Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Простейший поток событий
Потоком событий называют последовательность событий, которые
наступают в случайные моменты времени.
Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель во время обстрела, и т. п.
События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек на числовой оси соответствующих моментам появления событий.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который
обладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью. Название «пуассоновский» связано с тем, число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона
Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от
числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит
от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления k
событий за промежуток времени длительностью t есть функция, за
висящая только от k и t.
1. Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок в единицу времени). На практике часто встречаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем). Заметим, что так обстоит дело и со всеми физическими процессами, которые мы называем «стационарными»: в действительности все они стационарны лишь на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности - лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения анализа. Во многих задачах теории массового обслуживания представляет интерес проанализировать работу системы при постоянных условиях; тогда задача решается для стационарного потока заявок.
Свойство «отсутствия последействия» состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем.
2. Условие отсутствия последействия - наиболее существенное для простейшего потока - означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящие на станцию метро, можно считать потоком без последействия потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия последействия может быть легко нарушено за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой или если поезд прибывает на конечную станцию пассажиры обязаны его покинуть т.е. в данной ситуации мы наблюдаем поток без последействия.
Вообще нужно заметить, что выходной поток (или поток обслуженных заявок), покидающий систему массового обслуживания, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания, для которой время обслуживания одной заявки вполне определено и равно . Тогда в потоке обслуженных заявок минимальный интервал времени между заявками, покидающими систему, будет равен . Нетрудно убедиться, что наличие такого минимального интервала неизбежно приводит к последействию. Действительно, пусть стало известно, что в какой-то момент систему покинула обслуженная заявка. Тогда можно утверждать с достоверностью, что на любом участке времени , лежащем в пределах , обслуженной заявки не появится; значит, будет иметь место зависимость между числами событий на неперекрывающихся участках.
Последействие, присущее выходному потоку, необходимо учитывать, если этот поток является входным для какой-либо другой системы массового обслуживания (так называемое «многофазовое обслуживание», когда одна и та же заявка последовательно переходит из системы в систему).
Отметим что самый простой на первый взгляд регулярный поток, в котором события отделены друг от друга равными интервалами, отнюдь не является «простейшим» в нашем смысле слова, так как в нем имеется ярко выраженное последействие: моменты появления следующих друг за другом событий связаны жесткой, функциональной зависимостью. Именно из-за наличия последействия анализ процессов, протекающих в системе массового обслуживания при регулярном потоке заявок, гораздо сложнее, чем при простейшем.
Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или
более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.
3. Условие ординарности означает, что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток атак, которому подвергается воздушная цель в зоне действия истребительной авиации, будет ординарным, если истребители атакуют цель поодиночке, и не будет ординарным, если истребители идут в атаку парами. Поток клиентов, входящих в парикмахерскую, может считаться практически ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака.
Если в неординарном потоке заявки поступают только парами, только тройками и т. д., то неординарный поток легко свести к ординарному; для этого достаточно вместо потока отдельных заявок рассмотреть поток пар, троек и т. д. Сложнее будет, если каждая заявка случайным образом может оказаться двойной, тройной и т. д. Тогда уже приходится иметь дело с потоком не однородных, а разнородных событий.
Интенсивностью потока λ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Если постоянная интенсивность потока λ известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона
В дальнейшем мы для простоты ограничимся рассмотрением ординарных потоков.
Простейший поток играет среди потоков событий вообще особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. Мы знаем, что при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается величина, приближенно распределенная по нормальному закону. Аналогично можно доказать, что при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия, которые должны для этого соблюдаться, аналогичны условиям центральной предельной теоремы, а именно - складываемые потоки должны оказывать на сумму приблизительно равномерно малое влияние.
Простейший поток играет в теории массового обслуживания особенно важную роль. Во-первых, простейшие и близкие к простейшим потоки заявок часто встречаются на практике (причины этого изложены выше). Во-вторых, даже при потоке заявок, отличающемся от простейшего, часто можно получить удовлетворительные по точности результаты, заменив поток любой структуры простейшим с той же плотностью. Поэтому займемся подробнее простейшим потоком и его свойствами.
Рассмотрим на оси Ot простейший поток событий П как неограниченную последовательность случайных точек.
Выделим произвольный участок времени длиной τ . В главе 5 (5.9) мы доказали, что при условиях 1, 2 и 3 (стационарность, отсутствие последействия и ординарность) число точек, попадающих на участок , распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием
a=λτ
где - λ плотность потока (среднее число событий, приходящееся на единицу времени).
Вероятность того, что за время τ произойдет ровно m событий, равна
В частности, вероятность того, что участок окажется пустым (не произойдет ни одного события), будет
Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями. Рассмотрим случайную величину T - промежуток времени между произвольными двумя соседними событиями в простейшем потоке и найдем ее функцию распределения
F(t)=P(T<t)
Закон распределения с плотностью f(t)=λe-λt (t>0) называется показательным законом, а величина τ - его параметром. График плотности f(t) представлен на рис.
Задача.
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 минуту равно 2. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит:
а) поступит 2 вызова;
б) меньше 2 вызовов;
в) не менее 2 вызовов;
поток событий считать простейшим.
Решение.
λ=2; t=5;
А) k=2; p5(2)=2!(2·5)2e−10=50e−10;
Б) p5(<2)=p5(0)+p5(1)=0!(2·5)0e−10+1!(2·5)1e−10=11e−10;
В) p5(≥2)=1−p5(<2)=1−11e−10
Замечание. На практике очень трудно установить, что поток простейший, поэтому считают, что если поток представляет собой сумму очень большого числа стационарных потоков, влияние каждого из которых на всю сумму ничтожно мало, то такой поток (суммарный поток) называют простейшим