Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. 1. Найти .
Решение. Так как под знаком предела стоит непрерывная в точке х=1 функция, то, используя определение непрерывной функции, имеем:
.
Ответ. .
2. Найти .
Решение. Функция при х=1 не определена («неопределенность типа »), и, следовательно, не является непрерывной в этой точке. Но при всех других значениях х
.
Полученная функция определена и непрерывна в точке х=1, поэтому
==.
Ответ: .
3. Найти
Решение. Здесь требуется найти предел отношения двух бесконечно больших величин. О таком пределе заранее ничего определенного сказать нельзя («неопределенность типа »). Преобразуем функцию под знаком предела, вынося за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Тогда имеем:
==== 0.
Ответ: 0.
4. Найти .
Решение. Такого типа примеры решаются переводом иррациональности из числителя в знаменатель и, наоборот, из знаменателя в числитель. Здесь мы имеем предел разности двух положительных бесконечно больших величин («неопределенность типа [–]»). От этой неопределенности избавимся, дополнив функцию до разности квадратов:
= = = .
Следовательно, =
Ответ: 0.
5. Найти .
Решение. Так как (первый замечательный предел), то .
Следовательно, =
Ответ: .
6. Найти .
Решение. Так как х→, а не к 0, то применить сразу первый замечательный предел нельзя. Поэтому произведем замену переменной: –х = у, откуда х = –у. Тогда при х→ у→0, используя то, что
= = .
Ответ: .
7. Найти .
Решение. Выделим у дроби целую часть:
.
Чтобы использовать второй замечательный предел (или ), обозначим . Тогда при х→∞ у→0, причем . Т.о. =.
Ответ: .
Задача 2. Найдите производные функций:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:
б)
в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно :
Из последнего уравнения находим :
Задача 3. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:
Реализуем указанную схему:
.
Следовательно, и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:
.
при и – не существует при . Тем самым имеем две критические точки: . Но точка не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.
Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): , .
В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, – точка минимума.
На рис. 5 знаками +, – указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками – возрастание и убывание исследуемой функции.
5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
.
при и – не существует при . Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6): , . На первом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку меняет свой знак, поэтому – абсцисса точки перегиба.
Следовательно, – точка перегиба графика функции.
6. – точка разрыва функции, причем . Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:
.
Тогда
При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя. Значит прямая есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.
Пример решения задачи 4.
Пример решения задачи 5.
А) Для вычисления частной производной по х нужно положить переменную у равной константе, а при нахождении частной производной по у нужно считать константой переменную х.
Б) Рассмотрим способ нахождения производной неявно заданной функции, с использованием понятия частной производной функции двух переменных.
Если рассматривать как функцию двух независимых переменных x и y, то , где и - частные производные по x и по y соответственно.
Применим эту формулу к примеру: найти производную неявно заданной функции .
В)
Примеры решения задачи 5.
3. Исследовать функцию на экстремум.
Пример:
Исследовать на экстремум функцию .
На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:
Частные производные первого порядка от функции равны:
Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
Выпишем отдельно первое уравнение системы и найдем его корни:
Подставим найденные значения переменной во второе уравнение системы:
и
Таким образом, получили две точки и , в которых будет продолжено исследование функции на экстремум.
На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции z:
Для точки
Так как дискриминант больше нуля и
, то функция z имеет минимум в точке .
2) Для точки
Так как дискриминант меньше нуля, то функция z не имеет в точке ни минимума, ни максимума.
Ответ: в точке функция имеет минимум .