Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Признак параллельности прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой
1.Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
2.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости. плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
2.Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника.
Натуральная величина (н.в.) отрезка АВ прямой общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника АВК. В этом треугольнике катет АК параллелен плоскости проекций π1 и равен горизонтальной проекции отрезка A'B'. Катет BK равен разности расстояний точек A и B от плоскости π1.
В общем случае для определения натуральной величины отрезка прямой необходимо построить гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого является горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим катетом — отрезок, равный по величине алгебраической разности координат Z ( Y ) крайних точек отрезка.
Из прямоугольного треугольника находят угол α — угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций.
Для определения угла наклона прямой к фронтальной плоскости проекций необходимо выполнить аналогичные построения на фронтальной проекции отрезка.
3.Главные линии плоскости (горизонталь, фронталь).
Горизонталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости. Горизонталь как прямая, параллельная горизонтальной плоскости, имеет фронтальную проекцию ѓ, параллельную оси х.
Фронталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости.
Фронталь является прямой, параллельной фронтальной плоскости, и ее горизонтальная проекцияф параллельна оси х.
4.Взаимное положение прямых в пространстве. Определение видимости по конкурирующим точкам. Две прямые в пространстве могут иметь различное расположение: А)пересекаться (лежать в одной плоскости). Частный случай пересечения – под прямым углом;Б)могут быть параллельными (лежать в одной плоскости);В)совпадать – частный случай параллельности;Г)скрещиваться (лежать в разных плоскостях и не пересекаться).
Точки, у которых проекции на П1 совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П1, а точки, у которых проекции на П2 совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П2.
Точки К и L конкурирующие по отношению к плоскости П1, так как на плоскости П1 точки К и L проецируются в одну точку: К1 = L1.
Точка К выше точки L, т.к. К2 выше точки L2, потому К1 на П1 видима.
5.Построение перпендикуляра к заданной прямой
Из данной точки С проводят дугу окружности произвольного радиуса так чтобы она пересекала прямую, заданную отрезком АВ, в точках D и F. Из этих точек описывают две дуги окружности радиусом R, несколько большим половины отрезка DF, до пересечения в точке Е. Точки С и Е соединяют прямой которая и будет искомым перпендикуляром.
6.Следы прямой.
Следом прямой называется, точка пересечения прямой с плоскостью проекций. Точка пересечения прямой с плоскостьюП1называется горизонтальным следом прямой и обозначается буквой М; точка пересечения прямой с плоскостью П2 - фронтальным следом и обозначается буквой N
Следы прямой являются точками, одновременно принадлежащими как плоскости проекций, так и прямой.
Фронтальная проекция фронтального следа и горизонтальная проекция горизонтального следа будут лежать в плоскостях проекций и совпадать с самим следом. Фронтальная проекция горизонтального следа и горизонтальная проекция фронтального следа будут лежать на оси проекций. Прямая, расположенная параллельно плоскости проекций, как находящаяся на всем своем протяжении на одинаковом расстоянии от плоскости, следа на ней не имеет.
7.Классификация плоскостей.
а) плоскости уровня – это плоскости, параллельные плоскостям проекции,б) Проецирующие плоскости- называется плоскости перпендикулярные к одной из плоскостей проекции. в) Общего положения – плоскости не перпендикулярные ни к одной из плоскостей проекции
8.Условия применимости способа секущих плоскостей.
Этот способ выбирается в том случае,если осевые линии двух поверхностей параллельны между собой.Секущая плоскость выбирается так,чтобы она пересекала заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям-прямым или окружностям.Чаще всего секущая плоскость является плоскостью уровня.
9. Поверхность конуса.Точка на поверхности конуса. Все прямолинейные образующие конической поверхности пересекаются в собственной точкеПрямой круговой конус образуется при вращении прямой вокруг пересекающейся с ней осью.Если ось конуса расположит перпендикулярно к какой либо плоскости проекций,то на эту плоскость он проецируется в окружность диаметра,равного диаметру основания.На две другие плоскости проекций он проецируется в равнобедренные треугольники,высота которых равна высоте конуса,а сонование диаметру основания конуса.Проекции точек,лежащих на поверхности конуса находят при помощи оьразующих и параллелей.
Конической поверхностью называется поверхность, образуемая движением прямой (АВ), перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку S и пересекает данную линию MN. Конусом называют тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие. Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, - основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса
10. Пересечение поверхностей методом секущих концентрических сфер.
Если оси двух поверхностей вращения взаимно пересекаются а параллельны какой-либо плоскости проекций,то для построения линии их пересечения применяют вспомогательные сферы.Построение основано на том,что сфера,центр которой расположен в точке пересечения осевых линий поверхностей вращения,пересекаются с ними по окружности.Алгоритм:1)проводим секущую сферу;2)строим линии пересечения сферы с каждой из поверхности ;3)на пересечении построенных линий находим искомую точку .
11. Способы задания плоскости на эпюре.
На эпюре плоскость может быть задана проекциями трех точек не лежащих на одной прямой;проекциями прямой и точки вне этой прямой;проекциями двух параллельных прямых;проекциями двух пересекающимися прямых;проекциями любой плоской фигуры а также следами.
12.Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения. Прямая пересекает плоскость,если имеет с ней только одну общую точку.Точку пересечения прямой с плоскостью общего положения определяют при помощи вспомогательной плоскости,проводимой через прямую. Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:
1) проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи) через данную прямую;
2) нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;
3) определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.
13. Перпендикулярность прямой и плоскости. Известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы фронтальная проекция прямой была перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а горизонтальная проекция – горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости.
14. Семь эпюров плоскостей.
Эпюр- чертёж, на котором пространственная фигура изображена методом нескольких плоскостей. Обычно оно даёт 3 вида: фронтальную, горизонтальную и профильную проекции. Чертёж проецируется на взаимно перпендикулярные, а затем развернутые на одну плоскости.
Плоскость на эпюре может быть задана: 1) тремя точками не лежащими на одной прямой 2) прямой и точкой не лежащей на этой прямой 3) двумя параллельными прямыми 4) двумя пересекающимися прямыми 5) следами 6) линиями ската 7) плоской фигурой - треугольником АБС
15. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения.Алгоритм построения точек пересечения прямой. Прямая пересекает плоскость,если имеет с ней только одну общую точку.Алгоритм:
1)заданную прямую заключают во вспомогательную плоскость;
2)находят линию пересечения двух плоскостей (заданной и полученной плоскости);
3)на пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки.
При заключении прямой во вспомогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы её линия пересечения с поверхностью проектировалась на плоскость проекций в виде простейших линий – прямой или окружности.
16. Метод конкурирующих точек. Метод конкурирующих точек используется в начертательной геометрии для определения взаимной видимости двух геометрических фигур. Точки,принадлежащие скрещивающимся прямым и проецирующиеся на одну из плоскосте проекций в однй общую,а на другую-в две разные точки,называются конкурирующими.Они используются для видимости прямых.Способ определения видимости с помощью таких точек называется способом конкурирующих точек.Из двух конкурирующих точек видимой будет та,которая имеет большую координату и поэтому отстоит дальше от плоскости проекций.
17 Поверхности.Определение.Классификация поверхностей.
По виду образующей различают линейчатые (образующая прямая), циклические (образующая окружность) и другие поверхности; по закону перемещения образующей — поверхности вращения, параллельного переноса, винтовые и т.д. При этом некоторые поверхности могут быть отнесены одновременно к различным классам, например, цилиндрическая поверхность вращения является одновременно линейчатой и поверхностью вращения.
Линейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью прямой линии.
Нелинейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью кривой линии.
Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.Поверхности с постоянной образующей — поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности.Поверхности с переменной образующей — поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности.
18.Теорема о проецировании прямого угла.
Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
Следствие: если прямоугольная проекция угла, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, - прямой угол, то проецируемый угол также прямой.
Свойства проекций прямого угла имеют важное значение при решении метрических задач на чертеже, таких, как построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей определения расстояния между геометрическими фигурами и т.д.
19. Поверхности вращения.
К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении лю-
Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор .определяет горизонтальный очерк поверхности, если i _|_ П1. В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.
Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.
20.Точка на поверхности.
Точка может принадлежать поверхности и не принадлежать. Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии, расположенной на этой поверхности. точка М принадлежит сферической поверхности, так как она находится на линии окружности /г', лежащей на этой
поверхности. Точки А и В тоже принадлежат сферической поверхности, так как они расположены на линиях очерковых окружностей, принадлежащих сферической поверхности. Примеры принадлежности точки поверхности можно привести и в случае наличия конической поверхности (точка М , поверхности тора ( и поверхности более сложной формы .Задача определения принадлежности точки поверхности решается следующим способом. Если заданы проекции элементов поверхности и точки, необходимо на одной из плоскостей проекций через заданную точку провести линию, принадлежащую поверхности, и построить проекцию этой линии на одной плоскости проекций. Если вторая проекция пройдет через вторую проекцию точки - точка принадлежит поверхности, если не пройдет - не принадлежит Принципы построения точек и линий на поверхностях положены в основу построения линий пересечения, срезов, вырезов, проницаний и др., что определяет построение сложных геометрических тел, и в итоге - деталей, узлов, машин, зданий, сооружений.
21. Пересечение прямой с поверхностью.
Прямая пересекает плоскость,если имеет с ней только одну общую точку.Для того, чтобы найти точки пересечения прямой линии с поверхностью пользуются алгоритмом :
1)заданную прямую заключают во вспомогательную плоскость;2)находят линию пересечения двух плоскостей (заданной и полученной плоскости);
3)на пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки.
При заключении прямой во вспомогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы её линия пересечения с поверхностью проектировалась на плоскость проекций в виде простейших линий – прямой или окружности.
22. Пересечение поверхности с поверхностью.конические сечения.
Кони́ческое сече́ние или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых.Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.
Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом
Обозначим угол наклона образующей конуса к его основанию через , а угол наклона плоскости к основанию конуса - через .Любая плоскость, проходящая через вершину конуса пересекает его поверхность:1)в точке, если больше ;2)по одной образующей, если =3)по двум образующим.
Любая плоскость, не проходящая через вершину прямого кругового конуса, пересекает его поверхность:1)по окружности, если плоскость перпендикулярна оси конуса, т. е. =0;2)по эллипсу, если больше ;3)по параболе, если =, т. е. плоскость параллельна одной из образующих конуса;4)по гиперболе, если меньше или =.
23. Поверхности.Определение.Классификация поверхностей.
По виду образующей различают линейчатые (образующая прямая), циклические (образующая окружность) и другие поверхности; по закону перемещения образующей — поверхности вращения, параллельного переноса, винтовые и т.д. При этом некоторые поверхности могут быть отнесены одновременно к различным классам, например, цилиндрическая поверхность вращения является одновременно линейчатой и поверхностью вращения.
Линейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью прямой линии.
Нелинейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью кривой линии.
Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.Поверхности с постоянной образующей — поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности.Поверхности с переменной образующей — поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности.
24. Взаимное пересечение поверхностей.Способ секущих плоскостей. Линия пересечения поверхностей состоит из точек, принадлежащих каждой из них. Общий способ построения линии пересечения заключается в последовательном нахождении точек, ей принадлежащих, при помощи вспомогательных секущих поверхностей - посредников. В качестве посредника выбирается плоскость или сфера. Выбор того или иного посредника зависит ккак от типа пересекаемых поверхностей, так и от их взаимного расположения.
Различают два вида пересечения поверхностей:
1)полное, когда все образующие или ребра одной поверхности соответственно пересекаются с другой поверхностью;2)частичное, когда честь образующих или ребер боковых поверхностей не участвуют в пересечении.
В результате полного пересечения получаются две замкнутые линии, а частичного – одна.
Построение линии пересечения начинают с нахождения её опорных точек. Промежуточные точки ищут в тех местах, где опорные точки расположены далеко друг от друга.
Линия пересечения двух поверхностей может быть:
1)пространственная ломаная линия – при пересечении двух многогранников;
2)пространственная кривая – при пересечении двух кривых поверхностей или кривой поверхности и многогранника.
Способ секущих плоскостей. Этот способ выбирается в том случае, если осевые линии двух поверхностей параллельны между собой. Секущая плоскость выбирается так, чтобы она пересекала заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям – прямым или окружностям. Чаще всего секущая плоскость является плоскостью уровня. Для того, чтобы найти произвольную точку линии пересечения, пользуются алгоритмом :
1) вводят вспомогательную секущую плоскость;
2) находят линию пересечения этой плоскости с каждой из заданных поверхностей
3) на пересечении найденных линий находят искомые точки.
Последовательно вводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек.
25. Взаимное положение прямых в пространстве.Определение видимости по конкурирующим точкам.
Две прямые в пространстве могут быть взаимно параллельными,пересекающимися и скрещивающимися .
Параллельные прямые-две прямые,лежащие в одной плоскости и не имеющие общей точки.
Пересекающиеся прямые-две прямые,имеющие общую точку.
Скрещивающиеся прямые-прямые не лежащие в одной плоскости и не имеющие общей точки.
Точки,принадлежащие скрещивающимся прямым и проецирующиеся на одну из плоскосте проекций в однй общую,а на другую-в две разные точки,называются конкурирующими.Они используются для видимости прямых.Способ определения видимости с помощью таких точек называется способом конкурирующих точек.Из двух конкурирующих точек видимой будет та,которая имеет большую координату и поэтому отстоит дальше от плоскости проекций.