Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Простейшие сведения о многочленах
Справочный материал
1. Кольцо многочленов от одной переменной
- многочлен степени n () от переменной над полем Р, где
- нормированный многочлен, если .
Пусть , , (), тогда
1) ,
2) , где
3), где каждый член f(x) умножают на каждый член g(x), произведения складывают и приводят подобные.
Множество всех многочленов с коэффициентами из поля Р обозначают P[x]. Множество P[x] образует кольцо относительно операций сложения и умножения. Запись: (Р[x], +, ) - кольцо многочленов от переменной х над числовым полем Р.
(R[x], +, ) - кольцо многочленов от переменной х над полем действительных чисел R
(C[x], +, ) - кольцо многочленов от переменной х над полем комплексных чисел C.
2. Деление многочленов. НОД многочленов
1) Теорема о делении многочленов с остатком
Для многочленов пара многочленов , что
, где степень r(x) меньше степени g(x)
2) НОД многочленов из P[x] есть многочлен d(x)P[x], удовлетворяющий условиям:
1. ,
2. делится на любой общий делитель этих многочленов.
НОД многочленов определяется с точностью до числового множителя.
Алгоритм Евклида (алгоритм нахождения НОД (f, g))
Делим f на g с остатком. Затем делим g на остаток от первого деления r1. Затем остаток от первого деления r1 делим на остаток от второго деления r2 и т.д., пока не получим нулевой остаток. Последний ненулевой остаток и есть НОД (f, g).
3) Теорема о делении многочлена на двучлен (х-х0), где
Схема Горнера (практический способ нахождения коэффициентов и остатка от деления f(х) на (х-х0)
|
an |
an-1 |
an-2 |
an-3 |
… |
a1 |
a0 |
|
|
x0 |
bn-1 |
bn-2 |
bn-3 |
bn-4 |
… |
b0 |
c |
4) Теорема Безу: Остаток от деления f(x) на (x-x0) равен значению многочлена f(x) при x=x0, т.е., c=f(x0).
3. Корни многочлена
1) Число x0P называют корнем многочлена f(x)P[x], если .
Характеристическое свойство корня: x0 – корень f(x) f(x)⋮(x-x0).
2) Число kZ+ называют кратностью корня x0, если f(x)⋮(x-x0)k и f(x) (x-x0)k+1
x0 - кратный (простой) корень, если k >1(k =1). Кратность корня многочлена можно определить с помощью схемы Горнера.
3) Основная теорема алгебры. Любой многочлен с комплексными коэффициентами , (n ≥1) имеет хотя бы один комплексный корень.
Следствие 1. Любой многочлен f(x)С[x] степени n (n>1) можно разложить на линейные множители, т.е. представить в виде
, где х1, х2, …, хn - комплексные корни многочлена (среди которых могут быть равные), их число равно степени f(x).
Следствие 2. Сумма кратностей всех корней многочлена f(x)P[x] не превосходит его степени, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда многочлен можно разложить на линейные множители
, где х1,…, хрP - корни многочлена, каждый повторен столько раз, какова его кратность, т.е. k1 +…+ kр = n.
4) Теорема Виета
Если нормированный многочлен имеет n корней (с учетом их кратностей), то его коэффициенты можно выразить через корни по формулам:
an-1= –(x1 + x2 +…+ xn)
an-2= x1 x2 + x1 x3 +…+ xn-1 xn
…
an-k= (–1)k x1 x2… xk + x1 x3 … x k+1 +…+ xn-k+1 … xn
…
a0 = (–1)n x1 x2 … xn
4. Разложение многочлена на неприводимые множители
Замечание 1. Многочлены первой степени неприводимы над любым числовым полем Р.
Замечание 2. Неприводимыми над полем С являются лишь многочлены первой степени.
3) Теорема (о сопряженных корнях многочлена с действительными коэффициентами). Если многочлен с действительными коэффициентамиимеет комплексный корень (с+di ), то он имеет и корень (c–di ).
Замечание. Неприводимыми над полем R являются многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом.
Замечание 1. Многочлены четной степени, приводимые над R, могут не иметь действительных корней.
Замечание 2. Любой многочлен f(x)R[x] нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
5) Алгоритм разложения многочлена f(x)R[x] на неприводимые множители
Задачи
1) f(x)= x5 - 6x3 + 2x2 -4, g(x)=(x2-x+1) 2) f(x)=x4 - 6x2 + 1, g(x)= (x+5)
2. Найти НОД многочленов
1) , 2) ,
3) , 4) , .
1) , 2) ,
4. Используя схему Горнера, определить кратность корня многочлена f(x)R[x]
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5. Используя теорему Виета, вычислить коэффициенты нормированного многочлена
6. Записать нормированный многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни
1) - простой корень 2) - корень кратности 3, - простой корень
7. Разложить многочлен на неприводимые множители над полем R
1) x3 + 2x2 + x
4) x4 + x2 - 2
2) x3 - 6x + 9
5) x4 - 10x2 + 9
3) x6 - 1
6) x4 + 4
8. Используя НОД (f, ), найти корни многочлена (х), если , .
Д/з
9. Найти НОД (f, g)
1) ,
2) , .
10. Используя схему Горнера, разделить на . Найти остаток от деления.
11. Определить кратность корня многочлена .
12. Записать нормированный многочлен f(x)R[x] наименьшей степени, имеющий корни: -простой корень; -корень кратности 2.
13. Зная, что - корень, найти другие возможные корни и разложить многочлен на неприводимые множители над полем R.
14. Разложить на неприводимые множители над полем R
1) x2 - 4 2) x4 + 1 3) x8 - 1 4) x4 - 10x2 + 1.