тематический анализ Авторы- Кеда О

Работа добавлена на сайт samzan.net:

2. Векторная алгебра и анализ

2.3. Введение в математический анализ

Авторы: Кеда О.А., Л.П. Мохрачева, А.Ф. Рыбалко, Н.М.Рыбалко, Л.Ю. Трояновская.

Лекция 13. Предел функции в точке. Непрерывность.
Точки разрыва и их классификация.

Содержание:

1.  Предел функции в точке. ♦
2.  Односторонние пределы. ♦
3.  Бесконечно малые функции и их свойства. ♦
4.  Бесконечно большие функции и их свойства. ♦
5.  Предельный переход в неравенствах ♦
6.  Замечательные пределы. ♦
7.  Непрерывность функции в точке. ♦
8.  Точки разрыва и их классификация. ♦
9.  Свойства непрерывных функций. ♦

Предел функции в точке.

Определение 1. (Коши). Число  называется пределом функции  в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует положительное число , зависящее от , такое, что для любого , входящего в область определения функции и отличного от , из условия  следует .

.

Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка  расположена к точке , тем ближе значение  к числу .

Определение 2.  (Гейне). Число  называется пределом функции  в точке , если для любой сходящейся к числу  последовательности  значений аргумента, входящих в область определения и отличных от , соответствующая последовательность  значений функции  сходится к числу A.

   

Определения Гейне и Коши эквивалентны.

Односторонние пределы

Определение 3.  Число  называется правым пределом функции  в точке :

.

Определение 4.  Число  называется левым пределом функции  в точке :

.ПРИМЕР. Вычислите односторонние пределы функции .

По определению модуля

Бесконечно малые функции и их свойства

Определение 5.  Функция  называется бесконечно малой в точке , если .

Свойства бесконечно малых функций:

1°.  Если , то .

Свойство может быть расширено: сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2°.  Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

Например, , т.к. - бесконечно малая функция в точке , а  - ограниченная функция.

3°.  Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых функций

Теорема1. Пусть функции  и  являются бесконечно малыми при . Если существует конечный  то:
1) если   и  , то  и  называются бесконечно малыми одного порядка;
2) если , то  и  называются эквивалентными. Обозначение:  ~ ;
3) если , то функция  называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с .
Обозначение:   .

ПРИМЕР. Функции  и  являются бесконечно малыми одного порядка малости при   так как  

В тоже время функции  и  не являются бесконечно малыми одного порядка при  так как  

имеет более высокий порядок малости при  чем  .

Основное свойство:

Если бесконечно малые при   ~  и  ~ , то

.

Эквивалентные бесконечно малые функции при x  0

x  sin x  arcsin x  tg x  arctg x    ( – 1)  ln(1 + x),

  ,         ,        ,       ,

  .

Бесконечно большие функции и их свойства

Определение 6.  Функция  называется бесконечно большой в точке , если .

Функция, бесконечно большая при , является неограниченной в окрестности точки , но обратное утверждение неверно: не всякая неограниченная функция является бесконечно большой.

Свойства бесконечно больших функций:

1°. Произведение функции, бесконечно большой в точке , на ограниченную и отличную от нуля функцию есть функция бесконечно большая в точке а.

2°. Произведение функций, бесконечно больших в точке ,  есть функция бесконечно большая в точке а.

3°.  Сумма  функций, бесконечно больших в точке ,  может не быть бесконечно большой функцией:

ПРИМЕР. Пусть ,  - бесконечно большие при .

1) Если, , то  является бесконечно большой функцией.

2) Если , , то  не является бесконечно большой функцией.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

•  Если  - бесконечно малая функция при  и  при , то  - бесконечно большая функция при .
•  Если  - бесконечно большая при , то  - бесконечно малая.

Свойства функций, имеющих предел в точке

Теорема 2.

Если ,  , то , где .

Теорема 3.

Пусть функции  и  определены в окрестности точки .

Если  и , то

1) ,

2) ,

3) ,

4) , где .

ПРИМЕР. Вычислите предел

      Функция  определена в точке , поэтому  

ПРИМЕР. Вычислите предел

От бесконечно-больших значений аргумента перейдем к бесконечно малым. Для этого, как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень , т.е. на :
 

Предельный переход в неравенствах

Теорема 4. О сохранении знака неравенства при предельном переходе.

Если функции  и  в окрестности точки  удовлетворяют неравенству  и имеют конечные пределы, то  

Теорема 5. О пределе промежуточной функции.

Если для функций  в окрестности точки  выполняется неравенство  и , то функция  имеет тот же предел .

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Функция  при  имеет предел, равный 1: .

В первом замечательном пределе имеет место неопределенность .

ПРИМЕР. Вычислите предел:

Если x  0, то и 2x  0 и тогда

Второй замечательный предел

Функция  при  имеет предел, равный числу :

.

ПРИМЕР. Вычислите предел:

РЕШЕНИЕ.

Непрерывность функции в точке.

Определение 7. Функция  называется непрерывной в точке , если:
1) функция определена в точке ,
2) существуют односторонние пределы ,
3) .

Если в точке  нарушается любое из трех условий непрерывности функции f(x),  то  называется точкой разрыва функции f(x).

Определение 8. Функция, непрерывная в любой точке множества , называется непрерывной на множестве .

Точки разрыва и их классификация.

1. Точки устранимого разрыва

Если существуют конечные односторонние пределы, причем  а функция  не определена в точке x0, или  то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.

Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию

ПРИМЕР.

Точка  - точка устранимого разрыва, поскольку , .
Устраним разрыв:   

Функция  непрерывна всюду.

2. Точки разрыва первого рода

Если в точке  существуют конечные односторонние пределы  и  и  то точка x0 называется точкой разрыва первого рода (неустранимый конечный скачок функции).

ПРИМЕР. , - точка разрыва .

, .

- точка разрыва первого рода.

3. Точки разрыва второго рода

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка  называется точкой разрыва 2-го рода.

ПРИМЕР. ,  - точка разрыва второго рода; так как , .

Свойства непрерывных функций.

Теорема об устойчивости знака непрерывных функций

Если  - непрерывна в точке  и , то существует такая  - окрестность точки , что для всех значений x из этой окрестности  и имеет знак, совпадающий со знаком .

Теорема о непрерывности обратной функции

Пусть функция  - строго монотонная и  непрерывная на  функция, . Тогда существует функция  - строго монотонная и непрерывная на .

ПРИМЕР. ,  - строго монотонна и непрерывна, следовательно имеет строго монотонную и непрерывную обратную функцию , .

После переобозначения имеем .

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке . Тогда сложная функция  непрерывна в точке .

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1°. Если  непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке

ПРИМЕР. Для  

Требование непрерывности на отрезке является обязательным, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной.

ПРИМЕР. Функция  непрерывна на интервале

(0, 1), но на этом интервале функция  не ограничена.

2°. Если  непрерывна на , то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

3°. Если функция  непрерывна на  и имеет на концах отрезка значения и  разных знаков, то найдется точка  такая, что. 

4°. (О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Если функция - непрерывна на , имеет на концах отрезка значения  и число С расположено между числами А и В:

, то найдется точка такая, что .

PAGE 1

1. Казахская национальная одежда
2. Рентгенофлуоресцентное определение редких элементов Sr, Rb, Nb в литий-фтористых редкометальных гранитах
3.  По подозрению в совершении преступления были задержаны Ревенко и Либенсон являющийся гражданином Израиля
4. Лекция ЛИЧНЫЕ ПРОДАЖИ Процесс личной продажи состоит из следующих этапов- Прием клиента и устан
5. ШЛ Монтескье о судебной власти и праве
6. Лабораторная работа 2 по курсу- Методы поиска инженерных решений тема- Прямая и обратная мозговая
7. Выбрать и скачать программы для чтения электронных книг можно здесь
8. управление данными во внешней памяти на дисках; 2 управление данными в оперативной памяти с использование
9. то более высоком немедленно останавливайтесь и возвращайтесь к мыслям о собственной персоне
10. либо из мужчин пройти тест на координацию трезвость ловкость и т
11. ТЕМА СИЛ Выбор 3
12. Московский государственный гуманитарноэкономический институт Волгоградский филиал
13. Б. Гиппенрейтер Родителям- как быть ребенком Ю.
14. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Рекомендовано Учебнометодическим объединением Всемирного технол
15. Внешняя политика Павла I- особенности и характер
16. .Зарождение и основные этапы развития экономической теории
17. тема уголовного права РФ
18. История становления и особенности национального этикета и протокола в дипломатической службе Германии
19. Применение криволинейных интегралов в различных областях наук
20. цм Создание программы осуществляющей построение распределения импульса ~0 образовавшихся при взаимоде

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе