Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2. Векторная алгебра и анализ
2.3. Введение в математический анализ
Авторы: Кеда О.А., Л.П. Мохрачева, А.Ф. Рыбалко, Н.М.Рыбалко, Л.Ю. Трояновская.
Лекция 13. Предел функции в точке. Непрерывность.
Точки разрыва и их классификация.
Содержание:
Определение 1. (Коши). Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует положительное число , зависящее от , такое, что для любого , входящего в область определения функции и отличного от , из условия следует .
.
Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка расположена к точке , тем ближе значение к числу .
Определение 2. (Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к числу последовательности значений аргумента, входящих в область определения и отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.
Определения Гейне и Коши эквивалентны.
Определение 3. Число называется правым пределом функции в точке :
.
Определение 4. Число называется левым пределом функции в точке :
.ПРИМЕР. Вычислите односторонние пределы функции .
По определению модуля
Определение 5. Функция называется бесконечно малой в точке , если .
Свойства бесконечно малых функций:
1°. Если , то .
Свойство может быть расширено: сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
2°. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.
Например, , т.к. - бесконечно малая функция в точке , а - ограниченная функция.
3°. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
Сравнение бесконечно малых функций
Теорема1. Пусть функции и являются бесконечно малыми при . Если существует конечный то:
1) если и , то и называются бесконечно малыми одного порядка;
2) если , то и называются эквивалентными. Обозначение: ~ ;
3) если , то функция называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с .
Обозначение: .
ПРИМЕР. Функции и являются бесконечно малыми одного порядка малости при так как
В тоже время функции и не являются бесконечно малыми одного порядка при так как
имеет более высокий порядок малости при чем .
Основное свойство:
Если бесконечно малые при ~ и ~ , то
.
Эквивалентные бесконечно малые функции при x 0
x sin x arcsin x tg x arctg x ( – 1) ln(1 + x),
, , , ,
.
Определение 6. Функция называется бесконечно большой в точке , если .
Функция, бесконечно большая при , является неограниченной в окрестности точки , но обратное утверждение неверно: не всякая неограниченная функция является бесконечно большой.
Свойства бесконечно больших функций:
1°. Произведение функции, бесконечно большой в точке , на ограниченную и отличную от нуля функцию есть функция бесконечно большая в точке а.
2°. Произведение функций, бесконечно больших в точке , есть функция бесконечно большая в точке а.
3°. Сумма функций, бесконечно больших в точке , может не быть бесконечно большой функцией:
ПРИМЕР. Пусть , - бесконечно большие при .
1) Если, , то является бесконечно большой функцией.
2) Если , , то не является бесконечно большой функцией.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Свойства функций, имеющих предел в точке
Теорема 2.
Если , , то , где .
Теорема 3.
Пусть функции и определены в окрестности точки .
Если и , то
1) ,
2) ,
3) ,
4) , где .
ПРИМЕР. Вычислите предел
Функция определена в точке , поэтому
ПРИМЕР. Вычислите предел
От бесконечно-больших значений аргумента перейдем к бесконечно малым. Для этого, как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень , т.е. на :
Теорема 4. О сохранении знака неравенства при предельном переходе.
Если функции и в окрестности точки удовлетворяют неравенству и имеют конечные пределы, то
Теорема 5. О пределе промежуточной функции.
Если для функций в окрестности точки выполняется неравенство и , то функция имеет тот же предел .
Первый замечательный предел
Функция при имеет предел, равный 1: .
В первом замечательном пределе имеет место неопределенность .
ПРИМЕР. Вычислите предел:
Если x 0, то и 2x 0 и тогда
Второй замечательный предел
Функция при имеет предел, равный числу :
.
ПРИМЕР. Вычислите предел:
РЕШЕНИЕ.
Определение 7. Функция называется непрерывной в точке , если:
1) функция определена в точке ,
2) существуют односторонние пределы ,
3) .
Если в точке нарушается любое из трех условий непрерывности функции f(x), то называется точкой разрыва функции f(x).
Определение 8. Функция, непрерывная в любой точке множества , называется непрерывной на множестве .
1. Точки устранимого разрыва
Если существуют конечные односторонние пределы, причем а функция не определена в точке x0, или то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.
Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию
ПРИМЕР.
Точка - точка устранимого разрыва, поскольку , .
Устраним разрыв:
Функция непрерывна всюду.
2. Точки разрыва первого рода
Если в точке существуют конечные односторонние пределы и и то точка x0 называется точкой разрыва первого рода (неустранимый конечный скачок функции).
ПРИМЕР. , - точка разрыва .
, .
- точка разрыва первого рода.
3. Точки разрыва второго рода
Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва 2-го рода.
ПРИМЕР. , - точка разрыва второго рода; так как , .
Теорема об устойчивости знака непрерывных функций
Если - непрерывна в точке и , то существует такая - окрестность точки , что для всех значений x из этой окрестности и имеет знак, совпадающий со знаком .
Теорема о непрерывности обратной функции
Пусть функция - строго монотонная и непрерывная на функция, . Тогда существует функция - строго монотонная и непрерывная на .
ПРИМЕР. , - строго монотонна и непрерывна, следовательно имеет строго монотонную и непрерывную обратную функцию , .
После переобозначения имеем .
Теорема о непрерывности сложной функции.
Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1°. Если непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке
ПРИМЕР. Для
Требование непрерывности на отрезке является обязательным, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной.
ПРИМЕР. Функция непрерывна на интервале
(0, 1), но на этом интервале функция не ограничена.
2°. Если непрерывна на , то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.
3°. Если функция непрерывна на и имеет на концах отрезка значения и разных знаков, то найдется точка такая, что.
4°. (О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Если функция - непрерывна на , имеет на концах отрезка значения и число С расположено между числами А и В:
, то найдется точка такая, что .
PAGE 1