Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ
(образован в 1953 году)
Кафедра физики
Гладской В.М.,Самсонов Г.А.,
Дмитриева В.Ф.,Самойленко П.И.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Лекции по дисциплине
«Физические основы технологических процессов
в пищевой промышленности»
Для механических и технологических
специальностей
www.mgutm.ru
Москва – 2010
УДК 53
© Гладской В.М., Самсонов Г.А., Дмитриева В.Ф., Самойленко П.И. Физические основы технологических процессов в пищевой промышлен-ности. Лекции по дисциплине «Физические основы технологических про-цессов в пищевой промышленности». Для механических и технологических специальностей. – М.: МГуту, 2010 .
В работе изложены основные вопросы по физике. В пособии даны общие методические указания по работе над курсом физики, список литературы, рекомендуемой для изучения курса, рабочая программа дисциплины, учебные материалы по разделам курса, вопросы для самоконтроля, тесты к каждому разделу, примеры решения типовых задач.
Пособие предназначено для студентов всех форм обучения механических и технологических специальностей.
Авторы: Гладской Владимир Матвеевич, Самсонов Геннадий Алексеевич, Дмитриева Валентина Феофановна, Самойленко Петр Иванович.
Рецензент: к.ф.-м.н., Антипин Е.Л.
Редактор
© Московский государственный университет технологий и управления , 2010. 109004, Москва, Земляной вал, 73.
Оглавление
Введение………………………………………………………………………..4
Глава I. Агрегатные состояния вещества. Фазы и фазовые переходы……..4
Понятие о фазах и фазовых переходах………………………………5
Молекулярные представления о структуре вещества……………...9
Твердые тела…………………………………………………………12
Свойства жидкостей…………………………………………………16
Давление и вязкость в жидкой фазе………………………………...16
Поверхностное натяжение…………………………………………..20
Смачивание и капиллярные явления……………………………….21
Основы гидрогазодинамики……………………………………………24
Особенности течения вязкой жидкости. Ламинарное и турбулентное течения………………………………………………26
Движение тел в жидкостях и газах. Метод Стокса определения вязкости жидкости…………………………………………….27
Глава II. Теплоемкость ……………………………………………………29
Теплоемкость газов. Закон Майера………………………………30
Теплоемкость кристаллов. Классические представления о тепло- емкости кристаллов:закон Дюлонга-Пти……………………31
Квантовые представления о теплоемкости кристаллов:
теплоемкость по Эйнштейну……………………………………….32
Квантовые представления о теплоемкости кристаллов:
теплоемкость кристаллов по Дебаю. Закон кубов
температуры…………………………………………………………35
Глава III. Теплопроводность………………………………………………….36
Молекулярно-кинетическая теория теплопроводности в газах…36
Теплопроводность кристаллов. Неэлектропроводные вещества..37
Теплопроводность кристаллов. Металлические кристаллы……..38
Глава IV. Диффузия……………………………………………………………39
Глава V. Математическая постановка задач по расчету распределений температур и концентраций………………………………………...43
Литература………………………………………………………………………44
Технология – совокупность приемов и способов получения, обработки и переработки сырья, материалов, полуфабрикатов или изделий, осуществляемых в различных отраслях промышленности, в строительстве и т.п.… В состав современных технологий включается и технический контроль производства.
Краткая Российская энциклопедия. Т.3. 2004.
Введение
В технологических процессах пищевого производства большое место за-нимают достижения физических наук. Если с понятием технологии связы-вать только процесс непосредственной переработки исходного пищевого сырья в конечный продукт, то, конечно, перечень применяемых физических явлений не будет очень широким. Как правило, это процессы разрушения структуры, нагревания или охлаждения, испарения, сублимации, разделения фаз разной плотности во вращающейся среде. Однако, если исходить из со-временного понятия технологии, то перечень используемых физических яв-лений будет существенно расширен, в основном за счет способов контроля производственного процесса.
Целью настоящего курса является углубление знаний студентов о физи-ческих явлениях, положенных в основу технологических процессов пищево-го производства. К сожалению, во временных рамках курса практически не-возможно дать глубокое освещение всех физических явлений, возможных для использования в технологиях пищевого производства ( в современном понимании термина «технология» ). Поэтому авторы курса лекций огра-ничились основополагающими разделами, которые дали бы базу для даль-нейшего углубления знаний студентов в процессе самоподготовки
Глава I. Агрегатные состояния вещества. Фазы и фазовые переходы
Агрегатными состояниями вещества считают газообразное, жидкое и твердое состояния, переходы между которыми сопровождаются скачкообразным изменением физических характеристик (плотности, молекулярного строения и т.п.). Однако, изменение физических характеристик может происходить и без изменения агрегатного состояния. Примеры – олово, алмаз. Охлаждение расплава олова от приводит к переходу от жидкого состояния к твердому. При дальнейшем охлаждении при температура происходит резкое уменьшение плотности на , т.е. олово, оставаясь твердым, переходит в другое состояние. Нагрев алмаза при естественных условиях приводит к уменьшению его плотности от ≈ 3,5 г/см3 до ≈ 2,2г/см3 при температуре 600 – 700 0С, при этом алмаз теряет свои свойства: экстремальную твердость, прозрачность, и превращается в графит. Кроме того, алмаз не проводит электрический ток, а графит - электропроводен. В обоих случаях изменение свойств связано с перестройкой микроструктуры.
Поэтому в физике для более точного определения состояния вещества вводится понятие фазы.
Понятие о фазах и фазовых переходах
Для формулировки понятия о фазе следует ввести понятие о термодина-мической системе. Термодинамическая система – макроскопическое тело или его часть, которые можно характеризовать макроскопическими параметрами: объёмом, температурой, давлением и т. п. Термодинами-ческая система должна состоять из достаточно большого числа частиц, находящихся в состоянии хаотического движения, для описания поведения которых можно использовать статистические методы.
Фаза – однородная по химическому составу и физическим свойствам часть термодинамической системы, отделённая от других частей термодинамической системы границей раздела. Понятие фазы более конкретно отражает состояние вещества, чем понятие агрегатного состояния. Очевидно, фаза не изменяется при изменении термодинамических характеристик: температуры, давления и т.д., до тех пор, пока есть ограничивающая ее граница раздела. При исчезновении границы раздела прежняя фаза переходит в новую фазу, т.е. происходит фазовое превращение или фазовый переход.
Фазовый переход – процесс перехода вещества из одной фазы в другую при определенных значениях внешних параметров: температуры, давления, электрических и магнитных полей и т.п. В частности, фазовый переход может сопровождаться изменением агрегатного состояния вещества: плавление или кристаллизация, испарение или конденсация. В процессе фазового перехода в течение некоторого времени могут сосуществовать различные фазы вещества. Например, при температуре плавления могут сосуществовать жидкая, твердая фаза, а также в небольшом количестве газообразная фаза.
Фазовые переходы разделяются на переходы первого и второго рода.
Фазовыми переходами первого рода называются процессы, при которых плотность вещества, энтропия, термодинамические потенциалы изменяются скачком. При этом выделяется или поглощается некоторое
количество теплоты, называемое теплотой фазового перехода. Примерами
фазовых переходов первого рода являются плавление и испарение и, обрат-ные им, процессы кристаллизации и конденсации, а также сублимация и по-лиморфные превращения - изменения кристаллической решетки кристал-лов. При фазовых переходах второго рода указанные выше термодинами-
ческие характеристики не изменяются, но изменяются скачкообразно другие характеристики: теплоемкость, магнитная проницаемость, электропровод-ность, текучесть. Поглощения или выделения тепла при фазовых переходах второго рода не наблюдается.
Для графического изображения процессов фазовых переходов исполь-зуются, так называемые, диаграммы состояния (Рис. 1), на которых в коор-динатах давление(p) –температура(T) представляются зависимости темпе-ратур плавления (I), испарения (II) и сублимации (III) от давления. Диаграм-ма состояния для каждого вещества индивидуальна. На (Рис. 1) представлена типичная диаграмма состояния для простого однокомпонентного вещества. Диаграммы состояния позволяют анализировать, какие фазы находятся в термодинамическом равновесии при заданных значениях давления и тем-пературы. Давление pтр и температура Tтр соответствуют тройной точке, в которой в равновесии находятся три фазы: твердое тело, жидкость и пар.
Рассмотрим фазовые переходы с использованием диаграммы состояния (Рис. 2). Пусть состояние некоторой термодинамической системы (твердого тела) определяется точкой 1 на диаграмме. При нагреве придо тем-пературы, соответствующей точке 2, происходит плавление. Дальнейший
нагрев до температуры, соответствующей точке 3, приводит к переходу сис-темы в газообразное состояние. Нагрев системы от точки 3 до точки 4 не со-провождается какими-либо фазовыми переходами. Если исходное состояние твердого тела определяется точкой 5, то при его нагревании до температуры, соответствующей точке 6, будет происходить сублимация (возгонка), т.е. прямой переход из твердого состояния в газообразное.
Следует отметить, что над поверхностью твердой или жидкой фазы всегда имеется небольшое количество газа одноименного вещества, который не находится в состоянии термодинамического равновесия.
Зависимость температуры системы от времени можно представить диа-граммой в координатах (Т,t) (Рис.3), которая представляет динамику нагрева термодинамической системы в процессе, представленном точками 1 – 2 –
Рис. 3.
3 – 4 на рис.2. Участок А графика (Рис. 3) представляет процесс нагрева до
температуры плавления (T1). В процессе плавления (участок B) температура системы остается равной Tплавл. до полного превращения твердой фазы в жидкую. Процесс сопровождается поглощением теплоты – теплоты плавления. Участок C представляет нагрев полученного количества жидкой фазы до температуры испарения (T2). Процесс испарения (участок D) проходит при постоянной температуре Tисп до полного превращения жидкой фазы в пар с поглощением теплоты испарения. Участок E соответствует нагреву полученного количества газовой фазы.
Если двигаться по графику в обратном направлении от точки 4 к точке 1, т.е. уменьшать температуру системы, то на участке D будет происходить конденсация пара с выделением теплоты конденсации, а на участке B кристаллизация жидкости с выделением теплоты кристаллизации.
Теплоты соответствующих фазовых переходов прямых и обратных процессов одинаковы: теплота плавления равна теплоте кристаллизации, а теплота испарения - теплоте конденсации. Температуры конденсации и кристаллизации равны соответственно температурам испарения и плавления.
Связь термодинамических параметров системы при фазовых переходах первого рода в химически однородных веществах описывается уравнением Клапейрона-Клаузиуса:
,
где - удельная теплота фазового перехода; и - давление и температура; ΔVф - разность удельных объемов фаз.
Молекулярные представления о структуре вещества
Известно, что электрический заряд атома или молекулы в целом равен нулю. Однако, это утверждение справедливо лишь на больших расстояниях. Происходит это по той причине, что электронная оболочка атома не полно-стью экранирует заряд атомного ядра и за пределами атома имеется элект-рическое поле, являющееся суперпозицией двух полей. Распределение потен-циальной энергии ( E ) и силы взаимодействия частиц ( F ) в этих полях ка-чественно представлено на рис. 4. Практически напряженность электри-ческого поля, создаваемого атомами или молекулами, равна нулю на рас-стоянии r, равном нескольким диаметрам, а следовательно, равна нулю и сила их электрического взаимодействия. При сближении атомов или моле-кул на меньшее расстояние возникает сила притяжения (Рис. 4), которая
после прохождения через точку минимума потенциальной энергии ( r = r0) становится силой отталкивания. Дальнейшее сближение приводит к резкому увеличению силы отталкивания вследствие взаимодействия электронных оболочек. В точке минимума потенциальной энергии ( r = r0) сила взаимо-действия частиц равна нулю, поэтому частицы, находящиеся на таком рас-стоянии друг от друга, могут при определенных условиях создавать связан-ную пару. Величина r0 имеет порядок 10-9 м.
Устойчивому положению взаимодействующих атомов или молекул соответствуют следующие условия:
Кинетическая энергия частицы, обусловленная тепловым движением, Ек пропорциональна kT. Поэтому структура совокупности молекул, т.е. агрегатное или фазовое состояние вещества будут зависеть от соотношения величин минимальной потенциальной энергии Еп min и kT.
1. Если kT << Еп min (в случае низких температур), то молекулы притя-нутся друг к другу и расположатся вплотную – вещество будет находиться в твердом состоянии.
2. В противоположном предельном случае высоких температур (kT >> Еп min) интенсивное тепловое движение молекул будет препятствовать соединению молекул в агрегаты. При соударении молекул эти агрегаты бу-дут моментально разбиваться и вещество будет находиться в газообразном состоянии. Кроме того, при достаточно большой кинетической энергии нале-тающей частицы рассеяние можно представить, как отражение от круто на-растающей «потенциальной стенки». Это является физическим обоснова-нием одного из положений модели идеального газа об абсолютной упру-гости столкновений молекул.
Приведенные здесь соображения о молекулярном строении вещества позволяют объяснить процессы фазовых переходов первого рода.
В твердой фазе, как было указано выше, молекулы или атомы находятся в связанном состоянии на расстояниях примерно равных r0. Тепловое движе-ние в этом случае проявляется в форме колебаний около положения равнове-сия в точке минимума потенциальной энергии r = r0 (Рис. 4) . Амплитуда ко-лебаний пропорциональна тепловой энергии kT. При увеличении темпера-туры отклонения частицы от положения r = r0 становятся настолько значи-тельными, что сила взаимодействия не может обеспечивать нахождение час-тиц в непосредственной связи друг с другом и при T = Tплавл происходит переход твердой фазы в жидкость. В процессе плавления тепловая энергия, передаваемая системе, расходуется только на разрушение структуры твердой фазы, поэтому дальнейшего повышения температуры не происходит до тех пор, пока в системе остаются связи, характерные для твердой фазы.
Повышение температуры сверх T = Tплавл связано с нагреванием жидкости. Характер теплового движения частиц ещё можно приблизительно считать колебательным, но уже не периодическим. При достижении температуры T = Tисп взаимодействующие частицы могут расходиться на такие расстояния, что силы взаимодействия оказываются недостаточными для удержания частиц в какой-либо близости друг от друга. Таким образом система переходит в газообразное состояние. Температура системы остается неизменной ( T = Tисп ) до тех пор, пока остатки жидкой фазы не перейдут в газообразное состояние. По окончании процесса испарения температура снова может повышаться, но при этом будет происходить нагрев уже газовой фазы. Причем, чем выше температура, тем ближе взаимодействие частиц будет приближаться к модели идеального газа. Верхним пределом температуры нагрева газа является температура начала ионизации газовых молекул, при которой газ переходит в состояние плазмы. Характер поведения плазмы имеет свои особенности, не учитываемые в настоящем рассмотрении.
Если систему охлаждать, начиная с газообразного состояния, то все из-ложенные выше рассуждения справедливы с точностью до наоборот. При снижении температуры до T = Tконд = Tисп происходит фазовый переход конденсации обратный испарению, при T = Tкрист = Tплавл процесс кри-сталлизации - обратный процессу плавления.
Твердые тела
Особенностью твердых тел, отличающей их от газов и жидкостей, являя-ется способность сохранять форму за счет внутренних сил. Однако, за таким простым определением скрывается большое разнообразие объектов, которое удовлетворяют указанному свойству. По признаку структуры это разнооб-разие разобьем на следующие группы: кристаллические тела (поли- и монокристаллические), аморфные тела, полимеры и композиты. Рассмотрим вкратце их свойства.
Кристаллические вещества. Кристаллические вещества имеют правильную, упорядоченную структуру в областях различной протяженности. Упорядоченно расположенные молекулы и атомы соответствуют минимальной потенциальной энергии частиц и являются наиболее стабильными образованиями. Эти, упорядоченно расположенные частицы, образуют пространственную кристаллическую решетку, т.е. регулярное расположение частиц (атомов, молекул, ионов), характеризующееся периодической повторяемостью в трех измерениях.
Кристаллические решетки классифицируются как по характеру физических связей частиц, их составляющих, так и по пространственному расположению частиц.
По характеру связи атомов в твердом теле кристаллы подразделяются на:
- атомные – в узлах решетки расположены нейтральные атомы, связан-ные между собой ковалентными (гомеополярными) связями;
- молекулярные – в узлах расположены молекулы, связанные ван-дер-ваальсовыми силами;
- металлические – в узлах расположены положительные ионы метал-лов и связь между ними осуществляется через посредство электронного «газа», создаваемого в металле валентными электронами;
- ионные - в узлах кристаллической решётки расположены правильно чередующиеся ионы, составляющие молекулу с ионной связью ( например ионы Na+ и Cl- в кристалле NaCl ), в этом случае ионы создают свои периодические структуры, которые пространственно совмещаются в еди-ную решетку кристалла;
- кристаллы с водородными связями, которые формируются молеку-лами, имеющими в своей структуре атом водорода, связанный ковалентной связью с электроотрицательным атомом ( кристаллы льда, кристаллы слож-ных органических и биологических веществ).
Таблица. Энергии связи кристаллов различного типа
|
Тип кристалла |
Энергия связи(кДж/моль) |
|
Ионные( NaCl, LiF, оксиды ) |
754 ( NaCl ) 1006 ( LiF ) |
|
Валентные ( атомные )( C, Si,Ge ) |
712 ( алмаз ) |
|
Металлические( Na, Fe, Cu ) |
110 ( Na ) 394 ( Fe ) |
|
Кристаллы с водородными связями ( H2O, HF и т.п.) |
20 |
|
Молекулярные( Ar, CH4 ) |
7,54 ( Ar ) 10,06 ( CH4 ) |
Молярные энергии связи различных типов кристаллов, характеризую-щие прочность связей атомов и молекул в структуре кристаллов, приведены в таблице.
Рис. 5.
Кристаллическую решетку можно получить геометрически, если провес-ти три системы параллельных плоскостей, пересекающихся между собой под углами α, β и γ, а также отстоящих друг от друга на расстояния a, b и c.
Примеры элементарных ячеек, образованных соседними парами плоскостей, приведены на рис. 5.
В зависимости от соотношения между a, b и c, а также от углов α, β и γ различают 7 кристаллографических систем (сингоний) (Рис. 5).
1. Кубическая (или правильная) – a = b = c; α = β = γ =900 (Рис. 5б).
2. Гексагональная. 3. Тетрагональная. 4. Тригональная. 5. Ромбическая.
6. Моноклинная. 7. Триклинная - a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠900 (Рис. 5а).
Наиболее простыми и распространенными кристаллическими решет-ками являются кубические решетки, которые бывают простыми, объемоцент-рированными (о.ц.к.) и гранецентрированными (г.ц.к.). В простой кубической решетке частицы располагаются в вершинах куба. В решетке о.ц.к. к части-цам, расположенным в вершинах, добавлены частицы в центрах кубов, а в решетке г.ц.к. - в центрах граней кубов. В каждой ячейке решетки содер-жится: для простой кубической решетки - 8 частиц, для о.ц.к. решетки - 9 и для г.ц.к. решетки - 14 частиц.
В большинстве случаев кристаллические вещества состоят из множе-ства хаотически ориентированных друг относительно друга отдельных мел-ких кристаллов (зерен или кристаллитов). Такие структуры называются по-ликристаллами. При определенных условиях кристаллизации упорядо-ченная кристаллическая структура может занимать значительный объем и называется монокристаллом.
Более частое образование поликристаллов обусловлено особенностью естественного процесса кристаллизации. При кристаллизации из расплава вещества необходимо не только снижать температуру, но и иметь центры кристаллизации. Образование кристаллов вокруг отдельных центров происходит хаотически. Поэтому в больших объемах поликристаллов, охватывающих большое количество кристаллитов, свойства вещества изотропны ( одинаковы в среднем во всех направлениях ).
Монокристаллы встречаются как в природе (крупные алмазы, горный хрусталь, кристаллы драгоценных минералов), так и в технике. В последнем случае их выращивают по специальной технологии.
Аморфные вещества. Структура аморфных веществ полностью соответ-ствует структуре жидкостей, т.е. взаимодействие между молекулами обеспе-чивает только ближний порядок. Поэтому свойства аморфных тел не зависят от направления (изотропны). Однако, в отличие от жидкостей подвижность молекул в аморфных веществах мала. Образование аморфных твердых тел объясняется высокой вязкостью исходных жидкостей при температурах, близких к температуре кристаллизации. Поэтому структурная перестройка жидкости не успевает отслеживать снижение температуры. В результате жидкость оказывается переохлажденной и в отсутствие центров кристалл-лизации сохраняет структуру, характерную для жидкости. Примерами аморфных веществ является стекло, аморфный углерод (уголь), смолы и т.п. Аморфное состояние вещества не является стабильным и может переходить в кристаллическое. Так стекло со временем начинает кристаллизоваться и мут-неет.
Полимеры. Из химии известно, что некоторые простые молекулы орга-нических веществ, такие как этилен, винилхлорид, стирол и т.п., склонны к полимеризации, т.е. к образованию при определенных условиях длинных цепей их простых молекул, объединенных химическими связями. Линейные молекулы полимера могут взаимодействовать между собой за счет сил притя-жения отдельных участков цепей или, при использовании некоторых техно-логий, можно получить химические связи между цепями. Например, давно известный процесс вулканизации, позволяющий получать из природного по-лимера каучука техническую резину за счет поперечных химических связей линейных цепей посредством атомов серы.
Композиты. Материалы достаточно новые, но получившие признание во многих отраслях техники и прежде всего в космической и авиационной. Принцип построения композитных материалов заключается в следующем. Если тончайшие нити какого-либо высокопрочного материала, например, стекла, углерода, связать между собой в единый монолит каким-либо связующим веществом, то полученный материал будет обладать высокой прочностью при относительно малом весе. На основе этой идеи были получены такие материалы, как стекло- и углепластики.
Свойства жидкостей
В отношении молекулярного строения жидкости занимают промежуточное положение между твердыми телами и газами. Вследствие специфики взаимодействия между молекулами в жидкой фазе последняя обладает следующими особенностями:
а) жидкая фаза не имеет упорядоченной структуры, во всяком случае в областях, имеющих размеры более несколких межмолекулярных расстояний ( ~10-9 м );
б) жидкая фаза устойчива для деформации растяжения-сжатия и абсолютно неустойчива относительно деформации сдвига, поэтому даже незначительная по величине сдвигающая сила приводит к перемещению слоев жидкости относительно друг друга;
в) вследствие последнего обстоятельства жидкости текучи, но практически несжимаемы.
Давление и вязкость в жидкой фазе
Как уже известно из курса физики, давление и вязкость газов обуслов-лены переносом импульса молекулами, находящимися в хаотическом тепло-вом движении. Подобные же процессы имеют место и в жидкостях. Учиты-вая, что свободного пробега молекулы в жидкости не существует, а ампли-туды тепловых колебаний связанных молекул на несколько порядков мень-ше, чем длина свободного пробега в газах, вклад этих процессов в перенос импульса мал. Однако, при увеличении температуры и приближении ее к
температуре испарения перенос импульса за счет теплового движения молекул возрастает. Давление в жидкости при температурах ниже тепературы испарения определяется действием внешних сил, в частности, силой тяжести. Давление p в точке объема покоящейся жидкости, находящейся в поле силы тяжести, на глубине h (рис. 6) - гидростатическое давление, определяется отношением веса столба жидкости F, находящейся выше заданной точки, к площади площад-
ки S, выделенной в этой точке (рис. 6). Т.е.
,
где - плотность жидкости; - ускорение свободного падения.
Аналогичное явление, конечно, наблюдается и в газах,
находящихся в поле силы тяжести. Однако, вследствие ма-
лой плотности газов гидростатическое давление в них становится существенным только при очень больших значениях h. Достаточно заметить, что давление, создаваемое на поверхности Земли многокилометровым столбом воздуха, равно давлению водяного столба высотой около 10м.
Передача гидростатического давления в различных направлениях определяется зконом Паскаля.
Закон Паскаля. Давление в любой точке покоящейся жидкости пере-
дается одинаково по всем направлениям (рис. 7).
Рассмотрим силы, действующие на куб со стороной а, не содержащий жидкости и помещенный в жидкость с плотностью на глубину от поверхности.
На боковые грани куба будут действовать
силы взаимно уравновешивающиеся. Сила, действующая на нижнюю грань, направлена вверх и равна . Сила, действующая на верхнюю грань направлена вниз. Результирующая сила равна и направлена вверх. Из этих рассуждений следует закон Архимеда.
Закон Архимеда. На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила равная весу вытесненной им жидкости.
Законы Паскаля и Архимеда справедливы и для газов.
Рассмотрим механизм проявления вязкости или внутреннего трения в жидкости. В газах сила внутреннего трения или вязкости определяется урав-нением Ньютона: , где - сила внутреннего трения; u – ско-рость направленного движения в каждой точке потока газа, движущегося в направлении координатной оси x; - поперечное изменение скорости на-правленного движения потока газа; - коэффициент динамической вязкос-ти. Производная обусловлена переносом проекции компоненты импуль-са направленного движения газа за счет теплового движения молекул. В жид-костях, вследствие отсутствия свободного пробега молекул, такой перенос невозможен. Однако, следует иметь ввиду, что в жидкостях молекулы отно-сительно сильно связаны взаимодействием ближнего порядка. Поэтому моле-кула, движущаяся в некотором направлении за счет внешней силы, будет
вовлекать в направленное движение другие молекулы, находящиеся в бли-жайшем окружении, за счет силы взаимодействия. Процесс вовлечения моле-кул жидкости в направленное движение со скоростью u представлен схема-тически на рис. 8. Стрелками условно обозначены силы притяжения-отталки-вания между молекулами.
Представим мысленный эксперимент, схема которого приведена на рис. 9. Внешняя сила F, необходимая для приведения в движение со ско-ростью u0 верхней пластины, пропорциональна её площади S, скорости u0 и обратно пропорциональна расстоянию d между подвижной и неподвижной
пластинами. Таким образом , где коэффициент пропорциональ-ности - динамическая вязкость жидкости. Если перейти к градиенту скорости , то для жидкости, также как для газа, получим уравнение Ньютона: . Сила внутреннего трения в жидкости пропорциональна поперечному градиенту скорости поступательного движения жидкости и площади контакта движущихся слоев.
Несмотря на кажущуюся идентичность законов, описывающих внутрен-нее трение в газах и жидкостях, они описывают явления с существенно раз-ными механизмами. Поэтому выводы, получаемые для газовой и жидкой фазы могут оказаться различными. В частности, в газах с увеличением тем-пературы усиливается взаимодействие движущихся слоев и коэффициент вязкости . В жидкостях же с увеличением температуры увеличивается расстояние между молекулами, вследствие чего уменьшается эффективность их взаимодействия и коэффициент вязкости быстро уменьшается в соответ-ствии с законом , где W – энергия взаимодействия молекул жидкости, препятствующая их сдвигу друг относительно друга; k - постоян-ная Больцмана.
В некоторых случаях вместо коэффициента динамической вязкости используется коэффициент кинематической вязкости равный .
Поверхностное натяжение
В неподвижной жидкости на каждую молекулу действуют силы притя-жения ближайшего окружения (рис. 10). Поскольку в обычных жидкостях не
существует выделенных направлений, то силы взаимодействия внутри жид-кости скомпенсированы. Для молекул, находящихся вблизи поверхности жидкости, условие компенсации действующих сил нарушается и равно-действующая направлена внутрь объема жидкости. Таким образом поверх-ностный слой жидкости обладает дополнительной потенциальной энергией, которая называется поверхностной энергией. Очевидно, что суммарная по-тенциальная энергия пропорциональна площади поверхности : . Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом по-верхностного натяжения. Размерность σ - Дж/м2 или Н/м. Можно пока-зать, что коэффициент поверхностного натяжения равен силе, приходящейся на единицу длины контура, ограничивающего площадь поверхности жидкости.
Известно, что условием устойчивого состояния системы является минимум потенциальной энергии. Для поверхностной энергии минимум достигается при минимальной величине поверхности, ограничивающей жидкость, т.е. в случае, когда поверхность жидкости сферическая. Поэтому в невесомости жидкость принимает форму шара. Это обстоятельство также доказывает то, что давление в жидкостях обусловлено, в основном, внешними силами. ( Давление газа проявляется в условиях невесомости в той же мере, что и на поверхности Земли. )
Поверхностное натяжение в жидкости уменьшается с повышением тем-пературы, а также при добавке поверхностно-активных веществ. Добавки таких веществ, как сахар или соль, приводит к увеличению коэффициента поверхностного натяжения.
Смачивание и капиллярные явления
Взаимодействие жидкости с поверхностью твердого тела сопровожда-ется изменением формы свободной поверхности жидкости. Причем эти из-менения обусловлены соотношением между силами взаимодействие моле-кул жидкости между собой, с одной стороны, и силами притяжения молекул жидкости и твердого тела с другой (точнее молекул на поверхности твердого тела). Если силы притяжения молекул жидкости к поверхности твердого тела больше, чем силы притяжения между молекулами жидкости, то имеет место смачивание (рис. 11А). В противоположном случае силы межмолекулярного взаимодействия в жидкости слабо возмущаются воздействием поверхност-ного слоя твердого тела и площадь контакта стремится к минимуму (рис. 11Б). В обоих случаях свободная поверхность жидкости в отсутствии внеш-
них сил формируется силой поверхностного натяжения. Взаимодействие жидкости с поверхностью твердого тела, обусловленное силами межмо-лекулярного притяжения, называют смачиванием или несмачиванием. Смачивание (несмачивание) поверхности твердого тела жидкостью харак-теризуется краевым углом , т.е. углом между касательными к поверх-ности твердого тела и свободной поверхности жидкости на границе раздела. Если , то говорят о полном смачивании. В этом случае жидкость стре-мится растекаться по поверхности твердого тела без всякого воздействия внешних сил. При имеет место полное несмачивание. Поверхность
жидкости в этом случае в отсутствии внешних сил стремится к сферической. Влияние внешних сил, например силы тяжести, приводит к отклонению фор-мы поверхности от сферической. В частности, даже при полном несмачива-нии в месте контакта формируется круговая площадка контакта Sконт . При уменьшении массы капли жидкости и влияния силы тяжести площадка стя-гивается в точку(Sконт→0). Смачивание (несмачивание) поверхности твердо-го тела жидкостью строго индивидуально, более того, сильно зависит от сос-тояния поверхности твердого тела
На границе свободной поверхности жидкости, помещенной в сосуд, име-ют место краевые эффекты проявляющиеся в искривлении ее поверхности из-за взаимодействия со стенками сосуда ( рис. 12 ).
Сосуды, расстояние между стенками которых таково, что свобод-ная поверхность жидкости не имеет плоских участков, называют ка-пиллярами. Капилляры могут иметь цилиндрическую или плоскую фор-му. Их условия минимума потенциальной энергии на свободной поверхно-сти жидкости она будет иметь форму сферы или цилиндра с радиусом кри-визны, направленным внутрь жидкости или наружу. Направление кривизны связанно с явлениями смачивания или несмачивания жидкостью стенок ка-пилляра ( рис. 13 ).
Искривление свободной поверхности жидкости в капиллярах создает изменения давления, обусловленные поверхностным натяжением жид-кости, т.е. молекулярными силами. Изменения давления обратно пропор-ционально радиусу кривизны поверхности и равно: - для сфери-ческой поверхности или - для цилиндрической поверхности. При-чем знак зависит от того, выпуклая поверхность жидкости или вогнутая. Для выпуклой поверхности в жидкости образуется избыточное давление, а для вогнутой – давление уменьшается. В общем случае величина изменения давления определяется формулой Лапласа: Δp = σ( 1/Rx + 1/Ry ), где Rx и Ry - радиусы кривизны поверхности жидкости в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Если значительная часть свободной поверхности жидкости плоская, то это явление существенно только вблизи стенки сосуда. Однако, для капилляра ситуация существенно изменится. Снижение давления в жид-кости над вогнутой поверхностью вызывает поднятие ее уровня до высоты, при которой гидростатическое давление столба жидкости уравновешивает указанное снижение давления. Соответственно, увеличение давления над вы-пуклой поверхностью приводит к понижению уровня жидкости в капилляре. Высота h повышения/понижения уровня жидкости (рис. 13) определяется формулой
h = kσCosϑ/(2ρgR),
где 2R –диаметр цилиндрического капилляра или расстояние между двумя плоскими поверхностями, образующими плоский капилляр; ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; k – безразмерный коэффициент ( k = 2 для плоского капилляра, k = 4 для капилляра цилиндрического ).
Капиллярные явления очень широко распространены в природе и в тех-нике: поднятие жидкости в почве, в стеблях растений, капиллярные явления в осадочных породах и т.п.; поднятие жидкости в фитилях, капиллярная де-прессия в ртутых манометрах и т.п.
Основы гидрогазодинамики
Движение жидкости и газа под действием внешних сил имеют много общего. Поэтому их рассматривают с одной точке зрения наука гидрогазодинамика. Однако описание движения жидкости и газа в некоторых случаях может иметь существенные различия из-за того, что жидкости практически несжимаемы, а плотность газов связана с изменением давления.
Основной задачей гидрогазодинамики является . . .
Характеристики движения жидкостей определяются из решения системы дифференциальных уравнений, (ВСТАВИТЬ: диф. Ур-я неразрывности и Навье-Стокса) решение которых в общем случае затруднительно. Поэтому для практических нужд решение производится для идеализированных случаев. Наиболее простой вариант, который тем не менее часть удовлетворяет практически применением, соответствует несжимаемой жидкости, в которой не возникают эффекты, связанные с вязкостью. Такую жидкость называют также идеальной.
Графически течение жидкости можно представлять картиной линий тока. Линия тока – линия в каждой точке которой касательная совпадает с направлением скорости движения частиц жидкости. При
стационарном течении жидкости скорость в каждой точке не изменяются во времени. Часть объема жидкости, ограниченная линиями тока, носит название трубки тока. По определению линии тока движение частиц жидкости поперек линий тока исполняются. Таким образом, объем и масса жидкости, проходящей в единицу времени через разные сечения трубки тока, являются для трубки тока константами. Это утверждение следует из уравнения неразрывности, которое для идеальной жидкости имеет следующий вид: . Где и - площади поперечного сечения трубки тока и скорости жидкости в разных сечениях.
Если записать закон сохранения энергии для элемента массы жидкости, движущейся вдоль линии тока, то можно показать, что для невязкой, несжи-
маемой жидкости .
Т.е. при течении идеальной жидкости по линии тока величина остается постоянной. Уравнение: носит название уравнения Бернулли. Величина p называется статическим давлением,
- динамическим давлением, а - гидростатическим давлением. Таким образом, согласно уравнению Бернулли сумма статического, динамического и гидростатического давлений для линии тока является величиной постоянной. Динамическое давление называют также скоростным напором.
Рассмотрим некоторые практические применения полученных результатов для исследования течения идеальной жидкости.
(РИС,)
Из уравнения неразрывности отношение скоростей жидкости в сечениях 1 и 2 равно: . Из уравнения Бернулли: при следует, что , т.е. в области сопла создается пониженное давление и в это место подтягивается газ, который в свою очередь уходит вместе с потоком воды. Устройство называется водоструйным насосом и служит для создания пониженного давления в различных устройствах. Предельное разряжение ограничено обратной диффузией газа и относит высоким парциальным давлением паров жидкости.
(РИС.)
3) Расчет скорости свободного истечения жидкости.
(РИС,)
Особенности течения вязкой жидкости.
Ламинарное и турбулентное течения.
Течение идеальной жидкости происходит таким образом, что взаимодействие слоев жидкости, движущихся с разными скоростями, не происходит. Наличие внутреннего трения в реальных жидкостях приводит к взаимному увлечению движущихся слоев. Кроме дополнительных затрат энергии на движение жидкости это, в определенных условиях, приводит к возникновению в жидкости кругового движения (верхней). Таким образом реальная жидкость может двигаться либо без перемешивания слоев, либо, при определенных условиях, с вихревым движением в отдельных областях или во всем объеме текущей жидкости. Движение жидкости без перемешивания слоев называется ламинарным. Движение с образованием вихрей называется турбулентным движением. Характер движения жидкости определяется числом Рейнольдса: Re = ulρ/η где u – величина,
скорости жидкости; и - ее вязкость и плотность; l - характерный размер движения.
В гладких цилиндрических трубах течение жидкости (рис.23) при - ламинарное, при - турбулентное. Для диапазона движение жидкости имеет промежуточный характер. Следует отметить, что такие возмущения, как шероховатость поверхности труб, приводит к турбулизации потока при меньших числах .
Движение тел в жидкостях и газах. Метод Стокса определения вязкости жидкости.
Движение жидкости или газа, обтекающих движущееся тело, может иметь как ламинарный, так и турбулентный характер. Однако, независимо от характера движения жидкости на тело будет воздействовать некоторая сила. В общем случае эту силу можно разложить на две компоненты – вдоль направления движения жидкости или газа и поперек нечего. Первая компонента силы носит названия силы лобового сопротивления, а вторая, если она не равна нулю – подъемной силы. Рассмотрим обтекание некоторых геометрических форм потоком газа или жидкости.
Обтекание специального профиля. В технике для тел, движущихся в жидкостях и газах, подбирают из соображений технической целесообразности специальный профиль. Так лопатки водяных, паровых или газовых турбин, пропеллеры и крылья летательных аппаратов, рули и винты подводных и надводных судов и т.п. всегда имеют специальный профиль, оптимизирующий обтекание тела. Для примера рассмотрим обтекание профиля крыла самолета ( рис. 24 ).
Обтекание шара. Обтекание шара вязкой жидкостью ( рис. 25 ) может иметь ламинарной или турбулентной характер. Однако, независимо от характера течения, обтекание шара со всех сторон происходит симметрично и все действующие боковые силы взаимно компенсируются. Единственная не компенсированная сила связана с фронтальным воздействием на шар движущейся жидкостью, т.е. имеет место только сила лобового сопротивления.
Выражение для определения этой силы в условиях ламинарного обтекания было получено Дж.Г.Стоксом: , где - радиус шара, и - коэффициент вязкости жидкости и скорость ее движения относи-тельно шара.
При больших скоростях движения после обтекания шара в жидкости появляются турбулентные вихри, которые создают турбулентный «хвост» в области течения за шаром.
Обтекание цилиндра. Характер обтекания жидкостью цилиндра качественно совпадает с обтеканием шара ( рис. 25). Поэтому на обтекаемый цилиндр действует только сила лобового сопротивления. Однако, если цилиндр заставить вращается вокруг оси, то условия обтекания сверху и снизу становятся неодинаковыми. И на цилиндр будет действовать сила, направленная вверх или вниз, в зависимости от направления вращения цилиндра.
Метод Стокса определения вязкости жидкости. Результатом иссле-дования движения шара в вязкой жидкости при малых скоростях дали Стоксу возможность разработать метод определения вязкости жидкости. Метод заключается в следующем. Металлический шарик, движущийся в жидкости вниз, находится под действием трех сил: силы тяжести, направленной вниз, архимедовой силы и силы Стокса, направленных вверх. Вначале движения сила тяжести превалирует и шарик движется в жидкости вниз равноускоренно. Однако, сила Стокса, действующая вверх, зависит от скорости движения и при некоторой ее величине компенсирует совместно с архимедовой силой силу тяжести. Вдальнейшем силы, воздействующие на движущийся шарик, сбалансированы и он движется с постоянной скоростью. Записывая уравнение, ρшVшg = ρжVшg + 6π ηRшu, где ρш , ρж - плотность шарика и жидкости; Vш, Rш - объем и радиус шарика, можем определить вязкость жидкости: η = (ρш - ρж)g Vш /(6πRш u). Величина скорости шарика u в жидкости определяется экспериментально.
Глава II. Теплоемкость
Энергия между термодинамическими системами может предаваться различными способами – механическим, через излучение, путем теплообмена между системами с различными температурами. Энергия, переданная термодинамической системе внешними телами путем теплообмена, называется количеством теплоты.
Согласно первому началу термодинамики количество теплоты, сообщенное системе, расходуется на повышение внутренней энергии и совершение работы против внешних сил. В дифференциальной форме:
, (1)
где Q – количество теплоты; U - величина внутренней энергии; A - вели-чина механической работы.
Механическая работа будет производиться системой при нагреве только в том случае, если изменяется занимаемый ею объем. Поскольку при нагревании твердых тел и жидкостей изменение их объема незначительно, то сообщенная теплота пойдет на увеличение внутренней энергии, т.е. температуры. ( Исключение составляют некоторые жидкости, например, вода, но только при температурах близких к температуре кристаллизации. ) Для газов изменение объема при нагревании имеет существенное значение, поэтому величиной пренебречь нельзя.
Связь количества теплоты, сообщенной системе, с изменением температуры дается соотношением:
, (2)
где с и Сm - удельная и молярная теплоемкости вещества; m и M - масса вещества и молярная масса; T - температура; μ - количество молей ве-щества. Соотношение между c и : .
Физический смысл: удельная или молярная теплоемкость равны количеству теплоты, необходимой для повышения температуры соответственно 1 кг или одного моля вещества на 1К.
Для определения воспользуемся формулой, полученной из (2): . Подставляя сюда формулу (1), получим: .
Теплоемкость газов. Закон Майера
При нагревании вещества при постоянном объеме , поэтому для жидкостей, твердых тел и газов при молярная теплоемкость . Если нагрев газа происходит при , то для идеального газа и ,
где - универсальная газовая постоянная, Дж/(Кмоль).
Таким образом молярная теплоемкость газа зависит от режима нагрева:
при постоянном объёме Cm= Cmv , а при постоянном давлении Cm= Cmp . Соотношение между теплоемкостями носит название закона Майера.
Из молекулярно- кинетической теории идеального газа известно, что его внутренняя энергия , где - число степеней свободы молекулы ( для одноатомного газа i = 3 , для двухатомного i = 3+2+2 = 7 ). Подставляя это выражение в приведённые выше формулы, получим , а .
Выражение так же можно считать уравнением зако-на Майера.
Из закона Майера следует, что теплоемкость газа не зависит от температуры. Однако, это не совсем верно. Отклонение от результата, полученного в рамках классического представления, связано с тем, что вра-
щательное движение молекул и колебательное движение атомов в молекуле имеют квантовый характер. Поэтому поглощение энергии имеет дискретный характер, а так же имеет энергетической порог. Реальная зависимость от температуры для газа с двухатомной молекулой представлена на рис. 22. На
участке кривой 1 - 1` Cmv = 3R/2, т.к. температура газа недостаточна для возбуждения вращательных и колебательных степеней свободы. С повышением температуры на участке 2 - 2` кривой возбуждаются вращательные степени свободы молекул и теплоёмкость увеличивается: Cmv = 5R/2. Наконец, при дальнейшем повышении температуры возбуж-даются наиболее энергоёмкие - колебательные степени свободы молекул, и теплоёмкость возрастает до величины - 7R/2 (участок 3 - 3` кривой).
Теплоемкость кристаллов.
Классические представления о теплоемкости кристаллов:
закон Дюлонга-Пти
Как уже упоминалось ранее, каждый атом кристаллической решетки на-ходится в состоянии непрерывного колебательного движения, т. е. является осциллятором. Поэтому кристалл можно представить в виде системы гармо-нических осцилляторов, собственные частоты колебаний которых обуслов-лены упругими свойствами твердого тела. В приближении классической ме-ханики энергия колеблющихся частиц может принимать любое значение.
Согласно закону о равном распределении энергии по степеням свободы, полученному на основе классических представлений, каждая частица в узле кристаллической решетки обладает энергией . Множитель «6» появ-ляется вследствие того, что каждая частица может совершать колебательное движение вдоль прямых, соединяющих ее центр с центрами соседних частиц (3 направления) и дополнительной множитель «2» из-за того, что осцилли-рующая частица обладает потенциальной и кинетической энергией. Энергия теплового движения частиц, содержащихся в одном моле вещества кристал-ла, т.е. внутренняя энергия 1моля, равна Um= (6kT/2) × NA= 3kNAT = 3RT. Как было показано выше, молярная теплоемкость твердого тела: . Отсюда для 1 моля получим . Полученная формула
представляет закон Дюлонга-Пти: молярная теплоемкость химически простых кристаллических тел одинакова, равна и не зависит от температуры. Если кристалл состоит из атомов различных элемен-
тов, например, Li F или NaCl, то закон Дюлонга-Пти применяется к каждому элементу, т.е. в общем случае , где - число элемен-тов, составляющих химическое соединение. Закон хорошо описывает теп-лоемкость большинства кристаллов при высоких температурах. Типичная за-висимость от температуры представлена на рис. 19. При низких темпе-ратурах закон Дюлонга – Пти не работает.
Квантовые представления о теплоемкости кристаллов:
теплоемкость по Эйнштейну
Теория теплоемкости кристаллов с учетом квантовых эффектов была разработана А.Эйнштейном, а позднее П.Дебаем. Согласно предположению А.Эйнштейна частицы в узлах кристаллической решетки представляют собой независимые квантовые осцилляторы, колеблющиеся с одинаковой часто-той. Внутренняя энергия кристалла равна суммарной колебательной энергии всех осцилляторов, составляющих кристалл.
Отличительной особенностью квантового осциллятора от классического является то, что его энергия может иметь только дискретные значения En:
En = ( n + ½ )ħω0=( n + ½ ) hν,
где ħ = h/(2π) – постоянная Планка ( ħ= 1,05·10-34 Дж·с ); n = 0, 1, 2, …;
Рис.
ω0, ν – собственная частота осциллятора. Осциллятор может поглощать порции энергии равные разности энергий его конечного и начального энергетического состояния.
Для определения теплоемкости кристаллов А.Эйнштейн представил кристаллическую решетку, как систему из 3N независимых квантовых гар-монических осцилляторов, колеблющихся с одинаковой частотой ν. Тогда энергия 3NА (NА - число Авогадро) независимых квантовых осцилляторов, т.е. внутренняя энергия одного моля кристалла, будет равна
ХХ ,
а молярная теплоемкость кристалла - CmV
,
где - характеристическая температура Эйнштейна , определя-емая из условия равенства энергии упругих гармонических колебаний и энергии тепловой.
Для оценок рассмотрим два случая: энергия тепловых колебаний значи-тельно больше (<< 1, однако, предполагается, что температура ниже температуры плавления ) и значительно меньше (>> 1) энергии упру-гих колебаний. В первом случае → 3R, т. е. выполняется закон Дюлонга – Пти. Во втором - ~ exp(- ) при T→0. Однако опыт показывает, что теплоёмкость кристаллов вблизи абсолютного нуля изменя-ется не экспоненциально, а по закону ~Т3.
Квантовые представления о теплоемкости кристаллов:
теплоемкость кристаллов по Дебаю. Закон кубов
температуры
Более обстоятельно исследование теплоемкости было произведено П.Де-баем, который сделал следующий шаг, предложив, что все квантовые осцил-ляторы взаимодействуют друг с другом. В результате взаимодействия в объеме кристаллической решетки устанавливаются упругие колебания, набор частот ( спектр ) которых связан с температурой кристаллической решетки.
Системе колеблющихся квантовых осцилляторов в узлах решетки можно сопоставить систему квантовых частиц - квантов упругих колебаний, которые называются фононами. Энергия εn фонона с частотой ωn равна
εn = ħωn,, где ħ = h/(2π) – постоянная Планка ( ħ= 1,05·10-34 Дж·с ). Поскольку осцилляторы квантовые, спектр частот фононов должен быть дискретным, т.е. индекс n принимает дискретные значения.
Фонон можно считать частицей с массой равной нулю и движущейся со скоростью звука в веществе. Импульс фонона pфn= ħωn,/υзв., где υзв - ско-рость звука в веществе. Следует иметь в виду, что фононы существуют толь-ко в пределах упругой среды. Например, в вакууме фононы не существуют. Поэтому фононы, в отличие от других аналогичных объектов, часто назы-вают квазичастицами. При движении в периодической структуре крис-таллической решетки фононы претерпевают рассеяние на её дефектах ( ва-кансиях, внедренных атомах, дислокациях ), а также на границах раздела сред с различными упругими характеристиками. Поэтому для фононов вводится понятие длины свободного пробега, т.е. расстояния, проходимого фононом между актами рассеяния. При идеальной структуре кристалла ( ги-потетический случай ) или малой его протяженности ( в поликристаллах ) длина свободного пробега фонона может быть равной размеру кристалла. Кроме указанных выше объектов, рассеяние фононов может также происходить на электронах проводимости в кристаллах металлов и на других фононах ( фонон-электронное и фонон-фононное рассеяния ).
Частотный спектр фононов имеет естественный верхний предел частоты ωmax.. Поскольку фононы являются акустическими колебаниями в кристалл-лах, длина волны фонона не может быть меньше, чем период кристалличес-кой решетки a. Поэтому ωmax υзв/ a. Это ограничение дало Дебаю воз-можность ввести характеристическую температуру из условия равенства энергий упругих колебаний при частоте ωmax и тепловых при температуре ΘD :
ħωmax = kΘD .
Температура ΘD= ħωmax /k называется температурой Дебая ( k - постоянная Больцмана ).
Выражение для определения внутренней энергии кристалла, полученное Дебаем, в общем случае весьма сложно анализировать. Поэтому ограничимся анализом случаев, когда и .
Для высоких температур формулы для внутренней энергии и молярной теплоемкости совпадают с соответствующими результатами, полученными в приближении классической физики.
В случае низких температур величина внутренней энергии одного моля с учетом квантовых эффектов, определенная из теории Дебая, равна , После дифференцирования по получим формулу для определения молярной теплоемкости: .
Таким образом, при низкой температуре теплоемкость кристаллов пропорциональна . Это утверждение носит название закона кубов температуры или закона Дебая.
Глава III. Теплопроводность
Если в двух соседних областях термодинамической системы имеют мес-то различные температуры, то вследствие различия теплового движения со-ставляющих её частиц , она стремится придти в состояние равновесия, при котором температуры выравниваются. Процесс переноса тепловой энергии из области с более высокой температурой в область с более низкой, обусловленный тепловым движением атомов или молекул, носит название теплопроводности. Хотя в деталях этот процесс в газах, жидкостях и в твердых телах различается, математическая запись процесса подчиняется закону Фурье: Плотность теплового потока, т.е. тепловая энергия, переносимая через единичную изотермическую площадку в единицу времени, пропорциональна градиенту температуры: , где ΔQ – количество теплоты; S - площадь площадки; - коэффициент теплопроводности; T - термодинамическая температура; Δ t – промежуток времени, в течение которого через площадку проходит количество теплоты равное ΔQ . Координата x совпадает с направлением нормали к площадке. Знак «-» означает, что теплота перемещается от облас-ти с большей температурой к области с меньшей температурой.
В общем случае уравнение закона Фурье может быть представлено в векторной форме:
JQ = - χ grad T,
где JQ - плотность теплового потока; grad – оператор градиента. Таким образом, различия в теплопроводности различных фаз по величине связаны с различием значений коэффициентов теплопроводности, а по существу‒ в раз-личиях механизмов передачи тепла.
При постановке задачи об определении переноса тепла в жидкостях и газах необходимо учитывать то обстоятельство, что теплопередающая среда находится в поле тяготения Земли. Поэтому на процесс теплопередачи может налагаться передача тепла посредством конвекционных потоков. Последнее явление отнюдь не является теплопроводностью.
Молекулярно-кинетическая теория теплопроводности в газах
В курсе физики уже приводились основы молекулярно-кинетической теории газов. Было показано, что газ состоит из хаотически движущихся молекул, кинетические энергии которых определяются температурой газа. Средняя длина свободного пробега молекулы в идеальном газе <λ> равна : , где n0 - количество частиц в единице объема; d - эффектив-ный диаметр молекулы. Таким образом, если условно выделить некую плоскость, разделяющую области газа с температурой и , то в слоях толщиной с двух сторон этой плоскости будет происходить взаимный обмен кинетической энергией между молекулами из области и . Очевидно, чтобы исключить влияние конвекции в поле силы тяжести, следует предполагать, что область с более высокой температурой располо-жена над областью с более низкой. Если каким-либо гипотетическим спосо-бом исключить приток в промежуточную область молекул из и , то че-рез некоторый промежуток времени в ней установится температура Т, про-межуточная между и .
Для определения коэффициентов переноса в средах в общем случае сле-дует решать кинетическое уравнение Больцмана, что является предметом ис-следования физической кинетики. Применение молекулярно-кинетических представлений позволило получить формулу для коэффициента теплопро-водности в уравнении Фурье для идеального газа в виде: , где ρ – плотность газа; cV –удельная теплоемкость при постоянном объеме; (cV = iR/(2M) ); i - число степеней свободы молекулы; R - универсальная газовая постоянная; <υ> - среднеарифметическая скорость молекулы, ; M – молярная масса. После соответствующих подстановок для коэффициента теплопроводности идеального газа получим: . Следует отметить связь коэффициентов теплопроводности (χ) и вязкости (η) для идеального газа: .
Теплопроводность кристаллов. Неэлектропроводные вещества
Носителями и передатчиками тепла в твердых телах, в принципе, могут быть акустические колебания ( фононы ) и свободные электроны, если они имеются. Поэтому механизм теплопередачи в кристаллах зависит от того, являются ли они проводниками или изоляторами. Поскольку в кристаллах непроводящих веществ свободные электроны отсутствуют, теплопередача в них осуществляется исключительно по фононному механизму, т.е. за счет коллективных колебаний частиц в узлах кристаллической решетки.
Как было указано в предыдущей главе, фононы представляют собой квазичастицы, хаотически движущиеся в кристаллической решетке твердого тела. Фононы движутся со скоростью звука и взаимодействуют с неоднородностями структуры решетки. Поэтому фононы, содержащиеся в кристалле, можно интерпретировать, как идеальный газ, и описывать его поведение в соответствии с закономерностями идеального газа. В частности, используем для определения коэффициента теплопроводности формулу, полученную выше для идеального газа, с соответствующими заменами:
,
где ρ и c – плотность и удельная теплоемкость кристаллического вещества; - скорость звука в кристалле; - средняя длина свободного пробега фононов.
Полученная формула дает возможность анализировать зависимость χ от температуры. При температуре, превышающей дебаевскую, χ ~ ~ 1/T. Следует, однако, отметить, что при высокой температуре наблюдается сильное рассеяние фононов не только на неоднородностях структуры, но и в результате фонон-фононного рассеяния. Поэтому теоретическое определе-ние является сложной задачей. При температуре меньшей, чем дебаев-ская, но не очень низкой, также χ ~ ~ 1/T, а при Т→0 χ ~ Т3 вследствие того, что c ~ Т3.
Теплопроводность кристаллов. Металлические кристаллы
В металлах механизм передачи тепла зависит от температуры. При высо-кой температуре основной вклад в теплопроводность дает электронный меха-низм, связанный с наличием электронов проводимости. Из электронной тео-рии металлов известно, что электроны проводимости в металлах ведут себя аналогично идеальному одноатомному газу, который может передавать энергию. Кроме того, из-за высокой подвижности электронов проводимости в них легче возбудить движение. Электронный газ передает энергию движе-ния кристаллической решетке в результате рассеяния на фононах. Вслед-ствие этого, коэффициенты переноса можно определять по молекулярно-ки-нетической теории идеального газа. Коэффициент теплопроводности в ме-таллах при средних и высоких температурах определяется по формуле: , где nэл – плотность электронного газа; cэлV - удельная теплоемкость электронного газа при постоянном объеме; < υэл > - среднеарифметическая скорость электронов; < λэл > - средняя длина свобод-ного пробега электронов проводимости в металле. После подстановки в полученную формулу входящих в неё величин, получаем:
χ = nэл < λэл > (kπ)2 T/ (3pF),
где k - постоянная Больцмана; T - температура электронного газа; pF - импульс электрона, находящегося на уровне Ферми ( от температуры не зави-сит ). Анализ величин, входящих в эту формулу, показывает, что при средних температурах величина не зависит от температуры. При очень высоких температурах для некоторых металлов оказывается , т.е. снижается.
При очень низких температурах энергия, переносимая электронами про-водимости, становится слишком малой для возбуждения тепловых колебаний атомов в узлах решетки. Поэтому электронный механизм теплопередачи ста-новится не эффективным и превалирует фононный механизм, описанный вы-ше для объяснения механизма теплопроводности в непроводящих вещест-вах. Полученный там вывод о том, что при 0 коэффициент теплопро-водности сраведлив также и для металлических кристаллов.
Глава IV. Диффузия
Диффузией называют процесс переноса вещества, вызываемый молекулярным тепловым движением и способствующий установлению равновесного распределения концентрации этого вещества внутри фазы. При одинаковой температуре внутри фазы и в отсутствие внешних сил равновесным является однородное распределение концентрации. Наличие градиента температуры в фазе или при влиянии внешних сил равновесными является неоднородные распределения концентрации.
Диффузионный поток вещества при наличии в фазе градиентов концен-трации, температуры и давления, вызванного воздействием внешних сил, оп-ределяется выражением:
Jm ,
где Jm – плотность потока вещества ( масса диффундирующего вещества, проходящего в единицу времени через единичную площадку в направлении её нормали); - оператор градиента (в декартовых координатах , i, j, k – единичные векторы (орты ) координатных осей x, y, z ); - концентрация диффундирующего вещества; - коэффи-циент диффузии; - плотность.
В зависимости от того, градиент какой величины является причиной диффузии, различают концентрационную диффузию (градиент концентра-ции диффундирующего вещества), термодиффузию ( градиент температуры), бародиффузию ( градиент давления, обусловленный влиянием внешних сил). Разновидностью концентрационной диффузии является самодиффузия, т.е. диффузия собственных частиц вещества, флуктуации концентра-ции которого в фазе могут быть вызваны внешними факторами. В выра-жении для плотности потока Jm и - коэффициенты термодиффузии и бародиффузии, соответственно.
В случае малой концентрации диффундирующего вещества коэффици-ент диффузии не зависит от концентрации. Поэтому для концентрационной диффузии поток вещества описывается законом Фика: Jmc =, Jmc – плотность диффузионного потока, обусловленного наличием только градиента концентрации.
Распределение концентраций можно рассчитать из дифференциального уравнения диффузии (или второго закона Фика): Δc, где Δ – оператор Лапласа, которое будет рассмотрено в следующей главе.
Вид уравнения диффузии аналогичен виду дифференциального уравнения теплопроводности, поэтому постановка краевых задач и математические методы решения для этих уравнений одинаковы.
Уравнения, описывающие массоперенос в газах, жидкостях и твердых телах, имеют одинаковый вид. Однако механизмы массопереноса в этих фазах имеют существенные отличия.
Рассмотрим механизм массопереноса о газах. Для этого выделим мыс-ленно слой с шириной, равной длине свободного пробега молекулы. Вслед-ствие того, что в тепловом хаотическом движении направления движения равновероятны, при наличии градиента концентрации ( температура везде одинакова) поток частиц диффундирующего газа в выделенный слой из об-ласти с высокой концентрацией будет больше, чем поток из области с низ-кой концентрацией. Таким образом концентрационная диффузия будет спо-собствовать установлению однородного распределения концентрации.
В случае термодиффузии исходное состояние характеризуется равномерным распределением концентрации. Поскольку температуры с двух сторон слоя различны, то скорость частиц, движущихся со стороны с более высокой температурой, больше, чем для частиц с противоположной стороны. Поэтому число частиц, приходящих в слой в единицу времени со стороны с большей температурой больше, чем число частиц уходящих из него. В результате концентрация диффундирующих частиц в слое будет увеличиваться.
Явление термодиффузии используется для разделения смесей из компонентов, имеющих разные молекулярные веса. Средние скорости молекул при одинаковой температуре обратно пропорциональны . Поэтому диффузионной поток «легких» частиц из области с большей температурой будет больше потока «тяжелых» частиц. В результате область с высокой температурой будет обогащена «тяжелым» компонентом, а с низкой ‒ «легким».
Для малой концентрация диффундирующего газа коэффициент диффу-зии в газе определяется из результатов молекулярно-кинетической теории: . После подстановки в формулу <υ> и для молекул га-за-носителя получим: , где m , n0, d - масса, концентра-ция и эффективный диаметр молекул газа-носителя; T - температура; k - постоянная Больцмана.
В случае газа, состоящего из двух компонентов, концентрации которых сравнимы по величине, полученная здесь формула справедлива, если в ка-честве d, m и n0 использовать среднее значение диаметра , при-веденную массу молекулы и . Здесь d1, d2, m1, m2 и n01 , n02 - эффективные диаметры, массы и концентрации молекул первого и второго компонента.
В жидкостях и твердых телах диффундирующие частицы не могут переноситься за счет теплового движения, т.к. свободного пробега молекул не существует. Однако диффузионный массоперенос в жидкостях и твердых телах существует. Перенос диффундирующих частиц происходит посредством перехода их от одного дефекта структуры к другому. Рассмотрим упорядоченную структуру молекул. Такая структура в твердой фазе обычное явление. Экспериментально показано, что в жидкостях в пределах нескольких межмолекулярных расстояний структуру тоже можно считать упорядоченной. Допустим, по какой-либо причине соседняя молекула «ушла» со своего места. Место этой молекулы остается свободным в течение некоторого времени τ0 (τ0 ~ 10-12с ) , по истечении которого оно будет занято любой соседней молекулой, в частности, диффундирующей частицей. Очевидно, для перехода на свободное место диффундирующей частицы необходима энергия для преодоления притяжения соседних молекул. Эта энергия называется энергией активации. Коэффициент диффузии в жидкостях и твердых телах определяется по формуле: , где a - среднее расстояние между молекулами в жидкостях или постоянная решетки в твердых телах; τ0 - среднее значение периода тепловых колебаний молекулы, которая находится в упорядоченной структуре ( для жидкостей τ0, для твердых тел τ0); - энергия активации. Величина энергии активации зависит от упорядоченности структуры и индивидуальна для каждого типа решетки и элемента. Для металлов, имеющих кубическую гранецентрированную решетку (серебро, медь, золото) энергия активации составляет кДж/моль. Для структуры с менее плотной упаковкой – объемно-центрированный куб (литий, натрий, рубидий), энергия активации значительно ниже кДж/моль.
Коэффициент диффузии в газах зависит от давления . Зависимость от температуры относительно слаба. В твердых телах зависимость от температуры экспоненциальная, поэтому значения коэффициента могут из-меняться в значительных пределах. Кроме того, диффузия в твердых телах сильно зависит от количества дефектов кристаллической структуры. Извест-но, что одним их существенных моментов влияния радиации на твердое тело является нарушение его структуры, т.е. появление дефектов. При этом также существенно возрастает скорость диффузии, т.н. радиационностимули-рованная диффузия. Определение и контроль количества дефектов в струк-туре затруднительны, поэтому расчет диффузионного массопереноса представляет значительные трудности. По этой же причине достоверность результатов, получаемых теоретически, часто вызывает сомнения. Наиболее надежным является использование в расчетах значений коэффициентов диффузии, полученных экспериментально, причем в условиях близких к реальному протеканию исследуемых процессов
Глава V. Математическая постановка задач по расчету
распределений температур и концентраций
Для расчета распределения температуры ( T )в твердом теле исполь-зуется дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье: , где - оператор Лапласа (в декартовых координатах ); - коэф-фициент температуропроводности - ; и - удельная тепло-емкость и плотность вещества; χ – коэффициент теплопроводности; - количество теплоты, выделяемое внутренним источником тепла в единице объема в единицу времени; x,y,z и t – пространственные координаты и время. Дифференциальное уравнение теплопроводности является нестационарным уравнением второго порядка с частными производными.
В случаях, когда процесс установления температуры завершен и она не зависит явно от времени, уравнение упрощается: ( уравнение Пуассона ).
Наконец, если объемные источники теплоты отсутствуют, уравнение переходит в уравнение Лапласа: .
Для решения задачи о распределении температуры дифференциальное уравнение должно быть дополнено начальным условием – распределением температуры при , и краевыми условиями – величиной температуры и условиями теплообмена на границе области, в которой определяется температура.
В качестве краевых условий могут быть заданы:
1) температурное распределение на границе области ( краевое условие первого рода );
2) тепловой поток на границе , т.е. заданы производные от температуры по нормали к поверхности границы ( краевое условие второго рода );
3) линейная комбинация температуры и теплового потока ( краевое условие третьего рода ).
При такой постановке задачи уравнение теплопроводности имеет единственное решение, представляемое непрерывной функцией, удовлетво-ряющей начальному условию и принимающей на границе значения, определяемые краевыми условиями.
Распределение концентрации примесного вещества при концентрацион-ной диффузии определяется из решения дифференциального уравнения диф-фузии: , где c - концентрация диффундирующего вещества; D - коэффициент диффузии. Постановка задачи для решения этого уравнения ( начальное и граничные условия ) и методы его решения совершенно анало-гичны используемым для уравнения теплопроводности.
Литература
ДЛЯ ЗАМЕТОК
ДЛЯ ЗАМЕТОК
ДЛЯ ЗАМЕТОК
ДЛЯ ЗАМЕТОК
Гладской В.М., Самсонов Г.А., Дмитриева В.Ф., Самойленко П.И.
Лекции по дисциплине «Физические основы технологических про-цессов в пищевой промышленности». Для механических и технологических специальностей.
Физические основы технологических процессов в пищевой промышленности.
Тираж:
Заказ №
EMBED PBrush
S
h
Рис.6
EMBED PBrush
Рис.7
EMBED Equation.3 F
EMBED Equation.3 F
Рис. 10
EMBED PBrush
F
EMBED PBrush
h
h
2R
Рис. 13
Рис. 12
б
F
a
A
F
Сmv
7R/2
1
3
2
1΄
2΄
3΄
5R/2
3R/2
T
0
Рис. 22
r
F
0
r0
Рис. 4
r
Enmin
E
0
r0
Рис. 25
u
Рис. 24
Rx
u
R
Ry
Рис. 15 15
u2
u1
S2
S1
Рис. 14
u
u
u