Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практическое занятие 9.
Линия в полярных координатах
и параметрические уравнения линии
Задания:
Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:
9.1.
Ответ:
9.2.
Ответ:
9.3.
Ответ:
9.4.
Ответ:
9.5.
Ответ:
9.6.
Ответ:
Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах и построить эти кривые:
9.7.
Ответ:
9.8.
Ответ:
9.9.
Ответ:
9.10.
Ответ:
9.11.
Ответ:
9.12.
Ответ:
9.13.
Ответ:
9.14.
Ответ:
9.15.
Ответ:
9.16.
Ответ: Концентрические окружности радиусов , .
9.17.
Ответ:
9.18.
Ответ: (лемниската Бернулли).
9.19.
Ответ: (двухлепестковая роза).
9.20. Определить полярные координаты центра и радиуса
каждой из следующих окружностей:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Ответ: 1) 2)
3) 4)
5) 6)
9.21. В полярной системе координат вывести уравнение
окружности радиуса с центром в точке
Ответ:
9.22. Для эллипса написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится:
1) в левом фокусе;
2) в правом фокусе.
Ответ: 1) 2)
9.23. Для правой ветви гиперболы написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится:
1) в левом фокусе;
2) в правом фокусе.
Ответ: 1) 2)
9.24. Для параболы написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.
Ответ:
9.25. Написать канонические уравнения следующих кривых 2-го порядка:
1) 2)
3)
Ответ: 1) ; 2) 3)
9.26. Вывести полярное уравнение эллипса при условии, что полярная ось сонаправлена с осью , а полюс находится в центре эллипса.
Ответ:
9.27. Вывести полярное уравнение гиперболы при условии, что полярная ось сонаправлена с осью , а полюс находится в центре гиперболы.
Ответ:
9.28. Вывести полярное уравнение параболы при условии, что полярная ось сонаправлена с осью , а полюс находится в вершине параболы.
Ответ:
В задачах 9.29-9.37 требуется исключением параметра найти уравнения заданных кривых в виде и построить эти кривые.
9.29.
Ответ: Прямая
9.30.
Ответ: Парабола
9.31.
Ответ: Окружность
9.32.
Ответ: Эллипс
9.33.
Ответ: Правая ветвь гиперболы
9.34.
Ответ: Правая ветвь гиперболы
9.35.
Ответ: Окружность
9.36.
Ответ: Окружность .
9.37.
Ответ: Верхняя ветвь параболы
9.38. Составить параметрические уравнения эллипса , принимая в качестве параметра угол между осью и радиус-вектором , отсчитываемый против часовой стрелки.
Ответ:
9.39. Составить параметрические уравнения гиперболы , принимая в качестве параметра угол между осью и радиус-вектором , отсчитываемый против часовой стрелки.
Ответ:
9.40.Составить параметрические уравнения параболы , принимая в качестве параметра:
1) ординату
2) угол между осью и вектором , отсчитываемый против часовой стрелки;
3) угол между осью и фокальным радиус-вектором , отсчитываемый против часовой стрелки.
Ответ: 1) 2)
3)
Дополнительные сведения.
1. Полярная система координат. Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки , луча , исходящего из этой точки, и единицы масштаба (рис. 1). Точка называется полюсом, а луч - полярной осью.
|
Пусть – произвольная точка плоскости. Обозначим через и ее расстояние от полюса и угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления . |
Рис.1 |
Эти числа называются полярными координатами точки , причем величина называется полярным радиусом, а - полярным углом точки
По самому своему определению величина положительная. Задание пары чисел однозначно определяет точку на плоскости. Между полярными и декартовыми координатами в случае, если начало координат совмещено с полюсом, а ось идет по полярной оси, имеются следующие соотношения:
(1)
. (2)
2. Полярные уравнения линий.
В полярных координатах линия задается уравнением Ф, связывающим полярные координаты ее текущей точки. Если возможно, это уравнение разрешают обычно относительно и тогда полярное уравнение линии принимает вид Если функция непериодическая, то углу обычно, придают все возможные для данной функции значения, не ограничиваясь изменением его только в пределах первого периода.
Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно подставить в декартово уравнение вместо их выражения из формулы (1).Обратный переход от полярного уравнения Ф к декартову уравнению той же линии осуществляется с помощью формул (2).
Пример 1. Найти полярной уравнение прямой
Решение: Используя первую из формул (1), найдем, что на данной прямой полярные координаты связаны условием , или
|
Это и есть уравнение данной прямой. Поскольку - величина положительная, угол должен меняться так, чтобы был положителен, т.е. находиться в I и IV четвертях (рис. 2). |
Рис.2 |
Пример 2. Дано полярное уравнение линии Построить эту линию по точкам, задавая углу значения через промежуток Найти ее декартово уравнение, расположив декартовы оси так, как показано на рис. 2.
Решение: Поскольку левая часть данного уравнения неотрицательна, то угол может изменяться только в тех пределах, для которых т.е. и Для вычисления значений (ограничиваясь точностью 0,01) составляем следующую таблицу:
|
№ точек |
Q=3 |
|||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
0,50 |
2,12 |
||
|
3 |
0,87 |
2,79 |
||
|
4 |
1 |
3 |
||
|
5 |
0,87 |
2,79 |
||
|
6 |
0,50 |
2,12 |
||
|
7 |
0 |
0 |
При изменении угла в пределах III четверти будет принимать те же значения, что и в I четверти.
|
Поэтому линия будет симметрично расположена относительно начала координат. Для ее построения проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям , и на каждом луче откладываем вычисленные значения полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой (рис. 3). Построенная линия носит название лемнискаты Бернулли. Уравнение в декартовых координатах |
Рис.3 |
3. Параметрические уравнения кривой. Пусть заданы функции и , непрерывные на некотором промежутке I числовой оси (промежуток I может быть интервалом отрезком а также одним из полуинтервалов или причем не исключаются случаи, когда и (или) ). Уравнения
, (3)
называются параметрическими уравнениями кривой Г в декартовой прямоугольной системе координат, если выполнено следующее условие: для всякого значения параметра точка принадлежит кривой Г и, наоборот, для всякой точки кривой Г существует такое значение параметра , что и Исключением параметра из (3) уравнение кривой может быть представлено в виде
Аналогично определяются параметрические уравнения кривой в полярных координатах.
Пример 3. Показать, что параметрические уравнения
определяют окружность
Решение: Если точка такова, что и для некоторого значения , то
т.е. точка принадлежит окружности
Верно и обратное: если точка принадлежит окружности , то, полагая , , получим и
Пример 4. Кривая Г задана полярным уравнением Составить параметрические уравнения этой кривой в полярных и декартовых прямоугольных координатах, выбирая в качестве параметра полярный угол
Решение: Нетрудно убедиться, что заданная кривая- окружность радиуса с центром в точке Параметрические уравнения этой кривой в полярных координатах:
Параметрические уравнения в декартовых прямоугольных координатах получаются, если в формулы перехода вместо и подставить их выражения в виде функций параметра
В итоге получим:
Домашнее задание к практическому занятию № 9.
1. Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе координат.
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
|
11. |
12. |
|
13. |
14. |
|
15. |
16. |
|
17. |
18. |
|
19. |
20. |
|
21. |
22. |
|
23. |
24. |
|
25. |
26. |
|
27. |
28. |
|
29. |
30. |
2. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
|
11. |
12. |
|
13. |
14. |
|
15. |
16. |
|
17. |
18. |
|
19. |
20. |
|
21. |
22. |
|
23. |
24. |
|
25. |
26. |
|
27. |
28. |
|
29. |
30. |
Решение типового варианта
1. Построить кардиоиду, заданную уравнением в полярных координатах
Решение: Составим таблицу, в которой приведены значения полярного угла и соответствующие им значения полярного радиуса
|
0 |
4 |
|
2 |
|
|
1,2 |
|
|
0,6 |
|
|
0 |
|
|
0,6 |
|
|
1,2 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
6,8 |
|
|
7,4 |
|
|
8 |
|
|
7,4 |
|
|
6,8 |
|
|
6 |
|
|
Построив найденные точки в полярной системе координат (см. пример 2) и соединив их плавной линией, получим достаточно точное представление о кардиоиде (рис. 4). |
Рис.4 |
1. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями:
Выберем достаточное количество значений параметра вычислим соответствующие значения и построим точки в декартовых координатах. Соединим их плавной линией. Очевидно, что полученная кривая очень похожа на эллипс с полуосями и центром в точке Для строгого доказательства того, что данные параметрические уравнения определяют эллипс с указанными осями и центром, избавимся от параметра
откуда
PAGE 193