Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Матеріальною точкою називають тіло, розмірами якого можна знехтувати в умовах даної задачі. Матеріальна точка є фізичною моделлю.
Переміщенням тіла (в) називають напрямлений відрізок прямої, який з'єднує початкове (1) і кінцеве (2) положення тіла (рис. 2, б).
Шви́дкість — фізична величина, що відповідає відношенню переміщення тіла до проміжку часу, за який це переміщення відбувалось. Швидкість — величина векторна, тобто вона має абсолютну величину і напрямок.
Швидкість тіла найлегше визначити тоді, коли воно здійснює рівномірний прямолінійний рух, тобто долає однакові відстані за однакові проміжки часу. В такому випадку швидкість визначається як відношення відстані до часу:
,
де — відстань, пройдена тілом за проміжок часу .
В загальному випадку тіла рухаються нерівномірно й можуть змінювати напрямок руху. Для опису такого руху вводиться поняття миттєвої швидкості, яку механіка надалі і називає просто швидкістю. Траєкторія руху тіла розбивається на маленькі ділянки, на яких рух можна вважати рівномірним і прямолінійним, і визначається швидкість на цихділянках. Таким чином, спочатку вводиться допоміжнеозначення:
Середня швидкість довільного руху за інтервал часу — це векторна величина[1][2]
,
де — переміщення тіла за час
Після застосування граничного переходу вводиться означення миттєвої швидкості.
Миттєва швидкість нерівномірного руху — це вектор в точці, який є границею середніх швидкостей, коли інтервал часу прямує до нуля. Розкриваючи означення, швидкість — це відношення переміщення матеріальної точки за інтервал часу, коли цей інтервалпрямує до нуля, тобто похідна:
.
Вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії руху.В свою чергу, похідна від швидкості дає миттєве прискорення тіла у момент часу t.
Приско́рення — векторна фізична величина, похідна швидкості за часом, за величиною дорівнює зміні швидкості тіла за одиницю часу.
Миттєве прискорення являє собою межу, до якої прагне середня прискорення за заданий час.Воно дорівнює межі відносинΔv / Δt:
a = lim [a] = limΔv / Δt = dv / dt
Середнє прискорення являє собою зміну швидкості за певний час Δt. Воно дорівнює відношенню зміни швидкості до зміни цього часу:
[A] = Δv / Δt
2. Прямолінійним рівномірним рухом називають рух, при якому тіло (матеріальна точка) за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакове переміщення, або рух зі сталою швидкістю вздовж прямої: Рівняння рівномірного прямолінійного руху тіла х = x0 +vxt. Рівняння руху в скалярному вигляді: х = x0 ± vt.
Рівноприскореним прямолінійним рухом тіла називають такий рух, при якому його швидкість за будь-які однакові інтервали часу змінюється на однакові величини, або рух, який відбувається із сталим прискоренням вздовж прямої:
Рівняння руху при рівноприскореному прямолінійному русі:
3. Тангенціальне і нормальнеприскорення
Тангенційне прискорення а\ визначає зміну швидкості за величиною.
Нормальне прискорення ап визначає зміну швидкості за напрямком.
Прискорення — векторна величина. Його напрямок не завжди збігається із напрямком швидкості. В загальному випадку вектор прискорення утворює з вектором швидкості деякий кут і розкладається на двіскладові. Складова вектора прискорення, яка направлена паралельно до вектора швидкості, а, отже, вздовж дотичної до траєкторії, називається тангенціальним прискоренням. Складова вектора прискорення, що направлена перпендикулярно до вектора швидкості, а, отже, вздовж нормалі до траєкторії, називається нормальним прискоренням.
.
Перший член у цій формулі задаєт ангенціальне прискорення, другий - нормальне, або доцентрове. Зміна напрямку одиничного вектора завжди перпендикулярна до цього вектора, тому другий член в цій формулі нормальний до першого.
У випадку обертання тіла по колу зі швидкістю, що не змінюється за модулем, вектор прискорення перпендикулярний до вектора швидкості.
Модуль швидкості тіла, кинутого горизонтально, розраховуємо за формулою
Траєкторія руху тіла — парабола (рис. 46) Дальність польоту тіла, кинутого під кутом а до горизонту:
4. Принцип відносності в класичній механіці: для будь-яких механічних явищ усі інерціальні СВ є рівноправними. Це зумовлено тим, що маса т, довжина І, проміжок часу М в усіх інерціальних СВ мають однакове значення (є інваріантні).
Перетворення Галілея — назва перетворень у класичній механіці, згідно з якими змінюються значення фізичних величин при переході між різними інерційними системами відліку.
Перетворення Галілея дозволяють описати фізичне явище в інерційній системі відліку якщо відомо як виглядає дане фізичне явище в іншій інерційній системі відліку.
Якщо осі координат у двох системах відліку мають одинакові напрямки, а одна система рухається вздовж осі другої системи з постійною швидкістю , то перетворення мають вигляд:
Відповідно змінюються компоненти швидкості
Інші величини, такі як прискорення, сила, маса при перетвореннях Галілея не змінюються. Відповідно, не змінюється вигляд рівнянь Ньютона. Говорять, що рівняння Ньютона інваріантні відносно перетворень Галілея.
5. Існують такі системи відліку, відносно яких поступально рухоме тіло зберігає свою швидкість сталою, якщо на нього не діють інші тіла (або вплив інших тіл компенсується).
Такі системи відліку називаються інерціальними. Інерціальна система відліку зв'язана з далекими зірками.
Явище збереження сталої швидкості (зокрема швидкості, що дорівнює нулю) називають інерцією.
Тому і СВ, відносно яких тіла рухаються із сталою швидкістю за умови компенсації зовнішніх впливів, називаються інерціальними, а перший закон Ньютона називають законом інерції.
Другий закон Ньютона: базовий закон динаміки
Математично це формулювання може бути записано так:
або
, якщо m — константа.
де
Це рівняння фактично означає, що чим більша за абсолютним значенням сила буде прикладена до тіла, тим більшим буде його прискорення. Параметр m або маса в цьому рівнянні — це насправді коефіцієнт пропорційності, який характеризує інерційні властивості об'єкта.
У рівнянні F=ma прискорення може бути безпосередньо виміряне, на відміну від сили. Тому цей закон має сенс, якщо ми можемо визначити силу F безпосередньо. Одним з таких законів, який визначає правило обчислення гравітаційної сили, є закон всесвітнього тяжіння.
У загальному випадку, коли маса та швидкість об'єкта змінюються з часом, отримаємо:
Рівняння із змінною масою описує реактивний рух. лат. Важливе фізичне значення цього закону полягає в тому, що тіла взаємодіють, обмінюючись імпульсами й роблять це за допомогою сил.
Третій закон Ньютона: закон дії та протидії
Формулювання:
Сили, що виникають при взаємодії двох тіл, є рівними за модулем і протилежними за напрямом.
Математично це записується так
,
де — сила, що діє на перше тіло з боку другого тіла, а — навпаки, сила, що діє з боку першого тіла на друге тіло.
Суперечливого формулювання «на всяку дію є рівна протидія» слід уникати.
Закон у сформульованій формі є справедливим для усіх фізичних сил, хоча існують деякі особливості формулювання цього закону в застосуванні до сил електромагнітного поля.
Перший закон Ньютона для тіла, що обертається: якщо рівнодіюча всіх моментів сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю, то кутова швидкість обертання тіла не змінюється ні за величиною, ні за напрямком (рис. 95):
ω= const, ∑мi=0.
і=1
Зокрема, тіло рухається поступально, не обертаючись, якщо
∑мi=0. ω=0.
і=1
Другий закон Ньютона для тіла, що обертається: момент сили (М) дорівнює добутку моменту інерції J на кутове прискорення ε :
М = Jε,
де ε = — кутове прискорення.
Третій закон Ньютона для тіла, що обертається:
M12= - M21
6. Імпульсом або вектором кількості руху в класичній механіці називається міра механічного руху тіла, векторна величина, що для матеріальної точки дорівнює добутку маси точки на її швидкість та має напрямок швидкості.
У системі СІ одиницею вимірювання імпульсу є кг·м/с, в системі СГС — [г·см/с].
Сума імпульсу для будь-якої замкнутої системи є величиною сталою.
В класичній механіці імпульс (традиційно позначається p) визначається як добуток маси тіла m та його швидкості v:
p = m v.
Імпульсом системи n матеріальних точок називається вектор P, що дорівнює геометричній сумі імпульсів всіх точок системи та є добутком сумарної маси системи M на швидкість її центру інерції vc:
.
Зміна імпульсу системи може відбуватись лише внаслідок зовнішнього впливу, тобто внаслідок дії зовнішніх сил. Жодними внутрішніми процесами та взаємодією внутрішніх часток не можна змінити сумарний імпульс системи.
Зміна імпульсу тіла пропорційна до сили, яка викликає цю зміну, та проміжку часу, за який ця зміна відбувається (другий закон Ньютона):
.
Для замкненої системи, тобто системи на яку не діють ніякі зовнішні сили, має місце закон збереження імпульсу. Величина імпульсу P такої системи залишається векторно-сталою, в той же час імпульси окремих частин системи можуть змінюватись внаслідок їхньої взаємодії. Цей закон пояснює реактивний рух, відбій при пострілі, роботу гребного гвинта тощо.
Закон збереження імпульсу - один із фундаментальних законів фізики, який стверджує, що у замкненій системі сумарний імпульс усіх тіл зберігається.
Якщо на систему тіл зовнішні сили не діють або вони врівноважені, то така система називається замкненою, для неї виконується закон збереження імпульсу: повний імпульс замкненої системи тіл залишається незмінним за будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою:
Закон збереження імпульсу є наслідком однорідності простору.
Розглянемо систему із N тіл, які взаємодіють між собою. Силу, яка діє на i-те тіло з боку j-ого тіла позначимо . Рівняння руху для кожного із N тіл записуються у вигляді:
,
де - імпульс i-ого тіла.
Просумувавши усі рівняння, й враховуючи те, що за третім законом Ньютона
,
отримуємо:
,
звідки
,
тобто сумарний імпульс є інтегралом руху.
Центр маси — точка, через яку повинна проходити лінія дії сили, щоб тіло рухалось поступально.
Центр маси системи рухається як матеріальна точка, в якій зосереджена маса всієї системи і на яку діє сила, що дорівнює геометричній сумі усіх зовнішніх сил, що діють на тіло.
7. Існує два способи передачі руху (і відповідно енергії) від одного макротіла до іншого: у формі роботи і у формі теплоти (теплообміну). Зміну енергії першим способом називають механічною роботою. Робота є міра зміни і перетворення
Кінетична енергія — це енергія рухомого тіла.
Кінетична енергія в класичній механіці:
Оскільки швидкість тіла є величиною відносною, тобто залежить від вибору системи відліку, то й кінетична енергія відносна. Кінетична енергія завжди додатня.
Кінетична енергія в релятивістській механіці:
Робота всіх сил, що діють на тіло, дорівнює зміні його кінетичної енергії — теорема про кінетичну енергію:
8. Консервативні сили — це сили тяжіння, пружності, кулонівські сили.
Консервативна сила — сила, робота якої при переміщенні тіла залежить тільки від початкового і кінцевого положення тіла в просторі. Наприклад, робота сили тяжіння.
Робота консервативних сил у будь-якому замкнутому контурі дорівнює нулю Потенціальне поле — поле консервативних сил.
Кінетична і потенціальна енергія — функції стану системи, тобто можуть бути точно визначеними, якщо відомі координати і швидкості всіх тіл системи, а також система відліку.
Потенціальна енергія — це енергія, обумовлена взаємодією тіл або частинок тіла. У механіці розрізняють:
а) потенціальну енергію тіла, піднятого над Землею, де п — висота над рівнем,
на якому потенціальна енергія системи «Земля — тіло» приймається за нуль (нульовий рівень потенціальної енергії):
в) потенціальну енергію гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок з масами тх і т2, що перебувають на відстані г одна від одної:
б) потенціальну енергію пружнодеформо-
ваного тіла:
Eп=mgh;
Робота сили тяжіння і пружності дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, взятої з протилежним знаком:
Робота постійної сили — це скалярний добуток сили на переміщення (рис. 65):
9. Сила тяжіння і всесвітнього тяжіння є гравітаційні сили. Вони є виявом гравітаційних полів.
Гравітаційне поле характеризує зміну фізичних і геометричних властивостей простору поблизу масивних тіл і може бути виявлено за силовим впливом на інші фізичні тіла.
Сила всесвітнього тяжіння — сила, яка обумовлює притягання всіх тіл у Всесвіті.
Закон всесвітнього тяжіння, відкритий Ньютоном:
дві матеріальні точки притягуються одна до одної із силами, модуль яких прямо пропорційний добутку їх мас і обернено пропорційний квадрату відстані між ними:
Коефіцієнт пропорційності називають гравітаційною сталою та позначають в.
Гравітаційна стала чисельно дорівнює силі притягання між двома матеріальними точками масою по 1 кг, розташованими на відстані 1 м:
Одним із проявів сили всесвітнього тяжіння є сила притягання тіла до Землі, яка називається СИЛОЮ тяжіння і за другим законом Ньютона дорівнює т£, де # = 9,81м/с2 — прискорення вільного падіння біля поверхні Землі:
Прискорення вільного падіння близько від поверхні Землі можна розрахувати за формулою
Прискорення вільного падіння на висоті Н над поверхнею Землі:
Кулонівські сили Електростатична сила взаємодії F12 двох точкових нерухомих зарядів q1 та q2 у вакуумі прямо пропорційна добутку абсолютних значень зарядів і обернено пропорційна квадрату відстані r12 між ними.
,
у векторній формі:
,
Сила взаємодії направлена вздовж прямої, що з'єднує заряди, причому однойменні заряди відштовхуються, а різнойменні притягуються. Сили, що визначаються законом Кулона адитивні.
Коефіціент пропорційності k має назву електростатичної сталої та залежить від вибору одиниць виміру. Так в Міжнародній системі одиниць СІ k=1/(4πε0) ≈ 8,987742438·109 Н·м2·Кл-2, де - електрична стала. В системі СГСГ одиниця вимірювання заряду обрана таким чином, що k=1.
Такі умови є необхідними для виконання сформульованого закону:
В однорідному ізотропному середовищі сила взаємодії між зарядами зменшується в ε разів: , де ε діелектрична проникність середовища.
10. Закон збереження механічної енергії: повна механічна енергія системи тіл, в якій діють лише консервативні сили (потенціальні ), є величина стала.
Центральний удар — це удар, при якому тіла до удару рухаються, вздовж прямої, що проходить через їхні центри мас.
При співударі абсолютно пружних тіл зберігається їх сумарна кінетична енергія і сумарний імпульс.
Механічний удар двох тіл характеризується коефіцієнтом відновлення (є):
це відношення відносної швидкості тіл після співудару до відносної швидкості до співудару. Якщо є = 1, удар називається абсолютно пружним (рис. 66, а). Якщо є = 0, удар називається абсолютно непружним (рис. 66, б). В дійсності при ударі двох тіл 1 > є > 0. При ударі свинцевих куль є близький до 0, тобто удар близький до абсолютно непружного. Під час удару куль із слонової кістки є ~ 0,9, тобто удар близький до абсолютно пружного.
11. Абсолютно непружний удар — зіткнення двох тіл, у результаті якого тіла об'єднуються, рухаючись далі як єдине ціле у напрямку руху тіла, що мало більший імпульс (рис. 66, г).
При непружному співударі закон збереження імпульсу має вигляд:
При недружному співударі частина механічної енергії переходить у внутрішню. Якщо зміна внутрішньої енергії зв'язана тільки зі зміною температури тіла або його агрегатного стану, то
12. Миттєва швидкість при криволінійному русі напрямлена по дотичній до траєкторії в кожній її точці (рис. 15, а).
Якщо тілу надати прискорення а, напрямленого під кутом до його швидкості, то вектор прискорення буде мати дві складові: дотичне, або тангенціальне прискорення ат, напрямлене по дотичній до траєкторії (колінеарно вектору швидкості), і нормальне прискорення ап, напрямлене перпендикулярно(нормально) до вектора швидкості (рис. 15, б).
Якщо розбити криволінійну траєкторію на достатньо маленькі відрізки, то кожен відрізок можна розглядати як дугу кола відповідного радіуса. Тоді ап напрямлено до центра кола і тому називається доцентровим ал (рис. 16).
Тангенційне прискорення а\ визначає зміну швидкості за величиною.
Нормальне прискорення ап визначає зміну швидкості за напрямком.
Рух по колу є прикладом криволінійного руху.
Рівномірний рух по колу характеризується кутовою швидкістю со, лінійною швидкістю v, періодом Т, частотою п.
Швидкість v напрямлена дотично до кола. *
Лінійна швидкість дорівнює модулю миттєвої швидкості.
Під час руху матеріальної точки по колу модуль її миттєвої швидкості з часом не змінюється: v = const (vA = vB) (рис. 17).
Лінійна швидкість дорівнює довжині дуги І, пройденої точкою за одиницю часу:
Тангенційне прискорення при рівномірному русі точки по колу дорівнює нулю: ах = 0.
У кожній точці траєкторії доцентрове прискорення напрямлене вздовж радіуса до центра кола, а його модуль дорівнює
Кутова швидкість со рівномірного руху по колу дорівнює куту повороту Дер радіуса і? за одиницю часу:
1 радіан дорівнює центральному куту, який опирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу (рис. 19, с. 26): Ф = 1 рад.
Повний центральний кут
Період обертання Т — це час, за який точка здійснює один повний оберт по колу.
Частота обертання п — кількість повних обертів, здійснюваних точкою при рівномірному русі по колу за одиницю часу.
Лінійна швидкість v визначається так:
Кутова швидкість со визначається так:
При зростанні кутової швидкості обертальний рух називається прискореним, а при зменшенні — уповільненим.
Кутове прискорення є визначається відно-. шенням зміни кутової швидкості за проміжок часу до тривалості цього проміжку:
13.
Момент імпульсу
Іншою важливою динамічною характеристикою обертального руху є момент імпульсу.
Момент імпульсу матеріальної точки відносно нерухомого центру О визначається як :
, (1.14)
де радіус-вектор, проведений з центру О до матеріальної точки
імпульс матеріальної точки
Якщо тверде тіло здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі OZ, то вводиться поняття моменту імпульсу відносно нерухомої осі.
Момент імпульсу матеріальної точки відносно осі ОZ Lz дорівнює проекції на вісь OZ величини .
Mомент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі дорівнює сумі моментів імпульсів елементарних мас цього тіла відносно вказаної осі.
(1.15)
і враховуючи, що
, (1.16)
одержуємо інший вираз для моменту імпульсу відносно осі
, (1.17)
де кутова швидкість тіла,
Jz – момент інерції тіла відносно осі ОZ.
Кінетична енергія тіла, що обертається
Кінетична енергія тіла, що рухається довільним чином, рівна сумі кінетичних енергій всіх n матеріальних точок, на які можна уявно розділити це тіло :
. (1.22)
При обертанні тіла навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю лінійна швидкість i –ї точки становить ,
де Ri – відстань точки до осі OZ
Отже: . (1.23)
Співставлення формули (1.23) з формулою для кінетичної енергії поступального руху підтверджує факт, що момент інерції тіла є мірою інертності тіла при обертальному русі.
|
Поступальний рух |
Обертальний рух |
|
лінійна швидкість = лінійне прискорення m – маса імпульс сила Wk = |
кутова швидкість = кутове прискорення JZ – момент інерції LZ = JZмомент імпульсу або МZ – момент сили Wk = |
14.
Момент інерції (J ) матеріальної точки
масою т, що рухається по колу радіусом r відносно центру обертання (центру кола):
Момент інерції твердого тіла (якщо розглядати його як сукупність матеріальних точок) відносно осі обертання (г, — відстань матеріальної точки т% до осі, п — число матеріальних точок):
15. Теорема Штейнера: момент інерції тіла відносно будь-якої осі обертання дорівнює сумі моменту його інерції Jc відносно паралельної осі, що проходить через центр мас С тіла, і добутку маси т тіла на квадрат відстані а між осями:
16. Момент імпульсу матеріальної точки L з масою т, яка рівномірно обертається зі швидкістю v по колу радіусом r:
Закон збереження моменту імпульсу для ізольованої системи тіл:
Тобто, в замкненій системі момент імпульсу зберігається незмінним.
Робота постійного моменту сили, яка діє на
тіло, що обертається:
Моме́нт си́ли — векторна фізична величина, рівна векторному добутку радіус-вектора, проведеного від осі обертання до точки прикладення сили, на вектор цієї сили. Момент сили є мірою зусилля, направленого на обертання тіла.
Момент сили зазвичай позначається латинською літерою і вимірюється в системі СІ в Н м, що збігається із розмірністю енергії.
Визначення
Залежності між силою F, моментом сили τ (M), імпульсом p і моментом імпульсу L
Момент сили , яка діє на матеріальну точку із радіус-вектором визначаєтся як
.
тобто є векторним добутком радіус-вектора на силу .
Момент сили - це вектор перпендикулярний, як до радіус-вектора точки, так і до сили, яка на цю точку діє. За абсолютною величиною момент сили дорівнює добутку сили на плече або
,
де α - кут між напрямком сили й радіус-вектором точки.
Момент сили адитивна величина, тобто момент сил, яка діють на систему матеріальних точок дорівнює сумі моментів сил, які діють на окремі точки системи.
Характерною властивістю момента сили є те, що в останню формулу входять лише зовнішні сили, а взаємодію матеріальних точок між собою можна не враховувати, оскільки згідно із третім законом Ньютона сили, які діють на пару точок рівні за величиною й обернені за напрямком. Враховуючи цей факт, легко показати, що плече таких сил дорівнює нулю.
17.
Сила, яка діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на прискорення, яке надається, даною силою:
Ця сила тільки надає тілу прискорення і не залежить від дії інших сил на це тіло.
Основне рівняння динаміки — якщо на тіло діє декілька сил, то геометрична сума усіх зовнішніх сил дорівнює добутку маси тіла на прискорення, з яким рухається тіло під впливом усіх сил:
Одиницею сили є 1 Н (ньютон). 1 Н — це постійна сила, яка надає тілу масою 1 кг прискорення 1 м/с2:
18. Перша космічна швидкість — це та швидкість, яку необхідно надати тілу при киданні його з Землі, щоб воно стало штучним супутником Землі (на невеликій, у порівнянні з радіусом Землі, висоті).
1
Друга космічна швидкість (у поверхні Землі) дорівнює 11,19 км/с. При досягненні цієї швидкості тіло залишить орбіту навколо Землі і почне обертатися навколо Сонця.
Якщо надати тілу швидкості 16,7 км/с, воно залишить Сонячну систему. Ця швидкість називається третьою космічною швидкістю.
19. Неінерціальна система відліку — це система відліку, що рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку.
Неінерціальна система відліку еквівалентна полю тяжіння — принцип відносності Ейнштейна.
При описі поступального руху тіла в неінерціальній системі відліку, що рухається поступально з прискоренням а, вводиться переносна сила інерції FІ.П.; FІ.п. = -та (рис. 59).
При описі обертового руху тіла в неінерціальній системі відліку, що рухається з постійним доцентровим прискоренням
вводиться переносна сила інерції, яка називається відцентровою силою інерції (Fвідц.і):
Сила Коріоліса (F1-к) — сила інерції, що діє на тіло, яке рухається із швидкістю v в обертовій неінерціальній системі відліку з кутовою швидкістю ω:
В неінерціальних системах відліку закони Ньютона не виконуються.
20. Сили пружності — це сили, які виникають при деформації тіла і перешкоджають цій деформації.
Сили пружності напрямлені перпендикулярно до поверхні деформованого тіла (N— наприклад, нормальна реакція опори (сила пружності підставки), або вздовж нитки (Т)
Деформацією твердого тіла називають зміну форми та об'єму тіла під зовнішнім впливом. Розрізняють пружну і пластичну деформації.
Пружна деформація повністю зникає після припинення дії зовнішніх сил.
У випадку пружної деформації модуль сили пружності визначається за законом Гука:
сила пружності при пружній деформації прямо пропорційна абсолютному подовженню тіла і протилежно йому напрямлена