Линия в полярных координатах и параметрические уравнения линии Задания-

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Практическое занятие 9.

Линия в полярных координатах

и параметрические уравнения линии

Задания:

Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

9.1.

Ответ:

9.2.

Ответ:

9.3.

Ответ:

9.4.

Ответ:

9.5.

Ответ:

9.6.

Ответ:

Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах и построить эти кривые:

9.7.

Ответ:

9.8.

Ответ:

9.9.

Ответ:

9.10.

Ответ:

9.11.

Ответ:

9.12.

Ответ:

9.13.

Ответ:

9.14.

Ответ:

9.15.

Ответ:

9.16.

Ответ: Концентрические окружности радиусов , .

9.17.

Ответ:

9.18.

Ответ: (лемниската Бернулли).

9.19.

Ответ: (двухлепестковая роза).

9.20. Определить полярные координаты центра и радиуса

каждой из следующих окружностей:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Ответ: 1) 2)

3) 4)

5) 6)

9.21. В полярной системе координат вывести уравнение

окружности радиуса с центром в точке

Ответ:

9.22. Для эллипса написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится:

1) в левом фокусе;

2) в правом фокусе.

Ответ: 1) 2)

9.23. Для правой ветви гиперболы написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится:

1) в левом фокусе;

2) в правом фокусе.

Ответ: 1) 2)

9.24. Для параболы написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.

Ответ:

9.25. Написать канонические уравнения следующих кривых 2-го порядка:

1) 2)

Ответ: 1) ; 2) 3)

9.26. Вывести полярное уравнение эллипса при условии, что полярная ось сонаправлена с осью , а полюс находится в центре эллипса.

Ответ:

9.27. Вывести полярное уравнение гиперболы при условии, что полярная ось сонаправлена с осью , а полюс находится в центре гиперболы.

Ответ:

9.28. Вывести полярное уравнение параболы при условии, что полярная ось сонаправлена с осью , а полюс находится в вершине параболы.

Ответ:

В задачах 9.29-9.37 требуется исключением параметра найти уравнения заданных кривых в виде и построить эти кривые.

9.29.

Ответ: Прямая

9.30.

Ответ: Парабола

9.31.

Ответ: Окружность

9.32.

Ответ: Эллипс

9.33.

Ответ: Правая ветвь гиперболы

9.34.

Ответ: Правая ветвь гиперболы

9.35.

Ответ: Окружность

9.36.

Ответ: Окружность .

9.37.

Ответ: Верхняя ветвь параболы

9.38. Составить параметрические уравнения эллипса , принимая в качестве параметра угол между осью и радиус-вектором , отсчитываемый против часовой стрелки.

Ответ:

9.39. Составить параметрические уравнения гиперболы , принимая в качестве параметра угол между осью и радиус-вектором , отсчитываемый против часовой стрелки.

Ответ:

9.40.Составить параметрические уравнения параболы , принимая в качестве параметра:

1) ординату

2) угол между осью и вектором , отсчитываемый против часовой стрелки;

3) угол между осью и фокальным радиус-вектором , отсчитываемый против часовой стрелки.

Ответ: 1) 2)

Дополнительные сведения.

1. Полярная система координат. Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки , луча , исходящего из этой точки, и единицы масштаба (рис. 1). Точка называется полюсом, а луч - полярной осью.

Пусть – произвольная точка плоскости. Обозначим через и ее расстояние от полюса и угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления .

Рис.1

Эти числа называются полярными координатами точки , причем величина называется полярным радиусом, а - полярным углом точки

По самому своему определению величина положительная. Задание пары чисел однозначно определяет точку на плоскости. Между полярными и декартовыми координатами в случае, если начало координат совмещено с полюсом, а ось идет по полярной оси, имеются следующие соотношения:

(1)

. (2)

2. Полярные уравнения линий.

В полярных координатах линия задается уравнением Ф, связывающим полярные координаты ее текущей точки. Если возможно, это уравнение разрешают обычно относительно и тогда полярное уравнение линии принимает вид Если функция непериодическая, то углу обычно, придают все возможные для данной функции значения, не ограничиваясь изменением его только в пределах первого периода.

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно подставить в декартово уравнение вместо их выражения из формулы (1).Обратный переход от полярного уравнения Ф к декартову уравнению той же линии осуществляется с помощью формул (2).

Пример 1. Найти полярной уравнение прямой

Решение: Используя первую из формул (1), найдем, что на данной прямой полярные координаты связаны условием , или

Это и есть уравнение данной прямой. Поскольку - величина положительная, угол должен меняться так, чтобы был положителен, т.е. находиться в I и IV четвертях (рис. 2).

Рис.2

Пример 2. Дано полярное уравнение линии Построить эту линию по точкам, задавая углу значения через промежуток Найти ее декартово уравнение, расположив декартовы оси так, как показано на рис. 2.

Решение: Поскольку левая часть данного уравнения неотрицательна, то угол может изменяться только в тех пределах, для которых т.е. и Для вычисления значений (ограничиваясь точностью 0,01) составляем следующую таблицу:

№ точек				Q=3
1	0	0	0	0
2			0,50	2,12
3			0,87	2,79
4			1	3
5			0,87	2,79
6			0,50	2,12
7			0	0

При изменении угла в пределах III четверти будет принимать те же значения, что и в I четверти.

Поэтому линия будет симметрично расположена относительно начала координат. Для ее построения проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям , и на каждом луче откладываем вычисленные значения полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой (рис. 3). Построенная линия носит название лемнискаты Бернулли. Уравнение в декартовых координатах

Рис.3

3. Параметрические уравнения кривой. Пусть заданы функции и , непрерывные на некотором промежутке I числовой оси (промежуток I может быть интервалом отрезком а также одним из полуинтервалов или причем не исключаются случаи, когда и (или) ). Уравнения

, (3)

называются параметрическими уравнениями кривой Г в декартовой прямоугольной системе координат, если выполнено следующее условие: для всякого значения параметра точка принадлежит кривой Г и, наоборот, для всякой точки кривой Г существует такое значение параметра , что и Исключением параметра из (3) уравнение кривой может быть представлено в виде

Аналогично определяются параметрические уравнения кривой в полярных координатах.

Пример 3. Показать, что параметрические уравнения

определяют окружность

Решение: Если точка такова, что и для некоторого значения , то

т.е. точка принадлежит окружности

Верно и обратное: если точка принадлежит окружности , то, полагая , , получим и

Пример 4. Кривая Г задана полярным уравнением Составить параметрические уравнения этой кривой в полярных и декартовых прямоугольных координатах, выбирая в качестве параметра полярный угол

Решение: Нетрудно убедиться, что заданная кривая- окружность радиуса с центром в точке Параметрические уравнения этой кривой в полярных координатах:

Параметрические уравнения в декартовых прямоугольных координатах получаются, если в формулы перехода вместо и подставить их выражения в виде функций параметра

В итоге получим:

Домашнее задание к практическому занятию № 9.

1. Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе координат.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

2. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Решение типового варианта

1. Построить кардиоиду, заданную уравнением в полярных координатах

Решение: Составим таблицу, в которой приведены значения полярного угла и соответствующие им значения полярного радиуса


0	4
	2
	1,2
	0,6
	0
	0,6
	1,2
	2
	4
	6
	6,8
	7,4
	8
	7,4
	6,8
	6
Построив найденные точки в полярной системе координат (см. пример 2) и соединив их плавной линией, получим достаточно точное представление о кардиоиде (рис. 4).	Рис.4

1. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями:

Выберем достаточное количество значений параметра вычислим соответствующие значения и построим точки в декартовых координатах. Соединим их плавной линией. Очевидно, что полученная кривая очень похожа на эллипс с полуосями и центром в точке Для строгого доказательства того, что данные параметрические уравнения определяют эллипс с указанными осями и центром, избавимся от параметра

откуда

PAGE 193

1. Экономический рост и кадровый потенциал России
2. Наука Побеждать 2 марта 2014 года Общие Положения ВоенноСпортивная Игра Наука Побеждать является
3. Банкрутство в країнах з розвинутою ринковою економікою.html
4. лицо одутловатое красное с синюшным оттенком особенно после злоупотреблений алкоголем
5. потока ’ поезда Время прибытия Назначение вагонов в составе
6. Анаэробные нагрузки
7. Билеты по географии
8. Тема- Разработка и создание социального рекламного ролика.
9. Лица в римском праве
10. 1920 гг. осуществлялась политика военного коммунизма Кто из ниже перечисленных является командиром красн
11. 7 Утверждаю
12. ся не равномерно а циклически.html
13. Если человек делает после то что по сущности дела должно быть сделано прежде или вовсе пропускает то что не
14. D углерод водород На какие основные группы делятся нефтяные газы в зависимости от преобладания в них ле
15. НИЖНЕВАРТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГУМАНИТАРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ ОТДЕЛЕНИЕ ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЯ И ИС
16. ГХК от УТВЕРЖДАЮ Генеральный директор ФГУП ГХК
17. Жаров из хулиганских побуждений нанес удар ногой в живот Саловой которая находилась на пятом месяце береме
18. Практика создания информационных систем в организациях
19. тематике 10 класс
20. Острый гастрит 2 Хронический гастрит 2

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.