Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекція 7 (перша половина). Пряма на площині. Перетворення координат.
1. Самостійно розібрати тему «Пряма на площині» за наступним планом:
А) Рівняння прямої, заданої нормаллю та точкою.
Б) Загальне рівняння прямої на площині.
В) Неповні рівняння, їх геометричний зміст.
Г) Рівняння прямої у відрізках на осях.
Д) Канонічне рівняння прямої на площині.
Є) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Ж) Нормальне рівняння прямої на площині.
З) Відстань та відхилення точки від прямої.
І) Кут між прямими, умови ортогональності та паралельності двох прямих.
2. Перетворення координат
Перехід до нової системи координат, очевидно, призводить до зміни рівнянь, що описують досліджувані геометричні об’єкти. У випадку прямих та площин заміна однієї ПДСК на іншу принципово не змінює нічого – ми так само матимемо рівняння першого порядку з, можливо, іншими коефіцієнтами. У випадку більш складних геометричних об’єктів це може призвести до суттєвого спрощення чи навпаки ускладнення рівняння. Приміром, всім відоме рівняння кола радіуса із центром у початку координат: . Якщо перенести початок координат у точку , то рівняння кола набуде вигляду , коли ж у ньому розкрити дужки, то впізнати коло у одержаному рівняння буде не так просто. Отже, перетворення або заміна координат – це не самомета, а прагнення спростити для подальшого дослідження вигляд рівняння геометричного об’єкту. Обмежимось поки що розглядом перетворень систем координат на площині. Можна показати, що без зміни орієнтації ПДСК (коли найменший поворот від осі ОХ до осі ОУ відбувається у напрямку проти руху годинникової стрілки) всі можливі перетворення можна звести до послідовного виконання лише двох перетворень, а саме: паралельне перенесення системи координат (її осей) у деяку точку та поворот системи координат на деякий кут . Розглянемо їх.
2.1. Паралельне перенесення системи координат у деяку точку
Розглянемо ПДСК із початком у точці і деяку точку . Позначимо її радіус вектор через . Вважатимемо тепер точку за початок нової ПДСК, вісі якої та паралельні відповідним осям початкової системи координат (див. рис 1). Нехай – довільна точка площини. Її радіус-вектором відносно початкової системи координат є вектор , а відносно нової системи координат – вектор . Очевидно, що , що для координат точки означає або (1)
Рис. 1 Ця формула виражає зв’язок старих та нових координат довільної точки при паралельному перенесення системи координат.
2.2. Поворот системи координат на деякий кут
Розглянемо, як і раніше деяку ПДСК із початком у точці . Повернемо її осі на деякий кут , відраховуючи кут у напрямку проти руху годинникової стрілки (див. рис. 2). Позначимо орти старої та нової систем координат відповідно та . Тоді для будь-якої точки її радіус-вектор є незмінним в обох системах координат: . З іншого боку, як неважко переконатись, для гострого кута , який зображено на малюнку,
. (2)
Рис. 2 Перевірте самостійно, що ця формула справедлива для довільного кута . З формул (2) неважко одержати формули (3)
З виразу для радіус-вектора довільної точки , одержимо: . Оскільки розклад по базису єдиний, то одержимо формули переходу від старої системи координат при повороті системи на кут : (4)
звідси неважко одержати, що (5)
Зауваження. Вираз від координат довільного вектора, який залишається незмінним при перетвореннях координат, називається інваріантом даного перетворення. Очевидно, що довжина вектора є інваріантом обох розглянутих перетворень координат так само, як і скалярний добуток векторів, оскільки він визначається довжинами векторів та кутом між ними. Які ще інваріанти перетворень координат можете назвати ви?
Приклад 1. Знайти координати точки при повороті системи координат на кут та паралельному перенесенні осей у точку .
Координати точки у новій системі координат знайдемо, послідовно застосувавши формули (5) та (1):
. Отже, в новій системі координат маємо .
PAGE 1
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8