Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
32
Варіант 06
Чернігів 2009
Зміст
Завдання №1
Завдання №2
Завдання №3
Завдання №4
Завдання №5
Список використаних джерел
Звести до канонічної форми задачу лінійного програмування:
Дана задача лінійного програмування задана в симетричній формі запису: умови, при яких функція F буде максимальною, задані у вигляді нерівностей. Для того, щоб отримати канонічну форму задачі лінійного програмування необхідно нерівності перетворити у рівності, використовуючи теорему, за якою нерівність
еквівалентна рівнянню
і нерівності
а нерівність вигляду
еквівалентна рівнянню
, в якому
Враховуючи наведене вище дану задачу запишемо у наступній канонічній формі:
Визначити оптимальний план задачі лінійного програмування графічним методом (знайти максимум і мінімум функції):
Для задач з двома змінними можна використовувати графічний спосіб розв’язку задач лінійного програмування. Побудуємо область допустимих розв’язків системи лінійних нерівностей. Для цього будуємо відповідні даним нерівностям граничні прямі:
Потім знаходимо напівплощини, в яких виконуються задані нерівності (рисунок1).
Рисунок1–Графічне визначення максимального і мінімального значення функції
Область допустимих рішень визначається як загальна частина напівплощин, відповідних даним нерівностям, які при цьому знаходяться в першій четвертині, тобто обмежуються прямими і . З малюнку 1 видно, що функція не має рішення, оскільки напівплощина, утворена прямими
не співпадає з площиною, утвореною обмеженнями
.
Побудувати двоїсту задачу. Симплексним методом знайти оптимальний план початкової задачі. Використовуючи першу теорему двоїстості, визначити план другої задачі.
Для перетворення нерівностей в рівності вводимо змінні одиничні матриці х3, х4 і х5. Для розв’язку задачі симплексним методом необхідно мати три одиничних матриці при невід’ємних правих частинах рівнянь. Для отримання одиничної матриці в першій і третій нерівностях вводимо введемо штучні змінну х6 і х7 та отримаємо одиничні матриці А6 і А7. Де
і
В результаті наведених перетворень отримаємо наступну задачу:
У виразі функції величину М вважаємо достатньо великим додатнім числом, оскільки задача розв’язується на знаходження мінімального значення функції.
Запишемо задачу у векторній формі:
де
В якості базису вибираємо одиничні вектори А6, А4, А7. Вільні невідомі прирівнюємо нулю . В результаті отримаємо початковий опорний план розширеної задачі
,
якому відповідає розкладення
Для перевірки початкового опорного плану складаємо першу симплексну таблицю (таблиця1) і підраховуємо значення функції і оцінок Маємо:
тобто оскільки М попередньо не фіксовано, то оцінки є лінійними функціями величини М, причому функція складається з двох доданків, одне з яких залежить від М, інше не залежить. Для зручності розрахунків в (F-C) рядок запишемо доданок, незалежний від М, а в (М) рядок – тільки коефіцієнти при М, які і дозволяють порівняти оцінки між собою. Для векторів базису оцінки дорівнюють нулю.
Таблиця1–Перша симплексна таблиця
|
Базис |
С базису |
А0 |
|||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
|
х6 |
М |
-1 |
|||||||
|
х4 |
0 |
||||||||
|
х7 |
М |
-1 |
|||||||
|
F-C |
– |
0 |
-5 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
М |
– |
14 |
4 |
4 |
-1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
В (М) рядку є додатні оцінки, тому опорний план Х0 не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Оскільки у нас максимальне значення 4 належить двом векторам, то в базис включаємо вектор, якому відповідає мінімальне Сj. Розв’язувальним рядком вибирається той, в якому найменше відношення Серед коефіцієнтів розкладання векторів А1 і А2 по базису є додатні, тому хоча б один з векторів існує.. Знайдемо ці значення:
;
Таким чином підтвердилося, що розв’язувальним стовпчиком буде другий, і визначилося, що розв’язувальним рядком буде перший. Тобто розв’язувальний елемент – число 3. Тоді вектор А2 включаємо в базис, а вектор А6 виключаємо з нього.
Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця2). При цьому елементи першого (розв’язувального) рядка ділимо на 3. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.
Таблиця2–Друга симплексна таблиця
|
Базис |
С базису |
А0 |
|||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
|
х2 |
2 |
2,67 |
,33 |
-0,33 |
,33 |
||||
|
х4 |
0 |
9,33 |
,67 |
,33 |
-1,33 |
||||
|
х7 |
М |
3,33 |
,33 |
-1 |
-0,33 |
||||
|
F-C |
– |
5,33 |
-4,33 |
-0,67 |
,67 |
||||
|
М |
– |
3,33 |
,67 |
,33 |
-1 |
-1,33 |
В (М) рядку є додатні оцінки, тому план, зображений в таблиці2 не є оптимальним і його можна покращити, включивши в базис вектор, якому відповідає . Тобто за розв’язувальний стовпчик вибираємо перший. Мінімальне відношення
тому розв’язувальним рядком є третій. Таким чином розв’язувальний елемент – число 2,67. Тоді вектор А1 включаємо в базис, а вектор А7 виключаємо з нього.
Складаємо другу симплексну таблицю (таблиця3). При цьому елементи третього (розв’язувального) рядка ділимо на 2,67. Елементи інших рядків визначаємо використовуючи формули повного виключення Йордана-Гауса.
Таблиця3–Третя симплексна таблиця
|
Базис |
С базису |
А0 |
|||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
|
х2 |
2 |
2,25 |
-0,375 |
,125 |
,375 |
-0,125 |
|||
|
х4 |
0 |
7,25 |
,125 |
,625 |
-1,125 |
-0,625 |
|||
|
х1 |
5 |
1,25 |
,125 |
-0,375 |
-0,125 |
,375 |
|||
|
F-C |
– |
10,75 |
-0,125 |
-1,625 |
,125 |
,625 |
|||
|
М |
– |
0 |
-1 |
-1 |
В результаті проведеної ітерації з базису виключено штучні елементи, тому в рядку (М) всі оцінки, крім оцінки штучного вектору, перетворилися на нуль. Оскільки в рядках (F-C) і (М) не має додатних значень, то знайдене рішення
()
є оптимальним. Функція при цьому
Перевірка
Кожній задачі лінійного програмування можна поставити у відповідність двоїсту задачу. Для цього першим кроком необхідно впорядкувати запис вихідної задачі. Оскільки у нас функція мінімізується, то всі умови-нерівності повинні бути вигляду . Виконання цієї умови досягаємо множенням відповідних умов на (1-). В результаті система обмежень матиме наступний вигляд:
Оскільки вихідна задача є задачею мінімізації, то двоїста буде задачею максимізації. Двоїста задача буде мати три змінні , оскільки вихідна задача має три обмеження. При цьому вектор, отриманий із коефіцієнтів при невідомих цільової функції вихідної задачі , співпадає з вектором констант у правих частинах обмежень двоїстої задачі. Аналогічно пов’язані між собою вектори, утворені з коефіцієнтів при невідомих цільової функції двоїстої задачі , і константи в правих частинах обмежень вихідної задачі. Кожній змінній двоїстої задачі відповідає і-те обмеження вихідної задачі, і, навпаки, кожній змінній прямої задачі відповідає j-те обмеження двоїстої задачі. Матриця з коефіцієнтів при невідомих двоїстої задачі утворюється транспортуванням матриці А, складеної з коефіцієнтів при невідомих вихідної задачі. Якщо на j-ту змінну вихідної задачі накладена умова невід’ємності, то j-те обмеження двоїстої задачі буде нерівністю, в іншому випадку j-те обмеження буде рівністю; аналогічно пов’язані між собою обмеження вихідної задачі і змінні двоїстої.
Складаємо матрицю при невідомих вихідної задачі:
,
тоді матриця при невідомих двоїстої задачі матиме наступний вигляд:
На накладено умову невід’ємності, тому обмеження двоїстої задачі матимуть вигляд нерівності, а не рівності. Оскільки в початковій задачі всі обмеження мають вигляд нерівності, то накладаємо умови
Враховуючи все наведене, двоїста задача матиме наступний вигляд:
Якщо розглянути першу симплексну таблицю з одиничним додатковим базисом, то можна помітити, що в стовбцях записана вихідна задача, а в рядках – двоїста. Причому оцінками плану вихідної задачі є , а оцінками плану двоїстої задачі – З таблиці3, отриманої в результаті рішення вихідної задачі знаходимо:
Визначити оптимальний план транспортної задачі:
а) побудувати початковий опорний план методом "північно-західного" напрямку;
б) побудувати оптимальний план методом потенціалів:
Нехай в матриці А міститься інформація про кількість продукту в кожному місці виробництва, який необхідно доставити споживачам в кількості записаній в матриці В. Транспортні витрати, пов’язані з перевезенням одиниці продукту із одного місця виробництва одному споживачеві, записані в матриці С. Задані матриці і сказане вище для спрощення сприйняття узагальнимо в таблиці4.
Таблиця4–Поставка продукту із різних місць виробництва різним споживачам і пов’язані з цим витрати
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
3 |
3 |
4 |
60 |
|
|
5 |
2 |
7 |
5 |
20 |
|
|
5 |
4 |
8 |
2 |
30 |
|
|
7 |
1 |
5 |
7 |
20 |
|
|
Потреба в продукті |
40 |
30 |
30 |
15 |
130 115 |
З таблиці4 видно, що запаси продукту у виробника на складах на 15 одиниць більші ніж необхідно споживачу, тобто маємо транспортну задачу з відкритою моделлю. Для розв’язку такої задачі введемо фіктивного споживача, якому необхідно отримати одиниць продукту. Всі тарифи на доставку продукту цьому споживачеві будемо вважати рівними нулю, і весь продукт потрібний цьому споживачеві залишаємо у місці виробництва. Для побудови початкового плану перевезень (таблиця5) використаємо метод "північно-західного" напрямку: заповнювати таблицю починаємо з лівого верхнього кута, рухаючись вниз по стовбцю або вправо по рядку (тарифи перевезень напишемо в правому верхньому куту кожної клітини, кількість продукту – в нижньому лівому). В першу клітину заносимо менше з чисел (min(40;60): 40. Тобто потреба в продукті першого споживача повністю задовільнено і інші клітини першого стовпця заповнювати не будемо. Рухаємося далі по першому рядку в другий стовпчик. В цю клітину записуємо менше з 30 і (60-40), тобто пишемо 20. Таким чином перший рядок заповнювати далі не будемо, оскільки запаси першого місця виробництва остаточно вичерпано: з нього ми повністю задовольняємо потребу у продукті першого споживача і частково (20 одиниць, а не 30) другого. Рухаємося по другому стовпчику на другий рядок. Сюди записуємо менше з (30-20) або 20: маємо 10, тобто другому споживачеві ми веземо 20одиниць продукту з першого місця виробництва і 10–з другого. Аналогічно заповнюємо інші клітини.
Таблиця5–Розподіл продукту по споживачам
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
3 |
3 |
4 |
0 |
60 |
|
|
40 |
20 |
|||||
|
5 |
2 |
7 |
5 |
0 |
20 |
|
|
10 |
10 |
|||||
|
5 |
4 |
8 |
2 |
0 |
30 |
|
|
20 |
10 |
|||||
|
7 |
1 |
5 |
7 |
0 |
20 |
|
|
5 |
15 |
|||||
|
Потреба в продукті |
40 |
30 |
15 |
130 |
Таким чином, в таблиці5 отримали початковий опорний план, транспортні витрати за яким складають:
Недоліком використаного методу знаходження опорного плану є ігнорування величини тарифів на перевезення продукту.
Для визначення оптимального плану перевезень використаємо метод потенціалів. Для цього кожному виробнику Аі (кожному рядку) ставимо у відповідність деяке число а кожному споживачу Ві (кожному стовпчику)–деяке число На основі таблиці5 складемо таблицю6, в якій додамо один стовпчик і один рядок для написання величини параметрів і . Їх знаходимо використовуючи першу умову оптимальності транспортної задачі: (для кожної зайнятої клітини сума потенціалів повинна дорівнювати вартості одиниці перевезення, що записана в цій клітині).
Таблиця6–Перевірка оптимальності опорного плану
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
60 |
0 |
|||||
|
40 |
|||||||
|
5 |
20 |
-1 |
|||||
|
5 |
8 |
30 |
0 |
||||
|
7 |
20 |
5 |
|||||
|
15 |
|||||||
|
Потреба в продукті |
× |
||||||
|
8 |
3 |
8 |
2 |
-5 |
× |
× |
Систему потенціалів можна побудувати лише для невирожденого опорного плану. Такий план містить m+n-1 лінійно незалежних рівнянь виду з m+n невідомими (де m–кількість постачальників, n–кількість споживачів). Рівнянь на одне менше, ніж невідомих, тому система є невизначеною і для її розв’язку одному невідомому (нехай ним буде u1) придамо нульове значення.
Для того, щоб план був оптимальним, повинна виконуватись умова: для кожної незайнятої клітини сума потенціалів повинна бути менша або дорівнювати вартості одиниці перевезення, що стоїть в цій клітині: тобто Робимо перевірку для всіх вільних клітин:
З розрахунків бачимо, що умова оптимальності не виконується для клітин, А1В3, А2В1, А3В1, А4В1, А4В2, і А4В3. Клітину, в якій додатне число отримали максимальним (А2В3, оскільки max(5;2;3;6;7;8)=8) зробимо зайнятою, для цього побудуємо цикл і отримуємо таблицю7.
Таблиця7–Другий крок пошуку оптимального рішення
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
3 |
60 |
|||||
|
40 |
|||||||
|
5 |
20 |
-1 |
|||||
|
5 |
30 |
0 |
|||||
|
15 |
15 |
||||||
|
7 |
20 |
-3 |
|||||
|
5 |
15 |
||||||
|
Потреба в продукті |
× |
||||||
|
8 |
× |
× |
Транспортні витрати при такому плані перевезення складають:
Перевірка всіх вільних клітин:
Отримали від’ємні значення у всіх клітинах окрім А1В3 (5), А1В5 (3), А2В1 (2), А2В5 (2), А3В1 (3) і А3В5 (3). Максимальне значення max(5;3;2;2;3;3)=5 в клітині А1В3, тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці7, результат дій в таблиці8).
Таблиця8–Третій крок пошуку оптимального рішення
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
60 |
- |
|||||
|
40 |
10 |
10 |
|||||
|
5 |
20 |
-1 |
|||||
|
20 |
|||||||
|
5 |
30 |
5 |
|||||
|
15 |
5 |
||||||
|
7 |
20 |
2 |
|||||
|
5 |
|||||||
|
Потреба в продукті |
× |
||||||
|
8 |
3 |
3 |
-3 |
-2 |
× |
× |
Транспортні витрати:
тобто при такому плані перевезення товару транспортні витрати знизилися на 50грн. в порівнянні з попереднім планом перевезення. Але, щоб визначити є отриманий план оптимальним чи ні, виконаємо перевірку.
Перевірку всіх вільних клітин зобразимо в таблиці9, в якій для всіх вільних клітин запишемо різницю між сумою потенціалів і транспортними витратами в клітині.
Таблиця9–Перевірка плану отриманого в результаті третього кроку пошуку оптимального рішення задачі
|
- |
- |
- |
-7 |
-2 |
|
|
2 |
- |
-5 |
-9 |
-3 |
|
|
8 |
- |
- |
|||
|
3 |
- |
-8 |
- |
З таблиці9 видно, що додатне значення отримали для клітин А2В1 (2), А3В1 (8), А3В2 (4), А3В5 (3), А4В1 (3) і А4В2 (4). Максимальне значення max(2;8;4;3;3;4)=8 в клітині А3В1, тому заповнюємо і цикл будуємо для неї (цикл показано в таблиці8, результат дій в таблиці10).
Таблиця1–Четвертий крок пошуку оптимального рішення задачі
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
3 |
60 |
0 |
||||
|
25 |
25 |
||||||
|
5 |
20 |
-1 |
|||||
|
5 |
30 |
-3 |
|||||
|
15 |
5 |
||||||
|
7 |
20 |
2 |
|||||
|
5 |
|||||||
|
Потреба в продукті |
× |
||||||
|
8 |
3 |
3 |
5 |
-2 |
× |
× |
Транспортні витрати:
що на 120грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.
Перевірка всіх вільних клітин наведена в таблиці11.
Таблиця11–Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин
|
- |
- |
- |
-2 |
||
|
2 |
- |
-5 |
-1 |
-3 |
|
|
- |
-4 |
-8 |
- |
-5 |
|
|
3 |
- |
- |
План, зображений в таблиці10 не є оптимальним, оскільки отримали додатні значення в клітинах А1В4 (1), А2В1 (2), А4В1 (3), А4В2 (4). Заповнюємо клітину А4В2 і будуємо опорний план (таблиця12).
Таблиця12–П’ятий крок пошуку оптимального рішення задачі
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
3 |
60 |
|||||
|
25 |
|||||||
|
5 |
20 |
-1 |
|||||
|
5 |
30 |
-3 |
|||||
|
15 |
5 |
||||||
|
7 |
20 |
-2 |
|||||
|
15 |
|||||||
|
Потреба в продукті |
× |
||||||
|
× |
× |
Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:
що на 20грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.
Перевірка всіх вільних клітин здійснена в таблиці 13.
Таблиця13–Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин
|
- |
- |
- |
|||
|
2 |
- |
-5 |
-1 |
||
|
- |
-4 |
-8 |
- |
-1 |
|
|
-1 |
- |
-4 |
-4 |
- |
Оскільки в результаті розрахунків отримали додатні значення, то знову будуємо цикл і заповнюємо необхідну клітину. В даному випадку це буде або клітина А2В1 або клітина А1В5. Вибираємо останню, оскільки транспортні витрати на перевезення в ній менші. На від’ємних кутах циклу об’єм перевезень становить 10 і 0. Оскільки min(10;0)=0, то всі клітини залишаються незмінними і лише клітина з нульовим перевезенням переходить з А4В5 на А1В5.
Новий план зображено в таблиці14.
Таблиця14–Шостий крок пошуку оптимального рішення задачі
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
|
60 |
|||||
|
25 |
5 |
||||||
|
5 |
20 |
-1 |
|||||
|
5 |
30 |
-3 |
|||||
|
15 |
5 |
||||||
|
7 |
20 |
0 |
|||||
|
10 |
0 |
||||||
|
Потреба в продукті |
× |
||||||
|
8 |
1 |
3 |
5 |
0 |
× |
× |
Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:
Розрахунки для перевірка всіх вільних клітин здійснені в таблиці 15:
Таблиця15–Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин
|
- |
-2 |
- |
- |
||
|
4 |
- |
-3 |
|||
|
- |
-6 |
-8 |
- |
-3 |
|
|
1 |
- |
-2 |
-2 |
- |
З таблиці15 видно, що максимальне додатне значення отримали для клітини А2В1, тому заповнюємо її будуючи для неї цикл, який показано в таблиці14. Результат дій в таблиці16.
Таблиця16–Сьомий крок пошуку оптимального рішення задачі
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
|
60 |
0 |
||||
|
15 |
|||||||
|
5 |
20 |
-3 |
|||||
|
10 |
|||||||
|
5 |
30 |
-3 |
|||||
|
15 |
5 |
||||||
|
7 |
20 |
-4 |
|||||
|
Потреба в продукті |
× |
||||||
|
8 |
5 |
3 |
5 |
0 |
× |
× |
Транспортні витрати:
що на 40грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів.
Перевірка всіх вільних клітин наведена в таблиці17.
Таблиця17–Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин
|
- |
- |
- |
|||
|
- |
- |
-7 |
-3 |
-3 |
|
|
- |
-2 |
-8 |
- |
-3 |
|
|
-3 |
- |
-6 |
-6 |
-4 |
План, зображений в таблиці8 не є оптимальним, оскільки отримали додатні значення в клітинах А1В2 (2) і А1В4 (1). Заповнюємо клітину А1В2 і будуємо опорний план (таблиця18).
Таблиця18–Восьмий крок пошуку оптимального рішення задачі
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
|
60 |
0 |
||||
|
5 |
|||||||
|
5 |
20 |
-3 |
|||||
|
20 |
|||||||
|
5 |
30 |
-3 |
|||||
|
15 |
5 |
||||||
|
7 |
20 |
-2 |
|||||
|
Потреба в продукті |
× |
||||||
|
8 |
3 |
3 |
5 |
0 |
× |
× |
Транспортні витрати за отриманим планом перевезень складають:
що на 20грн. економніше попереднього варіанту розвезення продукції від постачальників до споживачів. Перевірка всіх вільних клітин здійснена в таблиці 19.
Таблиця19–Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин
|
- |
- |
- |
- |
||
|
- |
-2 |
-7 |
-3 |
-3 |
|
|
- |
-4 |
-8 |
- |
-3 |
|
|
-1 |
- |
-4 |
-4 |
-2 |
Оскільки в результаті розрахунків отримали додатне значення в єдиній клітині А1В4, то будуємо цикл і заповнюємо її. Новий план зображено в таблиці20.
Таблиця20–Дев’ятий крок пошуку оптимального рішення задачі
|
Виробник |
Споживач |
Запаси продукту |
|
8 |
|
60 |
0 |
||||
|
5 |
|||||||
|
5 |
20 |
-2 |
|||||
|
20 |
|||||||
|
5 |
30 |
-2 |
|||||
|
20 |
0 |
||||||
|
7 |
20 |
-2 |
|||||
|
Потреба в продукті |
× |
||||||
|
7 |
3 |
3 |
4 |
0 |
× |
× |
Розрахунки для перевірка всіх вільних клітин здійснені в таблиці 21:
Таблиця21–Різниця між сумою потенціалів і транспортними витратами для вільних клітин
|
-1 |
- |
- |
- |
- |
|
|
- |
-1 |
-6 |
-3 |
-2 |
|
|
- |
-3 |
-7 |
- |
-2 |
|
|
-2 |
- |
-4 |
-5 |
-2 |
Рішення, зображене в таблиці20 є оптимальним, оскільки для кожної незайнятої клітини сума потенціалів менша вартості перевезень, що знаходиться у відповідній клітинці. Транспортні витрати по оптимальному плану перевезень становлять:
Знайдений оптимальний план покращив результат діяльності у порівнянні з початковим (зменшив транспортні витрати) на 685-380=305гривень.