют место и событие и событие В.
Разностью событий и называется событие , элементы которого благоприятствуют событию , но не благоприятствуют B. В реальном испытании событие заключается в том, что A произошло, а не произошло. На рис.3.1 приведены соответствующие диаграммы Эйлера-Венна.
а б в
Рис 3.1
Рис. 3.2
Событие называется противоположным событию (рис.3.2). Появление события в испытании исключает возможность осуществления события А. Очевидно, , .
События и называются несовместными, если (или то же самое можно записать ).
Очевидно, противоположные события несовместны: , (или тоже самое можно записать так ).
С помощью введенных операции из некоторых заданных событий можно конструировать сложные события.
Пример 3.3
Производится три выстрела по мишени. Обо значим ( = 1, 2, 3) – «попадание в выстреле». Тогда 1) – «попадание во всех трех выстрелах»; 2) – «промах во всех трех выстрелах»; 3) – «хотя бы одно попадание»;
4) + – «ровно два попадания».
Построить пространство элементарных событий испытания, рассмотренного в примере 3.3.
Решение
При трех выстрелах возможны следующие исходы: «все три попадания», «попадание в первых двух выстрелах и промах в третьем» и т. д. Пространство элементарных событий имеет вид
Если же нас интересует лишь факт поражения мишени хотя бы в одном выстреле, то для того же испытания пространство элементарных событии можно сконструировать значительно проще:
Для операций над событиями остаются справедливыми свойства действий над множествами:
|
1. |
А+В=В+А; |
5. |
A+A=A; |
9. |
|
|
2. |
АВ=ВА |
6. |
АА=А |
10. |
|
|
3. |
7. |
11. |
|||
|
4. |
8. |
12. |
V – невозможное событие; U – достоверное событие.
3.2. Элементы комбинаторики
Перестановки – это такие комбинации из совокупности различных элементов, которые отличаются только порядком следования элементов. Число перестановок из элементов вычисляется по формуле
|
(3.1) |
Напомним, что (читается: “факториал”) это произведение чисел от 1 до ): , при этом, для удобства записи некоторых формул, принимается, что и .
Пример 3.5
Из цифр 1, 2, 3 можно составить трехзначные числа: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Каждая такая комбинация представляет собой перестановку из трех элементов. Число этих перестановок .
Размещения – это комбинации из различных элементов по m элементов, которые отличаются составом элементов или порядком. Число размещений из элементов по т элементов вычисляется по формуле
|
(3.2) |
Пример 3.6
Из цифр 1, 2, 3 можно составить двухзначные числа 12, 21, 13, 31, 23, 32. Каждая такая комбинация представляет собой размещение из трех элементов по два элемента. Число этих размещений .
Сочетания – это комбинации из по т элементов, которые различаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из элементов по т элементов вычисляется по формуле
|
, |
(3.3) |
причем , .
Пример 3.7
Число способов, которыми группу из 12 рабочих можно разбить на бригады по три человека в каждой, равно .
3.3. Классическое определение вероятности
Пусть пространство элементарных событий некоторого испытания содержит равновозможных исходов, и пусть т из них благоприятствуют событию . Тогда вероятностью события будет величина
|
. |
(3.4) |
Применение формулы (3.4) для вычисления вероятности основано на интуитивном предположении о равновозможности (равновероятности) исходов испытания. Лишь по традиции формулу (3.4) называют определением вероятности. Ее следует рассматривать только как способ вычисления вероятности в испытаниях, исходы которых можно считать равновероятными.
Рассмотрим несколько простых примеров применения формулы (3.4).
Пример 3.8
Подбрасываются две монеты. Какова вероятность появления герба хотя бы на одной из них?
Решение
Обозначив Г – выпадение герба, Р – выпадение решетки, построим пространство элементарных событий: . Все 4 исхода равновозможны, из них 3 благоприятствуют выпадению герба, поэтому
Пример 3.9
Шесть карточек с буквами КМООСС разложены в одну линию в произвольном порядке. Какова вероятность того, что получилось слово КОСМОС?
Решение
В этом случае, пространство элементарных событий содержит так много исходов (МООССК, ООССКМ,...), что выписать его полностью очень непросто. Количество всех равновозможных исходов равно числу перестановок (формула (3.1)) из 6 элементов:
.
Число благоприятствующих исходов равно 4 (ничего не изме нится, если поменять местами карточки с одинаковыми буквами О и С). Следовательно, .
Пример 3.10
Абонент забыл две последние цифры теле фонного номера и, помня лишь, что они различны, набрал их наугад. Найти вероятность правильного соединения.
Решение
В этом случае общее количество исходов можно вычислить как
число размещений из 10 цифр 0, 1, ..., 9 по две (здесь существенен как состав, так и порядок этих двух цифр): = 10·9 =90. Так как благоприятствующий исход один, то P = 1/90.
Заметим, что если бы абонент не помнил и о различии забытых цифр, то вероятность верного соединения оказалось бы еще
меньше:(подумайте, почему?).
В ящике имеется 3 красных и 7 белых шаров. Наугад извлекается 1 шар. Вероятность того, что он кажется красным,= 3/10.
Пусть теперь из ящика с тем же содержимым наугад из влекаются 2 шара. Найти вероятности того, что а) оба окажутся красными ; б) 1 окажется красным, 1 белым ; в) оба окажутся белыми .
Решение
Общее количество способов, которыми можно из 10 ша ров извлечь 2, равно числу сочетаний (здесь порядок не имеет значения) из 10 по 2: .
Число благоприятствующих исходов находится так:
a) ; б) ;
в) .
Тогда
Заметим, что множество составляет пространство элементарных событий испытания «из ящика, содержащего красные и белые шары, наугад извлекаются 2 шара».
Событие «извлекается какая-нибудь пара шаров», т. е. событие есть событие достоверное, при этом
.
То же самое получаем, складывая вероятности
Пусть, как и в предыдущем примере в ящике 3 красных и 7 белых шаров. Наугад извлекается 5 шаров. Найдем вероятность того, что 2 из них окажутся красными и 3 – белыми.
Решение
Общее число способов, которыми можно извлечь 5 шаров из 10, равно . Следовательно, общее число исходов испытания равно .
Число способов, которыми из трех красных шаров можно извлечь 2 шара, равно . С каждым из этих способов сочетаются все комбинации, которые можно получить, извлекая 3 шара из 7 белых, т. е. . Таким образом, число благоприятствующих исходов равно .
Следовательно, P (A) = .
3.4. Аксиоматическое определение вероятности
Вероятность события в современном построении курса определяется аксиоматически (аксиоматическая структура теории вероятностей была предложена советским математиком А. Н. Колмогоровым в 1933 году). Дадим это определение в упрощенной трактовке.
Пусть т. е. событие образовано из каких-нибудь исходов пространства элементарных событий некоторого ис пытания. Числовая функция , определенная на множе стве всех событий этого испытания, называется вероятностью события , если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Аксиома 1: .
Аксиома 2: вероятность достоверного события .
Аксиома 3: если попарно несовместные события, то
– вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
В аксиоматическом определении свойства вероятности, справедливые для испытаний с равновозможными исходами, обобщены на случай произвольных испытаний. Эти свойства, в общем случае, ниоткуда не следуют, они постулируются. Именно так, с помощью некоторого набора аксиом, опреде ляются исходные понятия в современной математике.
Можно показать, что «классическое определение» вероятности (3.4) получается как частный случай аксиоматического оп ределения, если исходы испытания равновероятны,
Без доказательства приведем несколько следствий из аксиом 1–3:
1. , (– невозможное событие).
2. Если , то .
3. , (вместе с аксиомой 1 имеем ).
4. Если исходы , , …, образуют пространство элементарных событий, то .
5. .
3.5. Статистическое определение вероятности
Лишь в случае испытаний с равновозможными исходами мы можем каждому исходу приписать определенную вероятность, как это делалось в разделе 3.3. В общем случае с помощью аксиоматического определения вероятности нельзя найти численные значения вероятностей событий в реальных испытаниях. Каким же образом формальное аксиоматичес кое определение вероятности связано с действительностью? Такая связь основана на универсальной закономерности при роды, составляющей суть так называемого «статистического определения вероятности».
Пусть производится серия однотипных реальных испытаний, в каждом из которых может наступить (или не наступить) событие А. Относительной частотой события А является величина , где т – число испытаний, в которых событие наступило, – общее число испытаний в серии.
Пример 3.13
Партия, содержащая 100 деталей, подвер гается контролю. 10 деталей оказались бракованными. Относительная частота события («деталь бра кованная»)
Очевидно, относительная частота может меняться от серии к серии. В то же время экспериментально установлен очень важный факт: при осуществлении известных условий с ростом величина с некоторого момента начинает колебаться около определенного числа, все меньше от него отклоняясь. Это число называют вероятностью события в статистическом смысле.
Фундаментальное свойство устойчивости относительных частот позволяет установить связь теории вероятностей – математической дисциплины – с многочисленными практическими приложениями. Благодаря этому свойству оказа лось возможным приписывать событиям определенные веро ятности, значения которых находятся экспериментально. Как показывает опыт, для классических испытаний с равновозможными исходами относительная частота , устанавливаемая эмпирически при большом числе повторений, и вероятность , получаемая из соображений симметрии, отличаются весьма незначительно.
3.6. Условная вероятность
В реальности вероятность какого-либо события зависит от осуществления других событий , , . . . , т.е. зависит от некоторых условий. Вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло, называется условной вероятностью события относительно события . Такая вероятность обозначается P(A|B) (или ).
Студент, из 30 билетов выучил первые 20. На экзамен он пришел одним из последних, когда осталось только 8 билетов с 17-го по 24-й (событие ={17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24}). Обозначим A = {студенту достался знакомый билет}.
Если, придя на экзамен, студент не получил никакой ин формации об оставшихся билетах, то по классическому определению . Если же он узнал, что событие произошло, то для него вероятность получить выучен ный, билет изменится. Общее число возможных исходов теперь – это число оставшихся билетов – 8. Благопри ятствующие исходы {17, 18, 19, 20}, их число – 4. Вероятность события A при условии, что имело место событие B («условная вероятность») P(A|B)= 4/8 =1/2.
Можно показать, что для классического испытания с равновозможными исходами имеет место формула
|
(3.7) |
Формула (3.7) принимается за определение условной вероятности и в общем случае.
Можно показать, что величина , определенная формулой (3.7) удовлетворяет аксиомам вероятности 1–3, поэтому (3.7) называют четвертой аксиомой вероятности.
3.7. Теорема умножения вероятностей
Из равенства (3.7) следует, что
|
(3.8) |
Эта формула называется теоремой умножения вероятностей.
Обобщения теоремы умножения на случай трех и большего числа событий соответственно имеют вид
|
(3.9) |
|
(3.10) |
|
|
|
Пример 3.15.
Из 20 вопросов программы студент выучил 16. Требуется найти вероятность того, что 3 предложенных вопроса окажутся знакомыми (событие ).
Решение
Обозначим - событие « вопрос оказался знакомым» ( = 1, 2, 3). Тогда . Можно представить, что вопросы записаны на отдельных карточках и выбираются наугад один за другим (без возвращения). Тогда, (вероятность получения второго знакомого вопроса при условии, что первый оказался знакомым), (вероятность третьего «везения» при условии, что знакомыми оказались оба первых вопроса). По формуле (3.9)
.
События и называются независимыми (нужно не путать с несовместными), если выполняется условие
|
, |
(3.11) |
или эквивалентное ему условие
|
(3.12) |
На практике независимость событий означает, что появление одного из них не изменяет вероятности другого или появление одного из них не несет информации, о другом.
События называются независимыми, если каждое из них не зависит от каждого из остальных и от всевозможных произведений остальных событий.
Для независимых событий теорема умножения принимает простой вид
|
(3.13) |
В частности, для двух независимых событий
|
|
(3.14) |
Пример 3.16
В ящике 16 белых и 4 черных шара. Требуется найти вероятность того, что 3 последовательно извлеченных шара окажутся белыми (событие A), если после каждого извлечения шар возвращается в ящик, и все шары снова перемешиваются.
Решение
Обозначим – « шар оказался белым». В отличие от примера 3.16 события независимы. По формуле (3.14)
3.8. Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
|
, |
(3.15) |
Соотношение (3.16) называется теоремой сложения вероятностей для совместных событий.
Если события и несовместны, тогда AB – невозможное событие, P(AB)=0 – следствие из аксиом вероятности. В этом случае формула (3.15) принимает вид
|
. |
(3.16) |
Подчеркнем, что соотношение (3.16) имеет место только для несовместных событий и совпадает с аксиомой 3.
Пример 3.17
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания (событие A) для первого стрелка 0,7, вероятность попадания (событие В) для второго стрелка 0,8.
Считая попадания независимыми событиями, найти вероят ность поражения мишени хотя бы одним стрелком (т, е. вероятность события ).
Решение
1-й способ. События и совместны, поэтому следует воспользоваться формулой (3.15):
При подсчете вероятности произведения в силу независимости событий и , использовалась формула (3.14).
2-й способ. Сначала найдем вероятность противоположного события – промаха обоими стрелками . Полагая, что промахи также независимые события, имеем (воспользовались следствием 5 пункта 3.4). Тогда .
Преимущества второго способа заметно проявляются в случае большого числа событий.
3.9. Формула полной вероятности
Пусть событие A может произойти только при осуществлении одного из событий (они называются гипотезами), которые попарно несовместны и образуют пространство элементарных событий некоторого испытания. Известны вероятности гипотез и условные вероятности (=1, 2, . . .). Тогда вероятность события находится по формуле полной вероятности:
|
. |
(3.17) |
Партия содержит 20% деталей, изготовлен ных заводом I, 30% – заводом II, 50% –заводом III. Для завода I вероятность выпуска бракованной детали равна 0,05, для завода II – 0,01, для завода III – 0,06. Чему равна вероятности того, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной (событие A)?
Решение. Обозначим гипотезу «деталь изготовлена 1-м заводом». Вероятности гипотез нам известны: , . Даны также условные вероятности: . По формуле полной вероятности (3.16) нахо дим .
Формула Байеса.
Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез, если стало известным, что событие А произошло? Иными словами, нас интересуют значения вероятностей . Ответ получаем из формулы полной вероятности.
Поэтому
Задачи
PAGE 1
EMBED Equation.3
A B
A
A+B
EMBED Equation.3
A B
A\B
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
А