Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ТЕОРЕТИЧЕЧКАЯ ЧАСТЬ
Постановка задачи
Исследуемый объект: тело, с установленным на ней источником возбуждения (двигателем), имеющим дисбаланс.
масса платформы;
масса ротора;
масса дисбаланса;
центробежный момент ротора;
эксцентриситет.
Методом продолжения по параметру необходимо получить зависимость изменения скорости вращения ротора от напряжения питания двигателя , являющегося управляющим параметром.
Решение задачи
Приведем на рисунке 1 зависимость электрического момента и момента сопротивления от приведенной скорости вращения ротора.
Рисунок 1 - Зависимость моментов, действующих на ротор от скорости его вращения
электрический момент, действующий на ротор,
момент сопротивления,
приведенная скорость вращения ротора.
На рисунке 1 показано, что, меняя напряжение питания двигателя, характеристика ротора - двигается.
Момент, действующий на ротор , можно определить в зависимости от скорости вращения ротора , как:
|
. |
Причем номинальный режим работы, возникает при условии, что .
Уравнения движения системы
Уравнения движения исследуемой системы составим с помощью уравнения Лагранжа.
Запишем функцию Лагранжа и обобщенные силы:
Составим уравнения Лагранжа с учетом соотношения :
Нормализуем систему при следующих условиях:
где безразмерное время;
радиус инерции ротора;
безразмерный эксцентриситет.
Тогда система уравнений примет вид:
Определение периодических решений в системе уравнений
Пусть неизвестный период.
Вектор состояния .
орбитальная переменная.
Условие периодичности имеет вид:
|
, |
В случае, если монотонная функция, т.е. , то можно взять в качестве независимой переменной:
Тогда переходим к переменной Ван-дер-Поля
Выражения требуют условия совместности:
.
Запишем систему уравнений в переменных Ван-дер-Поля
Запишем систему уравнений в новых переменных:
, ,
где:
Тогда система уравнений примет вид
Введем новый вектор переменных :
|
. |
Для определения времени необходимо уравнение
Функции явно зависят от , т.е. система уравнений стала неавтономной.
Тогда условие периодичности в новых переменных имеет следующий вид:
|
. |
Виды расчетов при решении уравнения
1. Начальная задача
Известен вектор переменных при :
.
Далее решается уравнение .
2. Определение периодических решений, исследование их устойчивости.
3. Построение ветвей периодических решений методом продолжения.
На рисунке 2 изображена линия периодических решений (красная) в пространстве фазовых переменных.
Рисунок 2 - Определение периодических движений
Метод Ньютона для определения периодических движений
Обозначим:
Условие периодичности:
Далее записываем процедуру метода Ньютона, где неизвестной является .
Имеем начальное приближение , далее итерациями метода Ньютона определяем: .
Задаемся точностью , условием окончания:
ая итерация, .
Определяем поправку .
Если , то
где Это матрица Коши динамической системы, вычисленная в конце периода.
Матрица Коши линеаризованной системы при .
Методом Ньютона можно получить решение, изображенное на рисунке 3 жирной линией. Для определения кривой, на рисунке изображенной пунктиром, необходимо воспользоваться методом продолжения по параметру.
Рисунок 3 - Определение зависимости скорости от напряжения
Метод продолжения по параметру
Преобразуем систему уравнений , с помощью и введем новый вектор переменных :
,
|
. |
Таким образом, система уравнений неавтономна.
Пусть вектор неизвестных при
.
Выберем в качестве параметра длину дуги , изображенную на рисунке 4.
Рисунок 4 - К методу продолжения по параметру
Система уравнений составляют 4 уравнения, где неизвестными являются и , а является независимой переменной.
Решение этой системы уравнений называется непрерывным продолжением по параметру:
Перепишем систему уравнений в следующем виде:
Приведем систему к нормальной форме Коши:
|
. |
В том случае, когда в методе Ньютона вырождено, то невырождена.
Движение по дуге - самое устойчивое.
В случае применения метода трапеций к выражению , получим:
В выражении мы не знаем, а длина отрезка, соединяющего точки и .
Далее решение происходит методом простой итерации:
Определим следующим образом, с учетом того, что в точке известно все.
Принимаем, что , и определяем .
В ой точке известно , по нему определяем .
- определяется точкой, где сфера протыкается линией , как показано на рисунке 5.
Рисунок 5 - Определение
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Начальная задача
Приведем 2 расчета задачи при следующих значениях параметров системы:
На рисунке 6 представим переменные в зависимости от времени.
Рисунок 6 - Зависимость от времени
Из рисунка видно, что угловая скорость - колеблется
На рисунке 7 изобразим рабочую характеристику двигателя
Рисунок 7 - Рабочая характеристика двигателя
На рисунке 8 изобразим фазовую траекторию движения тележки и зависимость момента от времени.
Рисунок 8 - Фазовая траектория движения тележки и зависимость
На рисунке 9 изобразим нарастание угла поворота во времени.
Из рисунка 9 видно, что двигатель настолько мощный, что нарастание угла поворота происходит линейно.
Рисунок 9 - Нарастание угла поворота во времени
Для сравнения приведем результаты решения задачи для маломощного двигателя со следующими параметрами:
На рисунке 10 представим переменные в зависимости от времени и зависимость
Рисунок 10 - Зависимость от времени и
На рисунке 11 представим фазовую траекторию и зависимость угла поворота от времени.
Рисунок 11 - Фазовая траектория и угол поворота во времени
Из приведенных результатов для маломощного двигателя видно, что двигателю не хватает мощности, чтобы без колебаний справится с моментом сопротивления.
Определение периодических решений методом Ньютона
Определим периодические решения методом Ньютона для параметров и .
В случае найдено устойчивое периодическое решение.
На рисунке 12 приведем мультипликаторы.
Рисунок 12 Исследование устойчивости периодического решения
На рисунке 13 приведем зависимости от и пересчитанные по ним от .
Рисунок 13 - Зависимость от и от
На рисунке 14 приведем фазовую траекторию устойчивого решения, рабочий диапазон работы двигателя и изменение мощности во времени.
Рисунок 14 - Фазовую траектория устойчивого периодического движения, диапазон работы двигателя и изменение мощности во времени
Для системы с параметрами периодических решений не удалось найти.
Построение зависимости угловой скорости от напряжения и L -кривой
Методом Ньютона определим несколько периодических решений в системе уравнений и построим в фазовом пространстве эти решения. Изобразим их на рисунке 15.
Рисунок 15 - Периодические решения в системе уравнений
На верхнем рисунке представлены периодические решения: зависимость угловой скорости от угла поворота в зависимости от напряжения питания, на нижнем рисунке представлены периодические решения для тележки. Из рисунков видно, что после перехода напряжения питания через некоторый уровень, , сильно увеличилась скорость вращения двигателя, и заметно снизился уровень вибрации тележки (платформы).
На рисунке 16 представим мультипликаторы периодических движений и их начальные значения периодических решений.
Рисунок 16 - Мультипликаторы периодических движений и начальные значения периодических решений
На рисунке 17 представим зависимость угловой скорости от угла поворота ротора и зависимость угловой скорости, от напряжения питания.
Рисунок 17 - Зависимость угловой скорости от угла поворота ротора и зависимость угловой скорости, от напряжения питания
Получим петлю гистерезиса в области срыва электродвигателя, рисунок 18
Рисунок 18 - Определение петли гистерезиса в области срыва двигателя