Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольная работа
по предмету
«Эконометрика»
Челябинск 2008 г.
1. Расчет показателей тесноты связи между двумя экономическими показателями из статистических данных
Таблица 1. Исходные статистические данные
|
№п/п |
Квартал, год |
Чистая прибыль, млн. долл. США |
ARPU, доллары США |
Средний ежемесячный трафик на одного абонента |
Общее число абонентов на конец периода, млн. чел. |
|
1 |
4 кв, 2002 |
85,2 |
21,2 |
175 |
6,64 |
|
2 |
1 кв, 2003 |
80,2 |
18,5 |
148 |
9,42 |
|
3 |
2 кв, 2003 |
128,5 |
18,7 |
162 |
11,34 |
|
4 |
3 кв, 2003 |
155,7 |
18,8 |
159 |
13,89 |
|
5 |
4 кв, 2003 |
152,7 |
16,3 |
140 |
16,72 |
|
6 |
1 кв, 2004 |
207,8 |
14,1 |
147 |
19,19 |
|
7 |
2 кв, 2004 |
267,5 |
14,1 |
160 |
22,78 |
|
8 |
3 кв, 2004 |
338,3 |
14,0 |
168 |
26,63 |
|
9 |
4 кв, 2004 |
209,1 |
11,2 |
164 |
34,22 |
|
10 |
1 кв, 2005 |
232,5 |
9,1 |
138 |
38,69 |
|
11 |
2 кв, 2005 |
303,9 |
9,3 |
134 |
44,07 |
|
12 |
3 кв, 2005 |
347,4 |
8,9 |
130 |
50,36 |
|
13 |
4 кв, 2005 |
242,6 |
7,3 |
123 |
58,19 |
|
14 |
1 кв, 2006 |
184,4 |
6,2 |
118 |
61,05 |
|
15 |
2 кв, 2006 |
294,7 |
7,1 |
128 |
64,10 |
|
16 |
3 кв, 2006 |
486,3 |
7,8 |
135 |
67,59 |
|
17 |
4 кв, 2006 |
280,3 |
8,3 |
133 |
72,86 |
|
18 |
1 кв, 2007 |
448,6 |
8,2 |
134 |
74,16 |
|
19 |
2 кв, 2007 |
507,9 |
9,2 |
151 |
74,67 |
|
20 |
3 кв, 2007 |
654,7 |
10,0 |
167 |
77,97 |
|
сумма |
5608,3238,32914844,54 |
||||
|
среднее |
280,4211,92145,742,23 |
Рисунок 1
Данная работа будет посвящена анализу связи между количеством абонентов в сети, средней ежемесячной выручкой от продажи услуг в расчете на одного абонента (ARPU) и чистой прибылью оператора связи на конец отчетного периода.
Исходя из сделанного предположения строим эконометрическую модель, которая относится к классу факторных статических моделей:
y=f(x1, x2)
где x1 - количество абонентов в сети (объясняющая переменная)
x2 - средняя ежемесячная выручка от продажи услуг в расчете на одного абонента (ARPU) (объясняющая переменная)
y - чистая прибыль (зависимая переменная)
Чтобы убедиться в том, что выбор объясняющих переменных оправдан, оценим связь между признаками количественно, для этого заполним матрицу корреляций:
Таблица 2. Матрица корреляций между исходными статистическими признаками
|
x1 |
x2 |
y |
|
|
x1 |
1 |
-0,97 |
0,72 |
|
x2 |
-0,97 |
1 |
-0,71 |
|
y |
0,72 |
-0,71 |
1 |
Анализируя матрицу корреляций, можем сделать вывод о наличии сильной положительной связи между количеством абонентов и чистой прибылью оператора. В то же время также существует сильная отрицательная связь ARPU и чистой прибылью.
Для дальнейшего исследования модифицируем модель к виду парной регрессии: y=f(x1).
Для выбора функциональной формы модели проанализируем корреляционное поле:
Рисунок 2. Корреляционное поле (x1 - кол-во абонентов в сети, млн. чел.; y - чистая прибыль оператора
Визуальный анализ показывает, что для построения модели вполне подойдет степенная функция:
Для дальнейшего исследования приведем наше уравнение к линейному виду. То есть:
,
где .
Таким образом, все дальнейшие исследования будем проводить с этим уравнением.
Проведем оценку параметров модели при помощи различных способов.
Предположим, что изменение чистой прибыли обусловлено только изменением количества абонентов (т.е. α0 = 0). Тогда оценка a1 и a2 неизвестного параметра α1 и α2 определится по формулам:
Тогда модель принимает вид: y=4,7985Чx1,35881+e.
Проанализируем корреляционное поле и выберем точки, которые ближе всех лежат в предполагаемой прямой линии, описывающей модель. Это будут точки 4 кв. 2004 г. (209,1; 34,22) и 2 кв. 2007 г. (507,9; 74,67).
Рассчитаем параметры модели:
уравнение регрессии выглядит следующим образом:
Для применения этого метода составим вспомогательную таблицу:
Таблица 3
|
№ п/п |
Квартал, год |
Чистая прибыль, млн. долл. США y |
Общее число абонентов на конец периода, млн. чел. x |
x2 |
xy |
|
1 |
4 кв, 2002 |
4,445001 |
1,893112 |
3,5838738,414885 |
|
|
2 |
1 кв, 2003 |
4,384524 |
2,242835 |
5,0303099,833764 |
|
|
3 |
2 кв, 2003 |
4,855929 |
2,428336 |
5,89681611,791827 |
|
|
4 |
3 кв, 2003 |
5,047931 |
2,631169 |
6,9230513,28196 |
|
|
5 |
4 кв, 2003 |
5,028475 |
2,816606 |
7,93326914,163233 |
|
|
6 |
1 кв, 2004 |
5,336576 |
2,954389 |
8,72841415,766321 |
|
|
7 |
2 кв, 2004 |
5,58912 |
3,125883 |
9,77114517,470935 |
|
|
8 |
3 кв, 2004 |
5,823933 |
3,282038 |
10,77177319,114369 |
|
|
9 |
4 кв, 2004 |
5,342813 |
3,53281 |
12,4807518,875143 |
|
|
10 |
1 кв, 2005 |
5,44889 |
3,655581 |
13,36327219,918859 |
|
|
11 |
2 кв, 2005 |
5,716699 |
3,785779 |
14,33212321,642159 |
|
|
12 |
3 кв, 2005 |
5,850477 |
3,919197 |
15,36010522,929172 |
|
|
13 |
4 кв, 2005 |
5,491414 |
4,063714 |
16,51377122,315536 |
|
|
14 |
1 кв, 2006 |
5,217107 |
4,111693 |
16,90601921,451142 |
|
|
15 |
2 кв, 2006 |
5,685958 |
4,160444 |
17,30929423,65611 |
|
|
16 |
3 кв, 2006 |
6,186826 |
4,21346 |
17,7532526,067944 |
|
|
17 |
4 кв, 2006 |
5,63586 |
4,28854 |
18,3915824,16961 |
|
|
18 |
1 кв, 2007 |
6,106132 |
4,306225 |
18,54357426,294378 |
|
|
19 |
2 кв, 2007 |
6,230285 |
4,313078 |
18,60264226,871705 |
|
|
20 |
3 кв, 2007 |
6,484177 |
4,356324 |
18,97755928,247176 |
|
|
сумма |
109,90812770,081213257,172588392,276228 |
||||
|
среднее |
5,4954063,50406112,85862919,613811 |
Составим систему для расчета значений параметров на основе следующей системы уравнений:
Решив эту систему, получаем значения
a1 = 31,766
a2 = 0,5833
Линия регрессии описывается уравнением:
.
Таблица 4. Уравнения регрессий, полученные при помощи разных методов
|
№п/п |
Метод расчета |
Уравнение регрессии |
|
1. |
Метод средних |
|
|
2. |
Метод выбранных точек |
|
|
3. |
Метод наименьших квадратов |
Покажем на графике различие между полученными линиями регрессии:
Рисунок 3. Линии регрессии, полученные при помощи различных методов
2. Определение и графическое изображение регрессионной зависимости между рассматриваемыми показателями по методу выбранных точек и МНК линейная модель и любая на выбор (квадратичная, логарифмическая). Оценка адекватности построенной модели
Выполним оценку качества поэтапно.
Оценим адекватность модели в целом, для каждой из выбранных моделей. Так как выбранная нами модель является нелинейной, то приведем исследуемые модели к линейному виду.
Таблица 5. Уравнения регрессий, приведенных к линейному виду
|
№п/п |
Метод расчета |
Уравнение регрессии |
|
1. |
Метод средних |
|
|
2. |
Метод выбранных точек |
|
|
3. |
Метод наименьших квадратов |
Таблица 6. Предварительные расчеты для вычисления дисперсий случайных отклонений
|
№ п/п |
x1 |
y |
e2 |
|
МС |
МВТ |
МНК |
МС |
МВТ |
МНК |
|||
|
1 |
1,89 |
4,45 |
4,1404 |
3,4780 |
4,5627 |
0,0928 |
0,9352 |
0,0138 |
|
2 |
2,24 |
4,38 |
4,6156 |
3,8756 |
4,7666 |
0,0534 |
0,2590 |
0,1460 |
|
3 |
2,43 |
4,86 |
4,8676 |
4,0866 |
4,8748 |
0,0001 |
0,5919 |
0,0004 |
|
4 |
2,63 |
5,05 |
5,1432 |
4,3172 |
4,9932 |
0,0091 |
0,5340 |
0,0030 |
|
5 |
2,82 |
5,03 |
5,3952 |
4,5281 |
5,1013 |
0,1345 |
0,2504 |
0,0053 |
|
6 |
2,95 |
5,34 |
5,5824 |
4,6847 |
5,1817 |
0,0604 |
0,4249 |
0,0240 |
|
7 |
3,13 |
5,59 |
5,8154 |
4,8797 |
5,2817 |
0,0512 |
0,5032 |
0,0945 |
|
8 |
3,28 |
5,82 |
6,0276 |
5,0573 |
5,3728 |
0,0415 |
0,5877 |
0,2035 |
|
9 |
3,53 |
5,34 |
6,3684 |
5,3425 |
5,5191 |
1,0518 |
0,0000 |
0,0311 |
|
10 |
3,66 |
5,45 |
6,5352 |
5,4821 |
5,5907 |
1,1801 |
0,0011 |
0,0201 |
|
11 |
3,79 |
5,72 |
6,7121 |
5,6301 |
5,6666 |
0,9909 |
0,0075 |
0,0025 |
|
12 |
3,92 |
5,85 |
6,8934 |
5,7818 |
5,7445 |
1,0877 |
0,0047 |
0,0112 |
|
13 |
4,06 |
5,49 |
7,0898 |
5,9461 |
5,8288 |
2,5548 |
0,2068 |
0,1138 |
|
14 |
4,11 |
5,22 |
7,1550 |
6,0007 |
5,8568 |
3,7553 |
0,6140 |
0,4091 |
|
15 |
4,16 |
5,69 |
7,2212 |
6,0561 |
5,8852 |
2,3570 |
0,1370 |
0,0397 |
|
16 |
4,21 |
6,19 |
7,2932 |
6,1164 |
5,9161 |
1,2242 |
0,0050 |
0,0733 |
|
17 |
4,29 |
5,64 |
7,3953 |
6,2018 |
5,9599 |
3,0955 |
0,3203 |
0,1050 |
|
18 |
4,31 |
6,11 |
7,4193 |
6,2219 |
5,9702 |
1,7244 |
0,0134 |
0,0185 |
|
19 |
4,31 |
6,23 |
7,4286 |
6,2297 |
5,9742 |
1,4360 |
0,0000 |
0,0656 |
|
20 |
4,36 |
6,48 |
7,4874 |
6,2789 |
5,9994 |
1,0064 |
0,0421 |
0,2350 |
|
сум. |
70,08109,93126,5863106,1953110,046321,90715,43821,6154 |
|||||||
|
ср. |
3,55,56,32935,30985,50231,09540,27190,0808 |
Примечание:
МС - метод средних
МВТ - метод выбранных точек
МНК - метод наименьших квадратов
На основе таблицы для каждой модели рассчитаем значение дисперсий случайного остатка
,
и значения коэффициента детерминации
.
Результат запишем в таблицу:
Таблица 7. Оценка адекватности моделей парной регрессии
|
№п/п |
Метод расчета |
Дисперсия случайного остатка (s2e) |
Коэффициент детерминации (R2) |
|
1. |
Метод средних |
1,2171-2,6455 |
|
|
2. |
Метод выбранных точек |
0,30210,095 |
|
|
3. |
Метод наименьших квадратов |
0,08970,7312 |
Как видно из таблицы, наилучшее качество имеет модель, построенная по методу наименьших квадратов.
Следующие этапы оценки качества проведем только для этой модели.
Для нее расчетное значение F-критерия равно:
,
а соответствующее критическое значение - F0,05;1;18 = 4,41. Поскольку расчетное значение больше критического, то модель признается статистически значимой.
Вычислим дисперсии оценок коэффициентов регрессии. Для этого воспользуемся формулами:
Стандартные ошибки коэффициентов регрессии будут равны:
Оценим статистическую значимость коэффициентов регрессии. Для этого рассчитаем t-статистику для каждого коэффициента:
Сравним с критическими значениями, взятыми из таблицы (http://chemstat.com.ru/node/17):
Таблица 8. Критические значения t-статистики
|
№п/п |
α (уровень значимости) |
|
|
1. |
0,1 |
1.7341 |
|
2. |
0,05 |
2.1009 |
|
3. |
0,01 |
2.8784 |
Можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии статистически значимы при 1%-м уровне значимости.
Оценим доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при разных уровнях значимости. Для этого воспользуемся формулами
для α1 -
для α2 -
Доверительный интервал определяет границы, в которых будет находиться значение теоретического коэффициента регрессии с уровнем значимости α.
Уровень значимости α определяется исходя из требуемой точности. Обычно - 0.1, 0.05 или 0.01.
Результат расчета занесем в таблицу:
Таблица 9. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при различных уровнях значимости
|
№п/п |
Уровень значимости |
Коэффициент |
Доверительный интервал |
|
|
1. |
0,1 |
a1 |
2,9128 |
4,0039 |
|
2. |
a2 |
0,4312 |
0,7353 |
|
|
3. |
0,05 |
a1 |
2,7974 |
4,1193 |
|
4. |
a2 |
0,399 |
0,7675 |
|
|
5. |
0,01 |
a1 |
2,5529 |
4,3639 |
|
6. |
a2 |
0,3308 |
0,8357 |
Рассчитаем доверительные интервалы для зависимой переменной. Для этого воспользуемся формулами
для расчета доверительного интервала для среднего значения и
для расчета доверительного интервала для индивидуальных значений. Результаты расчета для 5%-го уровня значимости представлены в таблице и на графиках:
Таблица 10. Доверительные интервалы для зависимой переменной (уровень значимости - 5%)
|
№п/п |
x |
y |
доверительный интервал |
||||
|
для среднего значения |
для индивидуального значения |
||||||
|
нижний предел |
верхний предел |
нижний предел |
верхний предел |
||||
|
1 |
1,89 |
4,45 |
4,5627 |
0,8327 |
4,8343 |
0,3944 |
5,2725 |
|
2 |
2,24 |
4,38 |
4,7666 |
1,0837 |
4,9912 |
0,6229 |
5,4520 |
|
3 |
2,43 |
4,86 |
4,8748 |
1,2155 |
5,0757 |
0,7420 |
5,5493 |
|
4 |
2,63 |
5,05 |
4,9932 |
1,3582 |
5,1697 |
0,8704 |
5,6576 |
|
5 |
2,82 |
5,03 |
5,1013 |
1,4865 |
5,2577 |
0,9860 |
5,7583 |
|
6 |
2,95 |
5,34 |
5,1817 |
1,5801 |
5,3249 |
1,0708 |
5,8342 |
|
7 |
3,13 |
5,59 |
5,2817 |
1,6937 |
5,4113 |
1,1750 |
5,9300 |
|
8 |
3,28 |
5,82 |
5,3728 |
1,7935 |
5,4937 |
1,2686 |
6,0187 |
|
9 |
3,53 |
5,34 |
5,5191 |
1,9445 |
5,6353 |
1,4161 |
6,1637 |
|
10 |
3,66 |
5,45 |
5,5907 |
2,0139 |
5,7091 |
1,4872 |
6,2359 |
|
11 |
3,79 |
5,72 |
5,6666 |
2,0845 |
5,7904 |
1,5616 |
6,3133 |
|
12 |
3,92 |
5,85 |
5,7445 |
2,1539 |
5,8767 |
1,6370 |
6,3936 |
|
13 |
4,06 |
5,49 |
5,8288 |
2,2263 |
5,9728 |
1,7176 |
6,4815 |
|
14 |
4,11 |
5,22 |
5,8568 |
2,2498 |
6,0053 |
1,7441 |
6,5110 |
|
15 |
4,16 |
5,69 |
5,8852 |
2,2735 |
6,0384 |
1,7709 |
6,5410 |
|
16 |
4,21 |
6,19 |
5,9161 |
2,2991 |
6,0748 |
1,8000 |
6,5738 |
|
17 |
4,29 |
5,64 |
5,9599 |
2,3349 |
6,1266 |
1,8409 |
6,6205 |
|
18 |
4,31 |
6,11 |
5,9702 |
2,3432 |
6,1388 |
1,8505 |
6,6316 |
|
19 |
4,31 |
6,23 |
5,9742 |
2,3465 |
6,1436 |
1,8542 |
6,6358 |
|
20 |
4,36 |
6,48 |
5,9994 |
2,3668 |
6,1737 |
1,8776 |
6,6629 |
|
сред. |
3,55,54,85 |
||||||
|
сумм. |
70,08109,9397,03 |
Рисунок 4. Доверительные интервалы для среднего и индивидуального значений зависимой переменной. Уровень значимости - 5%
Коэффициент детерминации R2 достаточно высок (0,73), расчетное значение F-статистики для R2 (48,93) более чем в 10 раза больше критического (4,41), следовательно может использоваться на практике. В то же время существование необъясненной дисперсии предполагает возможность улучшить качество модели путем введения еще одной переменной.
1. В.П. Носко, Эконометрика для начинающих: Основные понятия, элементарные методы, границы применимости, интерпретация результатов, Москва 2000. - 240 стр.
. Бархатов В.И. Плетнев Д.А. Эконометрика // Учебно-методическое пособие