Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция VII
1. О черных дырах.
Научное представление о черных дырах возникло к концу 18 века. В 1799 г. Лаплас на основании ньютоновской теории тяготения и предположения о конечной скорости света показал, что достаточно компактное массивное тело будет невидимым для внешнего наблюдателя. Действительно, найдем радиус звезды с массой такой, что она не выпускает на бесконечность даже свет. Согласно Ньютону для полной энергии частицы имеем
(VII.1.1)
На бесконечности , так что
(VII.1.2)
Для света и это уравнение дает
(VII.1.3)
Хотя современное представление о черных дырах как объектах, обладающих горизонтом событий, могло возникнуть только после создания общей теории относительности, формула (VII.1.3) для гравитационного радиуса, полученная в нерелятивистской теории формальной заменой , следует из решения Шварцшильда (1873-1916 гг.), найденного им уже через два месяца после опубликования Эйнштейном уравнений релятивистской теории тяготения.
Нобелевский лауреат 1983 года по физике Субрахманьян Чандрасекар (1910-1995 гг.) в книге “Математическая теория черных дыр” говорит: “Вряд ли я погрешу против истины, утверждая, что черные дыры – это самые совершенные объекты во вселенной. Ведь для их построения достаточно понятий о времени и пространстве”. Действительно, единственными характеристиками этих объектов являются масса, угловой момент и заряд,
, (VII.1.4)
которые связаны с законами сохранения энергии, момента и заряда.
Будем рассматривать только сферически симметричные, невращающиеся, , незаряженные, , черные дыры. Единственной величиной, характеризующей такие черные дыры, является их масса , и, следовательно, гравитационный радиус (радиус Шварцшильда) , см. (VII.1.3)
(VII.1.5)
где масса Солнца. На радиусе Шварцшильда гравитация становится такой сильной, что ничто не может вырваться из ее плена. Область пространства-времени, из которой невозможно уйти на бесконечность (классически) называется черной дырой. Граница этой области – горизонт событий, см. Рис. VII.1.
Рис. VII.1
Любая частица с массой притягивается черной дырой. На горизонте событий энергия связи равна массе покоя, . Если бы это было не так, то оставшуюся часть массы можно было бы использовать, чтобы уйти от горизонта на бесконечность.
Для шварцшильдовской черной дыры можно определить ее площадь
(VII.1.6)
и поверхностную гравитацию
(VII.1.7)
Поверхностная гравитация является аналогом ускорения свободного падения на поверхности Земли или звезды и постоянна на горизонте событий черной дыры.
2. Температура черной дыры.
Рассмотрим тепловую машину, у которой холодильником является черная дыра (Black Hole), а рабочим телом – ящик с черным излучением (radiation), см. рис. VII.2. Цикл Карно состоит в следующем. Будем медленно опускать ящик с равновесным излучением при температуре . Черная дыра совершает работу над механизмом поддержки (ворот, как в колодце). Вблизи горизонта откроем заслонку, чтобы часть излучения упала на дыру, а ящик стал “легче”. Закроем заслонку и поднимем ящик на прежнее место. Работа, совершенная механизмом поддержки во второй стадии будет меньше той, которую произвела черная дыра в первой. Откроем заслонку, чтобы черное излучение в ящике приобрело температуру , и закроем ее. И будем повторять эту процедуру неоднократно. Найдем коэффициент полезного действия такого устройства.
Поскольку ящик опускается медленно, то нет гравитационного излучения и вся работа – это освободившаяся энергия связи. Если бы ящик достиг горизонта, то вся энергия связи была бы равна точно, (масса ящика с излучением). Однако, чтобы можно было поднять ящик к механизму поддержки, надо остановиться на некотором расстоянии от горизонта. В противном случае никакая подвеска не удержит тело от падения в черную дыру. В то же время механизм поддержки может находиться на заданном расстоянии от черной дыры, например, на стационарной орбите.
Рис. VII.2
Пусть средний размер ящика , тогда лучшее, что можно сделать, это остановиться на расстоянии от горизонта. Чтобы можно было использовать нерелятивисткое приближение, потребуем выполнения неравенства
(VII.2.1)
Действительно, в этом случае изменение потенциальной энергии ящика с излучением много меньше энергии покоя,
(VII.2.2)
Энергия связи нашего рабочего тела, центр инерции которого находится на расстоянии от горизонта, равна
, (VII.2.3)
а работа, совершенная над механизмом поддержки,
, (VII.2.4)
Если черная дыра поглощает часть равновесного излучения с энергией , то механизм поддержки совершает работу
, (VII.2.5)
Тогда “чистый” выигрыш в работе равен
, (VII.2.6)
Он получен за счет передачи холодильнику энергии . Таким образом, коэффициент полезного действия машины
, (VII.2.7)
Чтобы получить максимальный коэффициент , нужно сделать расстояние как можно меньше. Однако, если в ящике находится черное излучение при температуре , то есть квантовомеханическое ограничение на минимально допустимые размеры ящика. Размеры ящика должны быть достаточными, чтобы в нем уместились “эффективные” длины волн, в которых заключена основная энергия излучения . Более точно, согласно закону смещения Вина
, (VII.2.8)
где частота электромагнитных волн, отвечающая максимуму распределения энергии согласно формуле Планка, см. формулу (XIII.1.8). Поскольку , , так что
, (VII.2.9)
где некоторая константа, термодинамически неопределимая. Подставляя (VII.2.9) в (VII.2.7) получаем
(VII.2.10)
Сравнение этой формулы с формулой Карно
(VII.2.11)
дает (далее полагаем )
(VII.2.12)
Точное значение получено Хокингом из первых принципов. Аббревиатура может читаться как Black Hole, а также как Bekenstein-Hawking. Бекенштейн был, по-видимому, первый, кто рассмотрел термодинамику черных дыр, а Хокинг теоретически предсказал явление, которое называется “испарением черных дыр”.
Для массивных тел температура Бекенштейна-Хокинга чрезвычайно мала
(VII.2.13)
Следует отметить замечательную особенность черной дыры: при увеличении массы (энергии) она не нагревается, а остывает (отрицательная теплоемкость). Этим же свойством обдадает ньютоновская самогравитирующая система. Здесь нельзя использовать каноническое распределение, а только микроканоническое.
Для черной дыры с массой Солнца
, (VII.2.14)
так что выполняются условия
(VII.2.15)
Первое неравенство оправдывает приближение плоского горизонта событий, см. рис. VII.2, второе – нерелятивистское приближение (VII.2.1), а третье неравенство приведено для справок: радиус Солнца на пять порядков больше, чем гравитационный радиус черной дыры с массой Солнца.
3. Энтропия черной дыры.
Перенос чернотельного излучения является “чистым” переносом тепла без совершения работы. Потеря энтропии излучения
(VII.3.1)
Энтропия, полученая черной дырой равна
(VII.3.2)
Чтобы найти энтропию черной дыры, перепишем уравнение (VII.3.2), используя выражение (VII.2.12) для ее температуры
(VII.3.4)
Интегрируя это уравнение, получаем
, (VII.3.5)
планковская длина. В частности для черной дыры с массой Солнца
(VII.3.6)
В то же время, если считать, что Солнце – идеальный газ, состоящий из нуклонов, тогда согласно (III.4.6)
(VII.3.7)
Здесь , , , так что
(VII.3.8)
Таким образом,
(VII.3.9)
т.е. если Солнце сжать под его гравитационный радиус, то произойдет гигантская потеря информации. Действительно, черная дыра характеризуется лишь одним параметром – ее массой, в то время как Солнце обладает нетривиальной структурой (корона, солнечные пятна, магнитное поле, квадрупольный момент, ядерные реакции солнечного цикла и т.д.). В модели (VII.3.7) структура солнца характеризуется числом частиц (протонов).
4. Четыре закона термодинамики.
Для черных дыр выполняются аналоги всех начал термодинамики:
Нулевое начало термодинамики
0) (VII.4.1)
(поверхностная гравитация постоянна) (в равновесии температура системы постоянна)
Первое начало термодинамики
1) (VII.4.2)
(для шварцшильдовских черных дыр) (при постоянном объеме)
Второе начало термодинамики
2) (VII.4.3)
(закон возрастания энтропии для замкнутых систем)
Третье начало термодинамики
4) (VII.4.4)
теорема Нернста
(Поверхностная гравитация (недостижимость абсолютного
равна нулю, только если ) нуля температуры)
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
горизонт событий