Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция № 2
1.3. Множество действительных чисел. Расширенная числовая прямая
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:
– – множество натуральных чисел;
– – множество целых неотрицательных чисел;
– – множество целых чисел; бесконечное, счетное, упорядоченное множество.
– – множество рациональных чисел;
– – множество действительных чисел;
– – множество иррациональных чисел.
Между этими множествами существует соотношение:
.
Докажем на примере существование иррациональных чисел.
Пример 1. Доказать, что – иррациональное число.
Доказательство. Если бы существовало рациональное число , то его можно было бы записать в виде несократимой дроби , причем должно было бы выполняться равенство , т.е. , но тогда должно быть четным числом , а потому , т.е. . Отсюда следует, что и число четно. Но тогда дробь вопреки предположению сократима. Таким образом, пришли к выводу, что – иррациональное число.
Пример 2. Если – множество площадей многоугольников, вписанных в окружность радиуса , а – множество площадей многоугольников, описанных вокруг той же окружности, то эти числовые множества разделяются единственным числом – площадью круга радиуса .
В школьном курсе математики действительные числа определяют как множество рациональных и множество иррациональных чисел, рациональные числа представляются в виде периодических десятичных дробей, а иррациональные в виде непериодических бесконечных десятичных дробей. Точное определение действительного числа было дано только в 19 веке Р. Дедекиндом, К. Вейерштрассом и Г. Кантором, причем различными способами. Так Дедекинд вводил действительные числа как разбиение множества рациональных чисел на два непустых подмножества. Кантор определял действительные числа с помощью сходящихся последовательностей рациональных чисел. Вейерштрасс рассматривал для этой цели системы стягивающихся отрезков. Для математического анализа существенное значение имеет не способ введения и записи, а свойства множества действительных чисел. Перечислим эти свойства.
Свойства сложения.
1. Для любых чисел определено единственное число , называемое суммой чисел и .
2. Для любых чисел имеет место соотношение (коммутативность сложения).
3. Для любых чисел имеет место соотношение (ассоциативность операции сложения).
4. Существует число такое, что для всех . Число 0 носит название нуль.
5. Для любого числа существует число такое, что .
Свойства умножения.
6. Для любых чисел определено единственное число , называемое произведением чисел и .
7. Для любых чисел имеет место соотношение (коммутативность умножения).
8. Для любых чисел имеет место соотношение (ассоциативность умножения).
9. Существует число такое, что для всех . Число 1 носит название единица.
10. Для любого числа существует число такое, что .
11. Для любых чисел имеет место соотношение (дистрибутивность).
Следствия из свойств сложения и умножения.
1) Для любых чисел имеется ровно одно число такое, что . Число называется разностью чисел и и обозначается . При этом .
2) Для любого числа имеем , .
3) Для любых чисел имеем:
эквивалентно ,
,
.
4) Из следует, что либо , либо .
5) Для любых чисел , где существует единственное число такое, что . Число называется частным от деления на и обозначается .
6) Для любого числа имеем .
7) Для любых чисел равенство эквивалентно тому, что ; кроме того,
, .
8) Для любых чисел и любого выполняется соотношение .
9) Для любого числа справедливо равенство
.
10) Для любых чисел выполняется равенство .
11) .
Свойства порядка.
12. Множество определено отношением строгого порядка: для любых двух различных чисел и имеет место одно из двух соотношений , или .
13. Для любых чисел таких, что и , справедливо соотношение (транзитивность).
14. Для любых чисел таких, что , справедливо соотношение .
15. Для любых чисел таких, что и , справедливо соотношение .
Следствия из свойств порядка.
16. Множество – плотное: между любыми двумя различными числами и содержится хотя бы одно действительное число.
17. Множество – полное (непрерывное). Пусть множество разбито на два непустых множества и таких, что каждое действительное число содержится только в одном множестве и для каждой пары чисел и выполнено неравенство . Тогда существует единственное число , удовлетворяющее неравенству .
Отметим, что множество рациональных чисел обладает свойством плотности, но не обладает свойством полноты.
В современном математическом анализе чаще используют аксиоматический подход к определению действительного числа, предложенный немецким ученым Д. Гильбертом.
Определение 1. Множество элементов, обладающих свойствами 1-17 и содержащее более чем один элемент, называется множеством действительных чисел, а все его элементы – действительными числами.
Это определение однозначно задает множество действительных чисел.
Свойство непрерывности множества действительных чисел позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством и множеством точек на прямой. На прямой выберем точку – начала отсчета, укажем направление отсчета и единицу измерения, тем самым полностью определив числовую ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Каждой точке соответствует координата точки – число равное по величине длине отрезка со знаком , если точка находится справа от начала отсчета и со знаком , если слева.
Расширенная область действительных чисел или, говорят, расширенная числовая прямая состоит из всех действительных чисел и двух символов или точек и .
Напомним понятие модуля действительного числа и его свойства.
Определение 2. Модулем действительного числа называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условию
Для любых справедливы следующие свойства абсолютных величин:
1. , , ;
2. если , то это эквивалентно тому, что ;
3. , ;
4. (неравенство треугольника);
5. .
Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
= – отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
=– интервал (открытый промежуток). При ;
= – полуинтервал (полуоткрытый промежуток);
= – полуинтервал (полуоткрытый промежуток);
= – луч;
=– луч;
=– открытый луч;.
=– открытый луч;.
{x: < x < +} = R – бесконечные интервалы (промежутки).
Числа а и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы - и + не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.
В математическом анализе при доказательстве многих важных утверждений аксиома полноты множества действительных чисел используется в виде принципа Коши-Кантора, называемого леммой о вложенных отрезках.
Определение 3. Система числовых отрезков
, , …, , …, , ,
называется системой вложенных отрезков, если
,
т.е., если
(рис. 1).
Рис. 1
Лемма 1. Всякая система вложенных числовых отрезков имеет непустое пересечение.
Доказательство. Для любых двух отрезков и нашей последовательности имеет место , в противном случае отрезки бы не имели бы общих точек. Таким образом для числовых множеств и выполнены условия аксиомы полноты, в силу которой найдется числотакое, что для любых и выполнено . В частности, для любого . А это и означает, что точка с принадлежит всем отрезкам.
Лемма 2. Для всякой системы вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.
Существование такой точки следует из теоремы 1. Докажем единственность. Предположим противное. Пусть – две точки, обладающие этим свойством. Если они различны и, например , то при любом имеем , поэтому и длина каждого отрезка нашей последовательности не может быть меньше положительной величины . Значит, если в последовательности есть отрезки сколь угодно малой длины, то общая точка у них единственная.
Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка несчетно.
Доказательство. Допустим, что, напротив, множество всех точек отрезка [ 0,1] счетно и все их можно расположить в последовательность а1, а2,…, аn ,… . Имея эту последовательность, построим следующим образом последовательность вложенных друг в друга отрезков. Разделим отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы ни была точка а1,она не может принадлежать сразу трем отрезкам [0, ⅓], [⅓, ⅔], [⅔, 1], и, следовательно среди них можно указать такой, который не содержит точки а1. Этот отрезок мы обозначим через ∆1 , на котором будет содержаться точка а2. Когда таким образом будут построены отрезки ∆1≥∆2≥…≥ ∆n, мы обозначим через ∆n+1 ту из равных частей, на которой не содержится аn+1 и т.д. Система вложенных отрезков по лемме о вложенных отрезках имеет общую точку ξ. Эта точка принадлежит каждому отрезку и, следовательно, не может совпадать ни с одной из точек аn. Но это показывает, что последовательность а1, а2, …, аn ,… не может исчерпывать всех точек отрезка [0, 1], вопреки первоначальному предположению.
Пример 2. Отрезки и эквивалентны. Соответствие устанавливается с помощью отображения
.
Пример 3. Интервал эквивалентен . Соответствие устанавливается с помощью отображения
.
Из теоремы Кантора и примера 3 следует, что множество всех действительных чисел несчетно.
Заметим, что, так как множество рациональных чисел отрезка счетно, следовательно, иррациональных чисел «значительно больше» чем рациональных. Более того, так как иррациональные алгебраические числа составляют счетное множество, то несчетное множество составляют числа, не являющиеся корнями многочленов с рациональными коэффициентами – трансцендентные числа.
Эквивалентные между собой два конечных множества состоят из одинакового числа элементов, т.е. конечные множества можно сравнивать по числу элементов. Но как сравнивать бесконечные множества? Если произвольные множества и эквивалентны, то говорят, что множества и имеют одинаковую мощность, таким образом, мощность – это то общее, что есть у всех эквивалентных между собой множеств. Мощность множества обозначается . Мощность счетного множества обозначается א0 (алеф-нуль). Множества эквивалентные отрезку называются множествами мощности континуум. Мощность континуум обозначается буквой .
Примеры 1 и 3 показывают, что часть множества может быть эквивалентна всему множеству. Это свойство характерно для всех бесконечных множеств. Пусть множества и неэквивалентны, но в есть подмножество эквивалентное , тогда говорят, что мощность больше мощности : .
Из свойства 3 следует, что из всех бесконечных множеств счетные множества имеют наименьшую мощность, а из теоремы Кантора и свойства 3 следует, что C>א0.
При сравнении бесконечных множеств используются следующие две наиболее важнейшие теоремы – теорема Кантора-Бернштейна и теорема 4.
Теорема Кантора-Бернштейна. Пусть и – два произвольных множества. Если в имеется подмножество А1~В, а в имеется подмножество В1~А, то множества и эквивалентны между собой.
Теорема . Множество всех подмножеств множества имеет мощность большую, чем мощность множества .
Рассмотрим конечное множество , содержащее элементов, и подсчитаем, сколько у него будет подмножеств. Будем использовать формулу числа сочетаний , выражающую число способов выбора k элементов из элементов. Имеем пустое подмножество , кроме того, имеются:
– одноэлементных подмножеств,
– двухэлементных подмножеств,
…………………………………………………….
– -элементных подмножеств,
…………………………………………………….
– ()-элементных подмножеств,
– само множество . Итого у множества имеется подмножеств.
Если теперь – бесконечное множество мощности , то по аналогии со случаем конечного множества мощность множества всех его подмножеств обозначают .
На основании теоремы 3 можно показать, что множество всех вещественных функций на отрезке имеет мощность большую чем , а именно , и более того, множеств с наибольшей мощностью не существует.
1.4. Ограниченные числовые множества. Точные грани числовых множеств
Определение 1. Числовое множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует число () такое, что для всех выполняется неравенство ().
Определение 2. Числовое множество, которое ограничено и сверху и снизу, называется ограниченным. Примерами ограниченных числовых множеств являются отрезок, интервал, полуоткрытый промежуток.
Число () называется верхней (нижней) границей множества .
Определение 3. Наименьшая из верхних границ непустого ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью этого множества и обозначается (supremum).
Теорема 1. Непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, притом единственную.
Теорема 2. Для того чтобы число было точной верхней гранью непустого числового множества , необходимо и достаточно, чтобы:
1) для всех выполнялось неравенство ;
2) для любого действительного числа нашлось такое , что .
Определение 4. Наибольшая из нижних границ непустого ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается (infimum).
Теорема 3. Непустое множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань, притом единственную.
Теорема 4. Для того чтобы число было точной нижней гранью непустого числового множества , необходимо и достаточно, чтобы:
1) для всех выполнялось неравенство ;
2) для любого действительного числа нашлось такое , что .
Пример 1. Пусть , и , тогда
и .
Этот пример показывает, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.
Пример 2. Пусть . Докажем, что , .
Решение. Для любого натурального числа имеем , а потому 1 – одна из верхних граней для . Предположим теперь, что . Тогда найдется такое , что . С другой стороны, , а потому при имеем . Из этого неравенства следует, что . Мы нашли, таким образом, элемент , такой, что . Итак, для множества и числа 1 выполнены оба сформулированных выше утверждения, и потому . Само число 1 не принадлежит .
Далее, имеем . Отсюда видно, что при увеличении разность увеличивается. Значит, наименьшее значение разности достигается при , и это значение равно . Таким образом, – наименьший элемент множества , а потому .
PAGE 5
EMBED