Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Первообразная
Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a;b). Если функция F(x) имеет производную на интервале (a;b) и для всех x € (a;b) выполняется равенство F’(x) = f(x), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b). Т.: Если F(x) первооб-я ф-и f(x), то F(x)+С тоже пер-я. Неопределённый интеграл
Мн-во всех перв-х ф-й F(x)+С для данной ф-и f(x) наз. неопред интегр ф-иf(x) обозн-ся
2. Свойства неопределенного интеграла.
1.(f(х)dх)'= f(х)
2.df(х)dх)'=f(х)dх
3.dF(х)=F(х)+С
4.kf(х)dх=kf(х)dх,k0.
5. (f(х)g(х))dх= f(х)dхg(х))
3. Таблица основных неопределенных интегралов.
=;
4. Непосредственное интегрирование.
Это вычисл. интегр. с использ. осн. св-в неопр. интегр. и списка табл. интегр.Данный метод также примен. и после предварит. преобр. подынтегрального выр-я к табл.форме.
5. метод подстановки
М-д подстановки
∫f(x)dx= [x=φ(t),t=ψ(x),dx=φ’(t)dt]=∫f(φ(t)φ’(t)dt
Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:
-вводится новая переменная
x=φ(t),где t=ψ(x) явл. обратной по отношению к φ(t), dx=φ’(t)dt- дифференциал ф-ции x=φ(t)
Если подстановка выбрана удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной.
Если ф-ция x=φ(t) непрерывна и монотонна,то обратн. t=ψ(x) всегда сущ.
Вычислив интеграл в правой части по t,следует вернуться к переменной x
∫f(ψ(x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t=ψ(x)
1 ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a
dx=1/a dt
=∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C=
=1/a F(ax+b)+C
2 ∫ f’(x)/f(x) dx= ln f(x) +C
6. Метод интегрирования по частям
Задано: U=U(x), V=V(x),известно: d(UV)=VdU+UdV
проинтегрируем обе части уравнения:
∫ d(UV)= ∫ VdU+ ∫ UdV
UV=∫ VdU+ ∫ UdV=> ∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям
Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный.
Основные классы ф-ций,интегрируемых по частям:
1 ∫ lnm(x)dx, ∫arcsinmxdx, ∫arccosmxdx,∫arctgmxdx
2 ∫Pn(x)lnaxdx,∫Pn(x)eaxdx,∫ Pn(x)sinaxdx,
∫Pn(x)cosaxdx
3 ∫eaxsinbxdx,∫eaxbxdx
4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)k
7. Интегрирование выражений, сод-х квадратный трехчлен
Интегрирование рациональных дробей
1. Многочленом степени n наз-ся выражение вида a0+a1x+a2x2+…+anxn=Pn(x)
Рациональной дробью наз-ют отношение двух многочленов вида При n=0 вычисление интеграла никаких трудностей не представляет
Интерес представляют рациональные дроби, у кот. n>0 При этом будем рассматривать дроби, у кот. m<n Если m>=n, то применяют процедуру деления многочленов уголком
Интегрирование простейших дробей
I. x-a=tdx=dt
II. x-a=t dx=dt
x+p/2=t dx=dt a2=или
IV
V. p²/4-q>0
p²/4-q<0
8. Интегрирование спец. классов ф-й.
Для нахожд. интегр. вида примен. подстановки Эйлера:
Неберущиеся интегралы.
Опрерация дифференц-я не выводит нас из класса элемент.ф-й. С операцией интегрир. дело обстоит иначе: интегралы от некот. элемент. ф-й уже не явл. элемент. ф-ми. Например: – интег. Пуассона; – инт. Френеля;
– интег.логарифм,
9. Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).
y=f(x) – [a; b], f(x)≥0
Найти S:
Для решения, разобьем [a; b] на n частичнымх отрезков [xk; xk+1]; a=x0<x1<…<xn=b.
Эти точки xk – разбиение [a;b].
Внутри кажд. частичного отрезка выберем точку Ck принадлеж. [xk; xk+1] и найдем знач. ф-ии в Ck
f(ck),k=0,…n-1
Sn – площаль всех прямоуг-ов: Sn=(x1-x0)f(c1)+(x2-x1)f(c2)+..+f(xn-xn-1)f(Ck)
xk-xk-1=∆xk
(1)
Пусть S – площадь криволин. трапеции, тогда при больших nимеет место приближ рав-во S≈Sn, причем, чем больше отрезков берем, тем точнее рав-во.
Пусть λ=max∆Xk – наиб. из длин частичных отрезков – диаметр разбиения.
Если в (1) перейти к пределу так, чтобы кол-во част. отрез-ов неогран. возрасло и при этом λ->0, то мы получим знач Sкриволин. трап:
Определённым интегралом функции f(х) непрерывной на отрезке а, b называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка а, b на частичные и выбора точек i когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю.
10. Интегральная сумма. Свойства интегральных сумм.
Пусть зад ф у=f(x), кот непрер на некот. замкнутом инт-ле [a,b].
Разбиваем инт-л [a,b] на n частей; абсциссы точек дел-я a=x0<x1<x2<…<xi-1<xn-1<xn=b обозн x1,x2,…xn. Кажд частичный инт-л обозн ∆x1=x1-x0, ∆x2=x2-x1, ∆xi=xi-xi-1, ∆xn=xn-xn-1. В каждом частичном инт-ле ∆xi, i= 1;n выберем т. и выч-м ﻉI, y=f(x), y=f(ﻉ1) , f(ﻉ2) , … f(ﻉi) ,… f(ﻉn) Cост-м произв-е f(ﻉ1)∆x1, f(ﻉ2)∆x2 , … f(ﻉi)∆xi ,… f(ﻉn)∆xn. Кажд из этих произв-й предст собой полоску шириной ∆xiи высотой f(ﻉi).
Сумма f(ﻉ1)∆x1+ f(ﻉ2)∆x2 + … f(ﻉi)∆xi +… f(ﻉn)∆xn=∑ f(ﻉ1)∆x1 наз интегр суммой ф. f(x) на инт-ле [a,b]. С геом. точки предст собой S ступенчатой фигуры.
11. Свойства определенного интеграла.
Значение о.и. не зависит от выбора переменной интегрирования:
1.
2.
3. С=const
4. для любых a, b, c
5. Если f’(x)>=0, на [a; b] и интегрируема на [a; b ] =>
6.f(x)>=g(x), x принадлеж. [a; b], то
7. пусть f(x) – непрерывна на [a; b ] и m=minf(x), M=maxf(x), тогда имеют место неравенства:
8. Т. О среднем значении если f(x)непрерывна на отрезке [a,b] то сущ.на этом отрезке такая т-ка что ∫abf(x)dx=f(c)(b-a).
12.Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть непрерывна на , а непрерывна на . Вместе со своей производной ; причем , и сложная функция непрерывна на , тогда справедливо формула замены переменной для определенного интеграла:
13. Интегрирование по частям в О.И.
Пусть заданны тогда имеет место интегрирование по частям:
→
14. Формула Ньютона-Лейбница.
Если ф-ция f(х) непрерывна на [a,b] и ф-я F(x) какая-либо первообразная для f(x) на отрезке[a,b] то справедлива формула
.
Док-во:
пусть F(x)первообразная для f(x) на отрезке [a,b], ф-ция Ф(х) так же явл.первообразной. по теореме о множестве первообразных имеем Ф(х)-F(x)=C. Подставим в последнее рав-во вместо х сначала а, потом b=х получим:
Ф(а)-F(a)=C Ф(b)-F(b)=C Ф(а)=∫aaf(x)dx=0 Ф(b)=∫abf(x)dx
Имеем C=-F(a) ∫ab f(x)dx+F(a)=F(b) ∫ab f(x)dx=F(b)-F(a)
15.Опред. интеграл в эк-ке:
u=f(t) – пр-ть труда, тогда V прод-ии, произвед. за время от t до t2 равен
Пусть ф-ия k(x) опред. зависим. TC от Q прод-ии x, тогда f знач. TC при выпуске Q от а до b, x принадлеж. [a; b], опред.:
16. Вычисление площадей плоских фигур:
1. на и
2. на и
3. на график имеет вид
4. даны две функции: и на промежутке
5. на промежутке то получаем
6. и на промежутке (графики ориентированны на )
17. Длина дуги плоской кривой.
Пусть некот. линия y=f(x), где f(x) – дифф. на отрезке [a; b]
- длина дуги АВ
y(k-1) M(k-1)
M1
yk A Mk
M(n-1) B
a=x0 x1 x2 xk x(n-1) b=xn
18. Вычисление объёмов тел вращения.
19. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
условия: 1) a, b –числа(интервал интегр. огран.) 2) опред. интеграл для непрерывн. подинтегр. ф-ции. // если же они не выполняются то опред. ои теряет смысл. Понятие ои, когда подинтеграл. функция непрерывна, но[a;b] будет полубесконечным: [a; +∞). Рассмотрим произвольный [a;γ], который явл на [a; +∞), тогда существует. Следовательно . Если предел ф-ции, когда γ ∞, существует, то этот предел – несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом, т.е. …аналогично
Примерчик
20. Несобственный интеграл от неограниченных функций
Рассмотрим случай, когда на промежутке [a;b) либо (a;b] подынтегральная ф-ция неограниченна. Предполагаем, что f(x) непрерывна на [a;b) и lim(f(x) = ∞
В этом случае несобств интеграл определяют след. Образом: рассмотрим сколь угодно малое число и [a;b-ε]. На компактном множестве непрерывная ф-ция всегда ограничена и интегрируема, поэтому сущ интеграл Если сущ lim(ε, то он сходящийся, в противном случае – расходящийся.
21. Евклидова плоскость и евклидово пр-во
Координатную плоскость называют евклидовой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точками определяется по ф-ле
Аналогично вводится понятие трёхмерного евклидово пр-ва. В этом случае каждая точка М коорд. пр-ва хар-ся упорядоченной тройкой чисел , а расстояние между любыми двумя точками пр-ва опред-ся ф-лой
22. Понятие функции нескольких переменных.
Пусть имеется 2 непустых множества: DR(в квадрате),UR. Если каждой паре чисел (x,y)Dy; по некоторому правилу поставлен в соответствии 1 единственный элемент из множества U, то говорят, что на множестве D задана функция со значениями во множестве U, при этом пишут, что f: DU. Множество D называется областью определения функции, множество U, состоящее из чисел f(x,y), где пара (x,y)D ,называется областью значений функции. Функциональная зависимость: U=f(x,y). Аналогично определяется функция нескольких переменных. Областью определения 2-х переменных может быть плоскость, часть плоскости, ограниченная некоторой замкнутой прямой, либо совокупность нескольких частей плоскости. Ф-ю неск. веществ. перем. Как и ф-ю одной перем., можно задать аналитическим, табличным или описат. способом.
Графиком ф-и z=(f,y) ((x,y)Ω) назыв. мн-во точек в пр-ве R³,коорд. x,y, кот. принад.Ω, а z нах. по ф-ле z=(f,y).Даже для ф-и 2х перем. изуч. и изобр. график ф-и затруднит. С целью изуч. граф. ф-и будет понятие линии ур-ня. Линией ур-ня С наз. совок. точек на плоск. Оху, для кот. (f,y)=С(const). В эк. линией ур-ня наз. изоквантами, изокостами в завис. от того, какой эк. проц. изучается.
23. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
Число А называется пределом функцииf(x,y), при xxo, yyo, если для любой последовательности точек (xn,yn), сходящейся к точке (xо,yо), но не равной (xо,yо), соответствующая последовательность значений функции f(xn,yn) сходится к числу А. f(xn,yn)A
Св-ва:
1. арифметические операции
2. Если ф-я f имеет предел в т. Ро, то она ограничена в некот. Ебселент-окрестности т. Ро
3. Если , то сущ. такая Ебселент-окрестность т.Ро, к кот. f(P)>0 (<0).
Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.
Функция f(Pn) называется непрерывной в точке Po, если. Непрерывна на мн-ве D , еслиона непрерывна в каждой т., этого мн-ва.
Св-ва:
1. сумма произведения и частное (если делитель ≠0) есть непрер. функции
2. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве принимает на этом мн-ве своё наим. и наиб. знач-е
3. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве и принимает на этом мн-ве любое знач-е, заключ. м/д m и M.
24. Частные пр-е 1го порядка
Рассм ф-ю 2 перем. z=f(x,y), где x,yΩ с .Возьмём любую точку Ω, через ∆x и ∆y обозначим приращение по х и у, тогда полное приращение имеет вид:∆z=f(+∆x, +∆y)-f(). Рассм. отн-е частного прир-я по пер-й z к вызвавшему его прир-ю: рассм. предел, когда ∆x→0, этот предел может существовать и не сущ-ть. Если сущ-т, то он наз. 1й част. пр-й по пер-й х (, z`x):
Для того, чтобы находить 1й част. пр-е примен. след правило: 1я част. пр-я по х – это обыкн. пр-я по пер-й х при усл., что у=const
25. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
Полным приращением функции в точке Мо(xо,yо) называется разность f(хо+х,yo+y) - f(xо,yо) = f. Если функция f(x,y) определена в окрестности точки Мо и имеет непрерывные частные производные, то полное приращение функции можно выразить формулой: f=f ‘xх+ f ‘y* y +(х)х+ (y)y. (х) и (х) – бесконечно малые числа и 0. Линейная часть приращения функции относительного приращения аргумента х и y называют полным дифференциалом. f(x,y)dZ или df, df=f ‘xх+ f ‘yy.
26.Применим полный дифференциал к приближенным вычислениям. При достаточно малых по абсолютной величине х и y, приращение функции fdf.
f= f ‘xх+ f ‘yy+ (х)х+ (y)y.
f(хо+х,yo+y) - f(xо,yо)= f ‘x(xo,yo)x+ f ‘y(xo,yo)y.
f(хо+х,yo+y)f(xо,yо)+ f ‘x(xo,yo)x+ f ‘y(xo,yo)y.
27. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Пусть ф-ия z=f(x,y) определена на некот. δ-окрест. т. Mo(x0,y0) и пусть M(x,y) принадлежат этой окр.
Пусть ∆x=x-x0, ∆y=y-y0, тогда:
Ф-ия z=f(x,y) назыв. дифференц. в точке Mo(x0,y0), если сущ-ют два числа А и В, таких, что: ∆z=A∆x+B∆y+α(∆x, ∆y), где α(∆x, ∆y) –ε(∆x, ∆y)ρ, ρ≠0.
28. Градиент ф-и
Рассм ф-ю 2 перем. z=f(x,y) Вектор коорд. кот.=1м част. пр-м, вычисленным в т. и называется градиентом ф-и. Градиент имеет обозначение: gradf(палочка вниз и внизу её)=(). Градиент, вычисленный в т. хар-ет направ. и велич. макс. скорости возраст. ф-и в указ точке.
29. Частные пр-е высших порядков, теорема о смеш. пр-х.
Частными пр-ми 2го порядка данной ф-и наз-ся соответствующие част. пр-е от первых её част. пр-х. Для ф-и z=f() двух пер-х возможны четыре вида част. пр-х 2го пор.:
1); 2) ; 3) ; 4)
Частные пр-е, в которых диф-е производится по разным пер-м, наз-ся смешанными пр-ми.
Аналогичным образом для ф-й неск. Пер-х опред-ся част. пр-е более высоких порядков.
Теорема. Пусть ф-я z=f() определена в некот. обл. Ω и в этой обл. сущ-т част. пр-е
; ; ; причём в точке Ω смешанные пр-е непрерывны. Тогда
30. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.
Точка Ро назыв. точкой локального max. и min., если сущ. такая Ебс-окр. это точки, что для всех точек Р из этой окр. отсеченных от самой Ро выполняется неравенство: f(Po)>f(P) или f(Po)<f(P). Точки max. и min. назыв. экстремумы, а значение в этих точках – экстрем. функции.
31.Необходимые условия существования экстремума:
Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой - окрестности точки . Тогда функция z = f(x,y) имеет в точке максимум(минимум), если для всех точек этой окрестности выполняется неравенство
Теор. Если f(x,y) в точке Po(xо,yо) имеет экстремум и в этой точке существуют конечные частные производные, то они равны 0. ∂f (x0,y0)/ x=0 ;∂f(x0,y0)/y=0 (система). Экстремумы функции f(x,y) надо искать в точках, координаты которые удовлетворяют системе уравнений. Из этой системы ищем критические точки.
32. Достаточные условия экстремума
Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка,
A = , B = , C = , , тогда 1), причем max, если A<0, min, если A>0. 2) , экстр-ма в т. нет 3) , треб-ся доп исслед-е
33. Применение теории лок. экстрем. в задачах экономики.
Теория лок.экстрем. применяется для решения таких задач, как, например, хоз-во робинзона(он стремится организовать своё хоз-во так, чтобы при имеющихся у него матер. и труд. ресурсах объём и ассортимент производимых благ им в макс. возможной степени удовлетворил его потреб.), нахождения прибыли от пр-ва разных видов товара, нахождения эффективности трудовых и капитальных затрат.
34. Прибыль от пр-ва разл. видов товара
Обозначим через неизвест. ..., кол-во производ. m видов товара, а их цены, через Пусть затраты на пр-во товаров задаются ф-ей издержек S(..., ). Тогда ф-я прибыли в усл. ненасыщ. Рынка будет иметь вид D(..., )=…- S(..., ).Требуется определить такие к-ва производимых m разновидностей товара, которые дают макс.прибыль. Для 2х товаров S()=. Потом от ф-и прибыли найти 1е част. пр-е, составить из них систему и найти коорд т.. потом найти 2е част.пр-е. и в ним подставляем координаты т. и из них составить матрицу. Если опр-ль>0, то это точка экстремума, если нет, то нет. Если
35. Максимизация ф-ии прибыли
Обозначим через неизвест. ..., кол-во производ. m видов товара, а их цены, через Пусть затраты на пр-во товаров задаются ф-ей издержек S(..., ). Тогда ф-я прибыли в усл. ненасыщ. Рынка будет иметь вид D(..., )=…- S(..., ).Требуется определить такие к-ва производимых m разновидностей товара, которые дают макс.прибыль. Для 2х товаров S()=. Потом от ф-и прибыли найти 1е част. пр-е, составить из них систему и найти коорд т.. потом найти 2е част.пр-е. и в ним подставляем координаты т. и из них составить матрицу. Если опр-ль>0, то это точка экстремума, если нет, то нет. Если
36. Метод наименьших квадратов (для случая f(x)=ax+b).
Зависим. некот. величины у от пермен. х часто выраж в виде табл. данные ко-й получ. эксперемент.: (1)
|
х |
х1 |
х2 |
х.. |
хn |
|
y |
y1 |
y2 |
y.. |
yn |
Для обраб. инфы удобно иметь в виде формулы y=f(x), где f(x) – некот. ф-ия, кот. нам пока не известа, Вид этой f(x) можно орпед-ть, исходя из граф. соображ.
f(x) будит лишь приближ. опред. зависим. м-ду у и х. Степень отклон. можно оценить след. способами:
1. 2. 3.
Наиболее точн. критерием для оценивания явл. 3-й способ, т.е. max точноть будит достигнута в том случае, если –>min – метод наим. квадратов:
Пусть f(x) имеет вид ax+b (2), тогда рассмотрим z(a,b)= . Найти наим. знач ф-ции.
(3)
(4)
(3) и (4) система. Эта система имеет одно реш. (a0,b0), кот. явл. min знач. ф-ции (2) z(a,b)
37.Дифференциальное уравнение(ДУ)
Осн.понятия
О1. ДУ – ур-е, сод неизв ф-цию, независ переем-ю и ее производные различных порядков.
Если неизв ф-ция зависит от одной независим переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ (ОДУ).
Если неизв ф-ция содержит 2 и > независ переменных, то ДУ назыв ур-е частичных производных.
В общем виде ОДУ можно записать F(x,y,y’, … , y(n))=0 (1) неявный
y(n) =f(x,y,y’,…,y(n-1)) (2)явный
Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я.
О2. ф-ция у=у(х) наз решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующ ур-е вместе со всеми своими произв-ми, она обр-т его в верное рав-во. Задача нах-я решения ДУ наз задачей интегрирования ДУ.
38.Дифференциальное уравнение(ДУ)
ДУ – уравнение, содержащее неизвестную функцию, независимую переменную и ее производные различных порядков.
Если неизвестная функция зависит от одной независимой переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ (ОДУ).Уравнение вида:
F(x,y,y’) = 0
Или в нормальной форме:
y’ = f(x,y)
39. Задача Коши для обыкновенных ДУ и её геом. смысл.
Задача нах-я реш-я y=y(x) ур-я y`=f(x,y), удовлет. нач. усл. , где – заданная точка в обл.D, наз. задачей Коши.
Геом. смысл задачи Коши состоит в определении той интегральной кривой, которая проходит через заданную точку
40. ДУ с разделяющимися переменными
ДУ с разделяющимися переменными
Ур-е вида (4) реш по схеме:
d(y)/d(x)=f(x)gy
d(y)/g(x)=f(x)d(x)
M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)
5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка(ф-ция видаf(αx,αy)=αkg(x,y) наз однор ф-ция k-того порядка,αЄR)
реш с помощью подстановки
z=y/x y=zx y’=z’xx+z
z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x
6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by
41. Однородные ур-я 1го порядка.
ДУ y`=f(x,y) наз однородным, если ф-я f(x,y) однород. ф-я в 0 степени
42. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.Метод подстановки Бернулли
y’+p(x)=q(x) (1)
y=uv, u=u(x), v=v(x) – некот. ф-ции, зав. от х подставив получим
u’v+uv’+p(x)uv=q(x)
u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)
v’+p(x)v=0 (2)
u’v=q(x) (3)
2 и 3 идут как система
v=v(x)
u’=q(x)/v(x)
u=Sq(x)/v(x)dx
43. Линейные однородные ДУ 2 порядка с постоянными коэфф-ми. Их нахождение. Общее решение.
Обыкн ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид:
(1) y``+py`+qy=r(x) p,q принадл. R, r(x) – функция
Если r(x) =0, то
(2) y``+ py`+qy=0 – однор.лин.ДУ с пост.коэфф.
Ур-е вида (3) =0 – характерист.ур-е (1) и(2) Стр-ра общего решения ур.(2) определяется корнями квадр.ур-я. (3)
Возможны 3 случая
1. кв.ур-е имеет разные корни α1α2, D>0 тогда общее решение:
y=C1C1, C2 прин.R
2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ; D=0
y= C1, C2 прин.R
3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-βi; λ2= α+βi;
y= C1C1, C2 прин.R
44. Задача Коши для ДУ 2-го порядка
Задача Коши для ДУ 2з-го порядка
y(x0)=y0
y`(x0)=y0`
Общее решение уравнения 2-го порядка зависит от 2-х произвордных постоянных с1 и с2
45. Лин неоднор ДУ 2-го порядка с пост коэфф-ми.
Рассмотрим уравнение y´´+py´+qy=r(x) /где p,q € R , r(x)-функция. которое имеет вид y=yO+yЧ, где
yO-общее решение уравнения y´´+py´+qy =0
yЧ-частное решение уравнения y´´+py´+qy=r(x) , которое зависит от вида правой части,т.е r(x)
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1) r(x)=Pn(x) ,где Pn(x) – многочлен степени «n»
В этом случае решение yЧ ищут из уравнения к²+pк+q=0 в виде:
• yЧ=Qn(x) при q≠0
• yЧ=xQn(x) q=0, p≠0
• yЧ=x² Qn(x) q=p=0
46. Числовой ряд и его сумма. Числовым рядом назыв. выражение вида а1+а2+…+аn+…, кот. можно записать (1)
а1, а2 – члены ярда
аn – общий член ряда или n-ый член ряда
Сумма n-первых членов ряда Sn=a1+a2+..+an назыв. n-ой частичной суммой ряда.
Числовой ряд назыв. сходящимся, если сущ. конечн. предел последоват. Sn=S, S принадлеж. R, S - сумма ряда.
47. Св-ва сход. рядов:
1. сходимость ряда не нарушается, если произвольным образом изменить (добавить, отбросить) конечное число членов ряда
2. сход. ряда можно почленно умножить на любое число, т.е. общий член множителей можно вынести за знак скобку ,
3. сход. ряды можно почленно складывать и отнимать
, ,
48. Необходимое условие сходимости числового ряда.
Если ряд - сход., то
Док-во:
, ,
49.Гармонический и обобщённый гармонический ряд
Гармоническим рядом назыв. сумму бесконеч. кол-ва членов обратных последовательным числам нату. ряда. Его обозначают
(расходящийся)
Обобщенный гармонический ряд , который сходится при >1 сходится, а при ≤1 расходится
50.Достаточные признаки сходимости
Признак Д’Аламбера:
(1) , an>0, , тогда:
Если <1, то ряд 1 сход., Если >1, то ряд 1 расх. , Если =1, то признак не срабатывает
Признак Коши:
1. Если для ряда 1 сущ. , то при <1, ряд 1 сх, а при >1, ряд 1 расх.
2. Интегральный признак Коши: если для ряда 1 с положит. членами выполн условия:
1)
2) сущ. непрерыв. невозраст. ф-ия f(x): an=f(n) для любых натур. n, то ряд 1 инесобств. интеграл сход. или расх одновременно:
α>1 – сход, α<1 – расх.
51. Признаки сравнения сходимости рядов с положительными Членами. Интегр. признак Коши-Маклорена
Пусть даны 2 ряда: (1), (2), an, bn≥0
Признаки сравнения:
1)Пусть для членов рядов (1) и (2) выполн. неравенство an≤bn, для любых натур чисел, тогда:Если ряд (2) сход., то ряд (1) также сход. , если ряд (1) расх., то (2) расх. тоже
2) – предельный признак Пусть дан членов рядов (1) и (2) выролн. условие: , А приндлеж. RA≠0, тогда ряды (1) и (2) сх. или расх. одновременно
Интегральный признак Коши-Маклорена:
Пусть задан ряд , члены кот положит и не возр-т, т.е. , а ф-я f(x) непрер, невозраст на [1;∞)
f(1)=a1, f(2)=a2…f(n)=an
Тогда сх-ся или расх-ся одновр-но.
52. Знакочеред ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема Лейбница).
О. Ряд вида (1) наз знакочеред-ся. Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и , то ряд сходится, а его сумма Sположительна и не превосходит первого члена, т.е. . Следствие: Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е. .
53. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, наз-ся знакопеременным.
Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.
Теорема: Если ряд явл абсол сх-ся, то исх ряд сх-ся. Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения
Рассм-м ряд
- ряд из абсол значений величин.Доказана сх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.
О. Если ряд, образ из абсол значений его величин расх-ся, а исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.
54. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Ряд вида , где - числа, называемые коэффициентами ряда, x – переменная, наз-ся степенным рядом. Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда. Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться. Для нахождения радиуса сходимости можно воспольз-ся, признаками Даламбера или Коши. Теорема. Если существует| an+1/ an|=L, то R=1/L=| an/ an+1|. Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ . Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x0=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда anxn есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд anxn сходится при x=x0, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|. 2) Если же ряд anxn расходится при x=x1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x1|.
55. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Ряд вида , где - числа, называемые коэффициентами ряда, x – переменная, наз-ся степенным рядом. Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда. Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться. Для нахождения радиуса сходимости можно воспольз-ся, признаками Даламбера или Коши. Теорема. Если существует| an+1/ an|=L, то R=1/L=| an/ an+1|. Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ . Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x0=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда anxn есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R].
56. Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть f(x) имеет производные всех порядков некотор. окрестн. т. x. Рядом Тейлора для f(x) в т. х0 назыв. степен. ряд след. вида:
Если х0=0, то ряд
назыв. рядом Маклорена
При выполнении некотр. условий ряд Тейлора для f(x) равен самой f(x). Говорят, что ф-ия представима в виде ф-ии степен. ряда
x принадлеж. R.
57. Достаточное условие разложение ф-й в степенные ряды
Если в некотором интервале, содержащем точку , абсолютные величины всех пр-х ф-ии f(x)ограничены одним и тем же числом M≤M, n=1,2…, то ф-я f(x) в этом интервале разлагается в ряд тейлора.
58. Разложение некоторых элементарных ф-ций в степенные ряды
Если ф-ция f(x) явл. суммой степенного ряда в каком-либо промежутке,то говорят,что f(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.
Практически важное достаточное условие разложения ф-ции в ряд Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого порядка ф-ции f(x) ограничены в окрестности U(x0) точки x0 одним и тем же числом С,т.е. |f(n) (x)| ≤C (n=1,2,3,…),то ряд Тейлора этой ф-ции сходится к f(x) для любого xиз этой окрестности.
Если ф-ция f(x) разложима в ряд Тейлора,то это разложение единственное.
Приведем разложения в степенной ряд (ряд Маклорена)некоторых элементарных ф-ций:
ex=1+x/1!+x2/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),
sinx=x/1!-x³/3!+x5/5! –x77! +...+(-1)ⁿ x2n+1/(2n+1)!+...
(-∞<x<+∞),
cosx=1 - x²/2!+x4/4! – x6/6!+...+(-1)ⁿ x2n/(2n)!+…
(-∞<x<+∞),
ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x4/4+...+(- 1)n-1 xⁿ/n+...
(-1<x≤1),
(1+x)m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+
+m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!
Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1
59. Приближенные значения при помощи рядов
Числовые и степенные ряды могут быть использованы для вычисления с заданной точностью значений функции, определенных интегралов, в том числе и неберущихся, нахождения переделов, решения диф уров и др.
Суть приближенных вычислений состоит в замене суммы S сходящегося ряда частичной суммы Sn его первых n членов. Величина остатка Rn как раз и определяет ошибку такой замены, которую можно оценивать, либо опираясь на оценку остаточного члена, представленного в той или иной форме, либо непосредственно оценивая остаток ряда. Если, например получающийся знакочеред ряд удовл условиям Лейбница, то оценка ошибки проста: его остаток имеет знак своего первого члена и не превосходит его по абсолютной величине. Сложнее обстоит дело, если ряд знакопостоянный. В этом случае обычно стараются найти стандартный, лугко суммируемый ряд, члены которого были бы больше соотв членов исследуемого остатка, и оценивают этот ост суммой этого ряда.