Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 6
Занятие 7 (Фдз 8).
Линейный оператор простого типа.
7.1. Определение линейного оператора простого типа, диагонализуемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Примеры линейных операторов простого типа (операторы задачи 3 из типового расчета).
7.1. По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства . Такой базис называется собственным базисом оператора .
Если оператор простого типа, и - собственный базис этого оператора, то матрица этого оператора в этом базисе является диагональной
, (1)
где - собственные значения оператора , соответствующие собственным векторам , т.е. .
Пример 1. Рассмотрим линейный оператор , действующий в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: проектирует каждый вектор на плоскость . Покажем, что данный оператор – оператор простого типа.
Решение.
Собственные значения и собственные векторы найдены ранее в примере 3 занятия 5.
Этот оператор имеет собственное значение , соответствующие ему собственные векторы параллельны оси . Кроме этого оператор имеет собственное значение , соответствующие ему собственные векторы параллельны плоскости .
Из собственных векторов этого оператора можно составить базис пространства .
Например, векторы (где - единичный вектор оси , - единичные векторы осей и ) – образуют собственный базис оператора . Действительно, тройка служит базисом пространства и все эти векторы – собственные векторы оператора , т.к. .
Если - оператор простого типа, то все его собственные значения вещественны. Это условие представляет необходимое условие простоты оператора .
Однако вещественность всех собственных значений линейного оператора не служит достаточным условием простоты этого оператора.
Пример 2. Рассмотрим линейный оператор из примера 5 занятия 6. , .
Покажем, что данный оператор не является простым оператором.
Решение.
Все собственные значения оператора равны нулю (см. пример 5 из занятия 6). Таким образом, необходимое условие простоты линейного оператора выполнено.
Однако из множества всех собственных векторов этого оператора нельзя составить базис пространства . Действительно, множество представляет линейную оболочку линейно независимых многочленов , следовательно, . Пространство трехмерно, т.к. оно имеет стандартный базис .
Чтобы из системы получить базис пространства , нужно к этой системе добавить многочлен , в котором . Никакой из многочленов не является собственным многочленом данного линейного оператора. Поэтому, оператор не имеет собственного базиса, и значит, не является простым оператором.
Достаточное условие того, чтобы заданный оператор был оператором простого типа, формулируются в виде следующей теоремы.
Теорема. Если все собственные значения линейного оператора действительны и различны, то оператор - оператор простого типа.
Пример 3. Линейный оператор действует в двумерном линейном пространстве . В базисе этого пространства оператор имеет матрицу . Доказать, что оператор - оператор простого типа. Найти собственный базис и матрицу оператора в этом базисе.
Решение.
Действие оператора в базисе определяется равенством , где координаты вектора и - координаты вектора в базисе .
Собственные значения оператора найдем из характеристического уравнения.
.
Собственные значения оператора - действительные и различные числа. Следовательно, выполнено достаточное условие, доказывающее простоту оператора .
Найдем теперь собственный базис оператора .
- собственный вектор оператора .
- другой собственный вектор оператора .
Собственные векторы отвечают различным собственным значениям. Следовательно, эти векторы дают линейно независимую систему. Поскольку , векторы образуют базис пространства . Это – собственный базис оператора .
Осталось найти матрицу оператора в собственном базисе .
- первый столбец матрицы .
- второй столбец матрицы .
. Эта же матрица получается из формулы (1).
Пример 4. Линейный оператор действует в линейном пространстве
по правилу .
Требуется выяснить, является ли данный оператор оператором простого типа. Если да, то найти матрицу оператора в собственном базисе.
Решение.
- линейная оболочка трех линейно независимых функций , служащих базисом пространства . .
Найдем матрицу оператора в базисе .
- первый столбец .
- второй столбец .
-
третий столбец . Следовательно,
.
С помощью этой матрицы найдем собственные значения оператора.
.
Необходимое условие оператора простого типа выполнено (все собственные значения вещественные числа), а достаточное условие нет (есть одинаковые собственные значения: ).
Найдем собственные функции оператора.
- собственная функция оператора, отвечающая собственному значению .
- собственные функции оператора, отвечающие собственному значению .
Собственные функции линейно независимы и служат базисом пространства . Следовательно, оператор имеет собственный базис, и он является оператором простого типа.
Матрица оператора в собственном базисе сразу же находится по формуле (1).
.
Пример 5. Дано множество матриц и преобразование , действующее на этом множестве по правилу , где .
Доказать, что - линейный оператор простого типа и найти матрицу этого оператора в собственном базисе.
Решение.
1) , где .
- линейная оболочка матриц в линейном пространстве матриц . Следовательно, - линейное подпространство в пространстве .
2) .
Значит, - оператор.
3) Пусть - произвольные матрицы из множества и
- произвольные числа. .
Следовательно, - линейный оператор.
4) Матрицы образуют базис в пространстве . . Найдем матрицу этого оператора в базисе .
- первый столбец матрицы .
- второй столбец матрицы .
- третий столбец матрицы .
.
5) Теперь найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .
.
Все собственные значения действительны и различны. Согласно достаточному условию
- линейный оператор простого типа.
6) Найдем собственный базис оператора .
- собственная матрица оператора .
- собственная матрица оператора .
- собственная матрица оператора .
7) - собственный базис оператора .
- матрица оператора в собственном базисе.
_______________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Показать, что заданные линейные операторы являются оператороми простого типа, найти их собственный базис и матрицу в собственном базисе.
1.1. , .
1.2.. , , .