Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 167
Курс лекций по физике. Часть II: Электростатика
Лекция 2. Энергетические
характеристики
электростатического поля
План лекции
2.1. Работа электростатического поля.
2.2. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Потенциал электростатического поля и его связь с напряженностью.
2.3. Локальное описание электростатических полей.
Если в электростатическом поле точечного заряда Q в вакууме из точки 1 в точку 2 перемещается другой точечный заряд Q0 (рис. 2.1), то сила, приложенная к заряду Q0 (со стороны поля заряда Q), совершает работу. Работа силы на элементарном перемещении в вакууме и в итоге получаем . Работа по перемещению заряда Q0 из 1 в 2
(2.1)
Из уравнения (2.1) следует, что А не зависит от траектории перемещения, и при перемещении по замкнутому пути работа А равна нулю, т.е. кулоновские силы – консервативны, а электростатическое поле точечного заряда является потенциальным.
Согласно выражению (2.1), так же получаем, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда в электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.
(2.2)
2.2. Циркуляция вектора напряженности
электростатического поля.
Потенциал электростатического поля
и его связь с напряженностью
При перемещении единичного точечного положительного заряда в электростатическом поле элементарная работа , где – проекция на направление элементарного перемещения. Применяя уравнение (2.2), можно записать
(2.3)
Интеграл называют циркуляцией вектора напряженности, и полученный результат (2.3) означает, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Так как это получено из выражения (2.2), то можно утверждать, что силовое поле, обладающее свойством (2.3), обязательно является потенциальным. Из уравнения (2.3) следует также, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми; они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно, положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.
Ранее отмечалось (см. лекцию 4 раздела I, выражение (4.13)), что в потенциальных полях работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Таким образом, работу (2.2) сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q0 в точках 1 и 2 поля заряда Q, т.е.
, (2.4)
откуда следует, что потенциальная энергия заряда Q0 в поле заряда Q в вакууме равна . Таким образом, так же, как и в механике, здесь потенциальная энергия определяется лишь с точностью до произвольной постоянной. Обычно принято считать, что в бесконечности (при ) (т.е. С = 0) и окончательно: потенциальная энергия заряда Q0, находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна
(2.5)
Из выражения (2.5) следует, что при помещении в некоторую точку А в электростатическом поле поочередно зарядов Q1; Q2; … Qn отношение остается постоянным, т.е. может быть принято за энергетическую характеристику поля в данной точке. Эта величина
= (2.6)
является энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом. При Q0 = 1 Кл (из уравнения (2.6)) имеем = U, т.е. потенциал в какой-либо точке поля определяется как потенциальная энергия единичного положительного заряда, помещенного в рассматриваемую точку. Из формул (2.6) и (2.5) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q в вакууме, равен
= (2.7)
Потенциал является скалярной величиной. Поэтому применение принципа суперпозиции для потенциала поля, созданного системой n зарядов, дает выражение
т.е. потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех n зарядов.
Согласно уравнениям (2.4), (2.6) и (2.7), работу, совершаемую силами электростатического поля при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2, можно представить как
(1 – 2). (2.8)
Величина
= (1 – 2) (2.9)
называется разностью потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле и (в соответствии с (2.9)) определяется работой, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из одной точки поля в другую. Если перемещать заряд Q0 из произвольной точки за пределы поля (т.е. в бесконечность, где по условию (2.7) = 0), то согласно выражению (2.8) 2, откуда
= (2.10)
т.е. потенциал имеет (помимо рассмотренного выше) и такой физический смысл: потенциал определяется работой по перемещению единичного положительного заряда (при удалении его) из данной точки в бесконечность. Из уравнения (2.6) следует, что в СИ единица потенциала 1 Вольт:
Рассмотрим перемещение единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси Х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу. Исходя из формул механической работы в этом случае dA = Еxdх. Согласно уравнению (2.8), эта же работа dA = (1 – 2) =
= – d. Приравнивая оба выражения, получим
(2.11)
По аналогии в декартовой системе координат (x, y, z) можно записать
, (2.12)
где оператор – единичные векторы координатных осей x, y, z.
Введем векторный дифференциальный оператор Гамильтона, обозначаемый греческой буквой (набла) и равный в декартовой системе координат
Тогда вектор напряженности поля = – = – grad.
Для электрических полей, обладающих центральной или осевой симметрией (в сферической системе координат, где отсутствует зависимость от углов),
(2.13)
Таким образом, силовая и энергетическая характеристики электрического поля связаны между собой соотношением (2.13): напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала со знаком «–». Знак «–» определяется тем, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.
Для графического изображения энергетической обстановки в электростатическом поле используются эквипотенциальные поверхности – поверхности, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение. Так как между и существует определенная взаимосвязь (2.13), то и во взаимном расположении элементов графического изображения силовой и энергетической обстановки в электростатическом поле (линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей) должна быть определенная закономерность.
Рассмотрим элементарную работу по перемещению заряда Q вдоль эквипотенциальной поверхности на расстояние dx. Согласно уравнению (2.8) dA = Qd = Q (1 – 2) = 0, так как (1 = 2 = const). В соответствии с формулой механической эта же работа dA равна
Ни одна из величин Q, E, dx не равна нулю, и для выполнения этого равенства необходима реализация условия cos = 0, т.е. вектор должен быть перпендикулярен dx (касательной к эквипотенциальной поверхности). Таким образом, линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям.
В любом электростатическом поле можно провести бесчисленное множество эквипотенциальных поверхностей (так же, как и силовых линий). Обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках (где эти поверхности расположены гуще – напряженность поля больше).
В качестве примера на рис. 2.2 показано взаимное расположение линий вектора и эквипотенциальных поверхностей для поля двух равномерно заряженных параллельных плоскостей (а) и поля точечного заряда (б).
Существующая взаимосвязь между напряженностью поля и потенциалом (2.13) позволяет по известной напряженности поля находить разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля. В качестве примера рассмотрим поле равномерно заряженной бесконечной плоскости, напряженность которой определяется выражением (1.13)
где – поверхностная плотность заряда.
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х1 и х2 от плоскости, согласно уравнению (2.11), равна
1 – 2 = (2.14)
Аналогично, используя выражение (1.13а) для поля двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (расстояние между которыми d), получим, что разность потенциалов между плоскостями равна
1 – 2 = (2.14а)
2.3. Локальное описание
электростатических полей
Для локального описания электростатических полей в данной точке поля Р вводят следующие характеристики поля, полученные из усредненных величин: это дивергенция вектора и ротор вектора
Дивергенцией (или расхождением) вектора называют предел, к которому стремится отношение потока ФЕ вектора через замкнутую поверхность S к величине объема V, ограниченного этой поверхностью, когда объем V стремится к нулю, а поверхность S стягивается к данной точке поля Р, т.е.
Используя оператор Гамильтона , можно записать как скалярное произведение на , и в декартовой системе координат
С помощью теоремы Гаусса можно доказать, что связана с объемной плотностью заряда в данной точке поля следующим соотношением: Это равенство является теоремой Гаусса в локальной или дифференциальной форме и показывает, что источниками электрического поля являются заряды.
Проекция ротора напряженности () в направлении положительной нормали равна пределу, к которому стремится отношение циркуляции по замкнутому контуру l к площади S, охватываемой этим контуром l. Когда площадь S стремится к нулю, а контур l стягивается в точку, тогда , где n – нормаль к плоскости контура l, вдоль которой достигает максимума (). Используя дифференциальный оператор , записывается как векторное произведение на , и в декартовой системе координат равняется
Из равенства нулю циркуляции вектора
можно показать, что в каждой точке электростатического поля и поле является потенциальным.
Рассмотренные выше характеристики электростатического поля и закономерности в их взаимозависимости относились в основном к полю в вакууме. Естественно, что электростатическое поле в веществе имеет свою специфику. Посмотрим, как влияют особенности строения различных веществ на характеристики электростатического поля.
К началу
К следующей лекции К содержанию
К титулу
PAGE 168 Лекция 2. Энергетические характеристики электрического поля