Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уфимский государственный нефтяной технический университет»
Кафедра математики
Лабораторная работа №1
«Анализ и прогноз технико-экономических показателей
с помощью динамических рядов»
(вариант 1)
Студент гр. МАГ-12 И.И. Абубакиров
Доцент, к.т.н. И.Н. Сулейманов
Уфа
2012
Цель работы. Анализ и прогноз технико-экономических показателей системы (динамических рядов) с заданными параметрами и прогноз на основе модели полученной при анализе.
В общем случае каждый член динамическою ряда , где t существует в интервале , может быть представлен в аддитивной форме, содержащей несколько составляющих:
где, тренд динамическою ряда, регулярная компонента, характеризующая общую тенденцию, сезонная компонента, или внутригодичные колебания, а в общем случае циклическая составляющая, случайная компонента, образующаяся под влиянием различных (как правило, неизвестных) причин, — компонента, обеспечивающая сопоставимость элементов динамическою ряда, данный ряд не требует корректировки, поэтому считается, что ; — управляющая компонента, с помощью которой воздействие на члены динамическою ряда с целью формирования в будущем его желаемой траектории (управляемый прогноз), в нашем случае .
Заданный динамический ряд приведен в таблице 1. Кроме того в данной таблице приведены тренды, найденные с помощью механического выравнивания, метода наименьших квадратов и метода скользящего среднего.
Таблица 1
|
i |
ti |
прибыль |
U1 |
U2 |
U3 |
|
1 |
0 |
33,78344 |
47,63011 |
28,05413 |
23,02658 |
|
2 |
2 |
61,47678 |
61,32184 |
50,06529 |
55,68148 |
|
3 |
4 |
88,7053 |
88,58853 |
89,3463 |
88,33638 |
|
4 |
6 |
115,5835 |
115,4739 |
125,377 |
120,9913 |
|
5 |
8 |
142,1329 |
142,5511 |
159,447 |
153,6462 |
|
6 |
10 |
169,937 |
169,7451 |
192,1296 |
183,775 |
|
7 |
12 |
197,1654 |
198,1422 |
223,7473 |
213,4669 |
|
8 |
14 |
227,3243 |
226,5296 |
254,5062 |
243,4123 |
|
9 |
16 |
255,0992 |
255,3393 |
284,5485 |
273,1364 |
|
10 |
18 |
283,5945 |
283,7851 |
313,978 |
302,7691 |
|
11 |
20 |
312,6617 |
312,82 |
342,8736 |
332,3827 |
|
12 |
22 |
342,2039 |
344,3543 |
371,2972 |
362,0208 |
|
13 |
24 |
378,1972 |
376,6555 |
399,2985 |
392,1926 |
|
14 |
26 |
409,5653 |
409,7976 |
426,9183 |
422,504 |
|
15 |
28 |
441,6302 |
443,0197 |
454,1907 |
452,9751 |
|
16 |
30 |
477,8636 |
475,4097 |
481,1444 |
483,8291 |
|
17 |
32 |
506,7354 |
508,8858 |
507,804 |
514,6295 |
|
18 |
34 |
542,0583 |
541,5939 |
534,191 |
545,6927 |
|
19 |
36 |
575,988 |
574,6416 |
560,3238 |
576,9318 |
|
20 |
38 |
605,8786 |
605,6971 |
586,2189 |
608,1528 |
|
21 |
40 |
635,2248 |
635,7119 |
611,8908 |
639,3265 |
|
22 |
42 |
666,0323 |
663,7231 |
637,3524 |
670,5061 |
|
23 |
44 |
689,9123 |
692,6324 |
662,6154 |
701,4346 |
|
24 |
46 |
721,9527 |
719,7038 |
687,6902 |
732,4015 |
|
25 |
48 |
747,2463 |
747,5712 |
712,5864 |
763,1834 |
|
26 |
50 |
773,5145 |
773,8889 |
737,3126 |
793,8163 |
|
27 |
52 |
800,9058 |
800,5735 |
761,8766 |
824,3396 |
|
28 |
54 |
827,3002 |
828,4902 |
786,2858 |
854,7296 |
|
29 |
56 |
857,2647 |
856,2858 |
810,5468 |
885,0906 |
|
30 |
58 |
884,2925 |
885,2851 |
834,6657 |
915,3483 |
|
31 |
60 |
914,2982 |
916,1934 |
858,6482 |
945,5831 |
|
32 |
62 |
949,9896 |
932,1439 |
882,4997 |
975,9378 |
Механические способы выравнивания
Вычислим регулярную компоненту U1 (тренд) с помощью механического выравнивания. Для определения первого члена сглаженного ряда по трехчленной скользящей средней складывают первые три члена эмпирического ряда и их сумму делят на три:
Подобным образом определяются все остальные члены ряда.
Аналитические методы выравнивания
Определим параметры эмпирической зависимости методом наименьших квадратов. Для того чтобы выбрать наилучшую зависимость из предлагаемых, необходимо просчитать для них и выбрать ту из них для которой будет минимальна. Полученные результаты сведем в таблицу 2.
Таблица 2
|
N |
xs |
ys |
||
|
1 |
7,874008 |
179,1478 |
141,4471 |
37,7007 |
|
2 |
31,5 |
179,1478 |
479,3636 |
300,2158 |
|
3 |
1,968254 |
491,8865 |
60,59763 |
431,2889 |
|
4 |
31,5 |
65,24659 |
479,3636 |
414,117 |
|
5 |
1,968254 |
65,24659 |
60,59763 |
4,648961 |
|
6 |
7,874008 |
491,8865 |
141,4471 |
350,4395 |
Из полученных результатов выбираем, зависимость для аппроксимации . Используя табличные представления линеаризируем исходные данные и заносим в таблицу 3:
В результате расчётов методом наименьших квадратов, аппроксиммирующая функция имеет следующий вид:
Результаты промежуточных расчетов представлены в таблице 3.
Таблица 3
Выравнивание данных на основе скользящего тренда.
С помощью МНК находятся коэффициенты уравнений регрессий сдвинутых друг относительно друга на период времени:
Затем, по полученным коэффициентам находится значение скользящего среднего по следующей формуле:
Результаты расчетов коэффициентов ki и bi, а также скользящей средней приведены в таблице 4.
Таблица 4
Исходные данные и результаты вычисления регулярной компоненты Ut методом механического выравнивания, методом наименьших квадратов и методом скользящего тренда приведены на рисунке 1.
Рисунок 1 – Сравнительный график
Вычисление сезонной компоненты Vt методом сезонной волны
Для определения сезонной и случайной компонент вычисляется следующий динамический ряд:
Вычислим сезонную волну методом простой средней. Сезонный процесс, который развивается за сезонных периодов, и за время или в дискретные моменты времени , описывается следующим выражением:
.
Найдем усредненные значения показателей в каждом периоде по формулам:
|
V i cp |
|
|
V1cp |
-0,28742 |
|
V2cp |
-3,84098 |
|
V3cp |
-7,80748 |
|
V4cp |
-9,15594 |
|
V5cp |
-13,9119 |
|
V6cp |
-13,2684 |
|
V7cp |
-16,9872 |
|
V8cp |
-19,7382 |
|
V9cp |
-21,5774 |
|
V10cp |
-23,6232 |
|
V11cp |
-20,9106 |
|
V12cp |
-21,9972 |
|
V13cp |
-21,3149 |
|
V14cp |
-15,9568 |
|
V15cp |
-7,8941 |
|
V16cp |
-3,63443 |
Среднесезонное значение находится как:
Отсюда значения сезонной волны запишутся следующим образом:
|
S i |
|
|
S1 |
0,020724 |
|
S2 |
0,276944 |
|
S3 |
0,562939 |
|
S4 |
0,660166 |
|
S5 |
1,003084 |
|
S6 |
0,956686 |
|
S7 |
1,224817 |
|
S8 |
1,423175 |
|
S9 |
1,555786 |
|
S10 |
1,703289 |
|
S11 |
1,50771 |
|
S12 |
1,586057 |
|
S13 |
1,536859 |
|
S14 |
1,150528 |
|
S15 |
0,569184 |
|
S16 |
0,262051 |
Последовательность является сезонной волной, построенной методом простой средней.
Метод простой средней позволяет лишь в какой-то степени нивелировать случайные колебания и вычленить сезонную компоненту, соответствующую исследуемому периоду. Этот метод применим лишь тогда, когда тренд исключен из динамического ряда или имеет постоянный уровень.
Рисунок 2 – Сезонная составляющая найденная методом сезонной волны
Вычисление сезонной компоненты методом гармонического анализа
Вычисление сезонной или периодической (циклической) составляющей может быть проведено с помощью гармонического анализа.
Необходимым условием для проведения оценки периодической оставляющей является исключение из ряда регулярной компоненты , (тренда). Представим тогда ряд в виде:
|
сезон+случ |
|
10,7568613 |
|
5,79529867 |
|
0,368916 |
|
-5,40778667 |
|
-11,5132893 |
|
-13,8380416 |
|
-16,3014886 |
|
-16,0879939 |
|
-18,0372328 |
|
-19,1746204 |
|
-19,7210356 |
|
-19,8168635 |
|
-13,9953716 |
|
-12,9386926 |
|
-11,3448919 |
|
-5,96548766 |
|
-7,89409812 |
|
-3,63442746 |
|
-0,94375307 |
|
-2,27416841 |
|
-4,1016676 |
|
-4,47383781 |
|
-11,5223481 |
|
-10,4488305 |
|
-15,9370933 |
|
-20,3018129 |
|
-23,433801 |
|
-27,4294492 |
|
-27,8259191 |
|
-31,0557894 |
|
-31,2849225 |
|
-25,9481755 |
С использованием надстройки «Анализ данных» разложим функцию в ряд Фурье:
- частота функции;
- период;
- индекс текущей гармоники;
- коэффициенты ряда Фурье
|
Re+Im |
Модуль |
Аргумент (рад) |
|
-415,731814197832 |
415,7318142 |
3,141592654 |
|
-55,6000349197951-17,7673406340679i |
58,36987473 |
-2,832292259 |
|
95,2889082808006-145,056212358015i |
173,5548351 |
-0,989578635 |
|
50,1696695942787-61,128103520617i |
79,07996451 |
-0,883542323 |
|
41,505262831972-46,8857264971793i |
62,61755498 |
-0,846194326 |
|
38,9957765045299-39,9939175042905i |
55,85860742 |
-0,798033836 |
|
18,2491003806844-32,8381540331614i |
37,56825821 |
-1,063565623 |
|
26,3577690082615-21,0051781709499i |
33,70384989 |
-0,672863432 |
|
25,6355142033308-13,7568318013333i |
29,09347022 |
-0,492521809 |
|
21,8214855528803-11,5869230316312i |
24,70696293 |
-0,488128741 |
|
16,1466799948141-4,0947941910944i |
16,65780941 |
-0,248363794 |
|
26,9128754915726-13,1858918003307i |
29,96949465 |
-0,455573189 |
|
11,1441065589574+6,56222825930977i |
12,9326699 |
0,532182035 |
|
18,6074438468252-7,76405617843551i |
20,16228 |
-0,395292646 |
|
17,6636688783526-11,4875173911878i |
21,07055419 |
-0,576619251 |
|
21,9426905677898+1,40582035329936i |
21,98767837 |
0,063980376 |
|
10,269543313988 |
10,26954331 |
0 |
|
21,9426905677898-1,40582035329944i |
21,98767837 |
-0,063980376 |
|
17,6636688783527+11,4875173911878i |
21,07055419 |
0,576619251 |
|
18,6074438468252+7,7640561784355i |
20,16228 |
0,395292646 |
|
11,1441065589574-6,56222825930975i |
12,9326699 |
-0,532182035 |
|
26,9128754915727+13,1858918003307i |
29,96949465 |
0,455573189 |
|
16,1466799948141+4,09479419109439i |
16,65780941 |
0,248363794 |
|
21,8214855528803+11,5869230316312i |
24,70696293 |
0,488128741 |
|
25,6355142033308+13,7568318013333i |
29,09347022 |
0,492521809 |
|
26,3577690082616+21,0051781709498i |
33,70384989 |
0,672863432 |
|
18,2491003806844+32,8381540331615i |
37,56825821 |
1,063565623 |
|
38,99577650453+39,9939175042905i |
55,85860742 |
0,798033836 |
|
41,505262831972+46,8857264971793i |
62,61755498 |
0,846194326 |
|
50,1696695942789+61,1281035206169i |
79,07996451 |
0,883542323 |
|
95,2889082808009+145,056212358015i |
173,5548351 |
0,989578635 |
|
-55,600034919795+17,7673406340683i |
58,36987473 |
2,832292259 |
Тогда сезонная составляющая выглядит следующим образом:
- частота функции;
- период;
- индекс текущей гармоники;
- коэффициенты ряда Фурье.
Рисунок 3 – Сезонная составляющая найденная методом гармонического анализа
Оценка ошибки при вычислении Ut и Vt , т.е. оценка случайной составляющей Et .
Компонента будет считаться найденной правильно только тогда, когда случайная компонента удовлетворяет определенным условиям, доказывающим, что она действительно носит случайный характер. Их несколько: условия случайности, нормальности, равенства нулю математического ожидания и независимости. Рассмотрим эти условия, подтверждающие адекватность выбранного полинома (тренда) и случайный характер составляющей , а также характеристики точности модели.
Наличие пика характеризуется условиями .
Проверка случайности колебаний уровня остаточной компоненты состоит в оценке гипотезы о независимости величин , от времени.
Проверка осуществляется на основе критерия пиков. Введем следующие обозначения: — число пиков Р=16, — математическое ожидание числа пиков, определяемое по формуле
- — дисперсия, равная
.
Условие независимости выглядит следующим образом:
(здесь учитывается только целая часть числа, заключенного в круглые скобки).
Для нашего случая и данное неравенство выполняется (16 > 15).
Следовательно, ряд остатков является случайным.
Проверка соответствия распределения остаточной компоненты нормальному закону распределения. Введем некоторые характеристики ряда остатков.
2. Выборочная характеристика эксцесса (характеристика временного ряда) :
3. Средняя квадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии .
Гипотеза о нормальном распределении остаточной компоненты принимается, поскольку одновременно выполняются неравенства
Действительно в первом случае , а во втором . Т.е. ряд остатков можно считать распределенным приблизительно по нормальному закону.
Проверка равенства математического ожидания значения остаточной компоненты нулю осуществляется с помощью -критерия Стьюдента:
,
где — генеральная средняя,
— число степеней свободы, ,
— средняя арифметическая,
— среднее квадратическое отклонение.
Для нашего случая критерий Стьюдента можно записать так:
Проверка точности модели проводится с целью оценки ошибки в подборе полинома. Выражение для стандартен ошибки имеет вид:
,
где число факторов в модели.
Введем также следующие показатели-
коэффициент сходимости
коэффициент детерминации
коэффициент (индекс) корреляции
средняя ошибка аппроксимации
=71,33575
Видно, что хотя ряд остатков является случайным, показатели – далеки от оптимальности. Возможно, это связано с ошибками при вычислении тренда, или это результат не очень большой выборки.
Прогнозирование значений ТЭП на базе значений скользящего тренда
Сначала вычисляется взвешанная средняя приращений тренда по формуле:
где
- коэффициенты или гармонические веса, удовлетворяющие следующим условиям:
Далее полагают, что приращение ТЭП в прогнозируемый период (если нет сведений о развитии тренда) составляет в среднем ежегодно
.
Получен следующий прогноз:
|
ti |
U3 |
|
64 |
1037,027 |
|
66 |
1159,206 |
|
58 |
1037,027 |
|
70 |
1281,385 |
Вывод. Произведен анализ и прогноз технико-экономических показателей с помощью динамических рядов. Выделен трен и сезонная составляющая модели, в результате получена тренд-сезонный временной ряд, на основании которого получен прогноз для будущего периода времени.