Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 7
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.
АКСИОМЫ СЧЁТНОСТИ И ОТДЕЛИМОСТИ.
Основные понятия и определения.
Счётность.
Два множества называются равномощными, если существует биекция одного из них на другое. Множества, равномощные некоторому подмножеству множества натуральных чисел, называются счетными. Иногда так называют только бесконечные счетные множества, т.е. только множества, равномощные всему , а все конечные множества называют не более чем счетными.
Множество называется всюду плотным в топологическом пространстве , если .
Множество называется нигде не плотным в топологическом пространстве , если .
Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно содержит счётное всюду плотное подмножество.
Топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если любая его точка имеет конечную или счетную ФСО.
Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если оно имеет счетную или конечную базу топологии.
Пусть - семейство подмножеств топологического пространства и каждое непустое открытое множество содержит некоторый элемент семейства в качестве непустого подмножества, то говорят, что плотно в . Плотная в система открытых множеств называется - базой пространства .
Пространство называется нульмерным, если множества, одновременно открытые и замкнутые в нем, составляют его базу.
Пусть - подмножество топологического пространства . Совокупность пределов всевозможных последовательностей точек множества называется секвенциальным замыканием этого множества. Мы будем обозначать его .
Говорят, что отображение секвенциально непрерывно, если для любой точки и для любой последовательности точек пространства , стремящейся к , последовательность стремится к .
Точка называется изолированной в топологическом пространстве , если одноточечное множество одновременно открыто и замкнуто.
Топологическое пространство называется нульмерным, если множества, одновременно открытые и замкнутые в нём, составляют его базу.
Примеры.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Теорема 40. Всякое метризуемое топологическое пространство есть пространство с первой аксиомой счетности.
Теорема 41. Множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда в любом непустом открытом множестве можно указать непустое открытое множество , что .
Теорема 42. Множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда всюду плотно множество .
Теорема 43. Пусть - топологическое пространство с первой аксиомой счетности. Точка будет являться предельной точкой для тогда и только тогда, когда найдется последовательность точек в , сходящихся к .
Теорема 44. Если пространство имеет счётную базу, (вторая аксиома счетности) то оно сепарабельно.
Теорема 45. (Обратная) Метрическое сепарабельное пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Таким образом, для метрических пространств сепарабельность равносильна второй аксиоме счетности.
Теорема 46. Непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабелен.
Теорема 47. (Линделефа) Из всякого покрытия пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, открытыми множествами можно выделить счетный набор множеств, также являющийся покрытием.
Теорема 48. Из второй аксиомы счетности следует первая.
Теорема 49. Если пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, то для любого верно .
Теорема 50. Всякое непрерывное отображение секвенциально непрерывно.
Теорема 51. Прообраз секвенциально замкнутого множества при секвенциально непрерывном отображении секвенциально замкнут.
Теорема 52. Если пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, то любое
секвенциально непрерывное отображение непрерывно.
Теорема 53. (Брауэра) Пусть - семейство замкнутых множеств пространства, обладающего счётной базой, и пусть для любой убывающей последовательности множеств, принадлежащих семейству, пересечение тоже принадлежит семейству. Тогда в этом семействе есть множество, никакое собственное
подмножество которого не принадлежит семейству.
Отделимость.
Важную роль среди топологических пространств занимают метризуемые пространства. В общем случае неметризуемые топологические пространства могут сильно отличаться по свойствам от метризуемых топологических пространств. Поэтому возникает задача нахождения дополнительных условий, налагаемых на топологическое пространство, которое делают “похожими” топологические пространства на метризуемые топологические пространства.
Топологическое свойство называется наследственным, если оно передается от пространства к его подпространствам, т.е. если из того, что пространство обладает этим свойством, следует, что любое подпространство пространства тоже им обладает.
Известно много аксиом отделимости. Ограничимся четырьмя наиболее важными.
Аксиома Т0. Говорят, что топологическое пространство является - пространством (удовлетворяет аксиоме ) , если для любых двух различных точек данного пространства существует окрестность одной из этих точек, не содержащая другой точки.
Аксиома Т1. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости, если каждая из любых двух различных точек пространства обладает окрестностью, не содержащей другую из этих точек.
Аксиома Т2. (Аксиома Хаусдорфа) Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме отделимости, если две различные точки имеют непересекающиеся окрестности.
Аксиома Т3. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет третьей аксиоме отделимости, если в нем любое замкнутое множество и любая не содержащаяся в этом множестве точка обладают непересекающимися окрестностями, т.е. если для любого замкнутого множества и любой точки существуют открытые множества , такие, что , .
Аксиома Т4. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет четвертой аксиоме отделимости, если в нем любые два непересекающиеся замкнутые множества обладают непересекающимися окрестностями, т.е. если для любых замкнутых множеств , таких что существуют такие открытые множества , что и .
Пространство, удовлетворяющее аксиоме , называется - пространством.
Пространство, удовлетворяющее аксиоме , называется Хаусдорфовым.
Топологическое пространство называют регулярным, если оно удовлетворяют первой и третьей аксиомам отделимости.
Топологическое пространство называется нормальным, если оно удовлетворяет первой и четвертой аксиомам отделимости.
Пусть - последовательность точек топологического пространства . Точка называется ее пределом, если для любой окрестности точки существует такое число , что при всех . Говорят также, что последовательность стремится к при стремящемся к бесконечности.
Множеством совпадения отображений называется множество .
Точка называется неподвижной точкой отображения , если .
Точка называется точкой конденсации множества , если для любой окрестности точки множество несчетно.
Примеры.
1. Пусть . Рассмотрим топологию стрелки . Тогда существует окрестность , но не существует окрестность такая, что она не содержала бы точку . Следовательно, не является пространством.
2. Пусть - метризуемое топологическое пространство . Тогда является Хаусдорфовым пространством.
4. Как следствие примера 3. можно заметить, что с топологией Зарисского не
является метризуемым топологическим пространством.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Теорема 54. Топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости тогда и только тогда, когда в все одноточечные множества замкнуты тогда и тогда, когда в все конечные множества замкнуты.
Теорема 55. Первая аксиома отделимости наследственна.
Теорема 56. Всякое Хаусдорфово пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости.
Теорема 57. Всякое метрическое пространство Хаусдорфово.
Теорема 58. В Хаусдорфовом пространстве ни одна последовательность не может иметь более одного предела.
Теорема 59. Хаусдорфовость наследственна.
Теорема 60. Всякое метрическое пространство регулярно.
Теорема 61. Всякое метрическое пространство нормально.
Теорема 62. Пространство регулярно тогда и только тогда, когда есть - пространство, в котором для любых точки и окрестности , найдётся окрестность , такая, что .
Теорема 63. Пространство нормально тогда и только тогда, когда есть - пространство, в котором для любых замкнутого множества и окрестности , найдётся окрестность , такая, что .
Теорема 64. (Большая лемма Урысона) пусть пространство нормально, и - непустые множества в , . Тогда существует функция , такая, что , и .
Контрольные задания
1.1 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с естественной топологией.
б) Доказать, что вторая аксиома счётности наследственна.
в) Показать, что любое счётное множество в топологическом пространстве нигде не плотно.
1.2 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с топологией Зарисского.
б) Доказать, что в метрических пространствах сепарабельность наследственна.
в) Показать, что не сепарабельно.
1.3 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с топологией Зоргенфрея.
б) Доказать, что пространство и любое его подпространство сепарабельно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
в) Пусть топологическое пространство с топологией . Доказать, что для любого множество нигде не плотно.
1.4 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с дискретной и антидискретной топологиями.
б) Доказать, что из всякого покрытия пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счётности, открытыми множествами можно выделить счётный набор множеств, также являющийся покрытием.
в) Пусть всюду плотно в . Показать, что для любого множество всюду плотно в .
1.5 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с топологией стрелки.
б) Доказать, что, если пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, то для любого множества верно .
в) Пусть нигде не плотно в . Показать, что для любого множество нигде не плотно в .
1.6 а) Является ли сепарабельным пространство с топологией стрелки.
б) Сохраняется ли при непрерывном отображении первая аксиома счётности?
в) Доказать, что если , всюду плотно в и всюду плотно в , то всюду плотно в .
1.7 а) Является ли сепарабельным пространство с естественной топологией.
б) Сохраняется ли при непрерывном биективном отображении вторая аксиома счётности?
в) Доказать, что если пространство имеет счётную базу, то для любого множества совокупность точек , изолированных в , не более чем счётна.
1.8 а) Является ли сепарабельным пространство с топологией Зоргенфрея.
б) Доказать, что пространство и любое его подпространство сепарабельно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
в) Доказать, что топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда любая точка изолирована в .
1.9 а) Является ли сепарабельным пространство с топологией Зарисского.
б) Доказать, что из любой базы топологического пространства с естественной
топологией можно выделить счетный набор множеств, также являющийся базой
пространства .
в) Доказать, что если топологическое пространство имеет счётную базу, то для любого множества совокупность точек , изолированных в , не более чем счётна.
1.10 а) Является ли сепарабельным пространство с дискретной и антидискретной топологиями.
б) Доказать, что в топологическом пространстве с естественной топологией всякая совокупность попарно непересекающихся открытых множеств счетна.
в) Показать, что пространство с естественной топологией сепарабельно.
1.11 а) Доказать, что если топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, то всякая точка прикосновения к множеству , может быть получена как предел сходящейся последовательности точек из .
б) Показать, что сепарабельность не наследственна (привести пример).
в) Привести пример несчётного всюду плотного множества из .
1.12 а) Доказать, что из второй аксиомы счётности следует сепарабельность пространства.
б) Привести пример нигде не плотного множества в топологическом пространстве с естественной топологией.
в) Показать, что дискретное топологическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно конечно или счётно.
1.13 а) Доказать, что непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабельно.
б) Построить метрическое пространство, не удовлетворяющее второй аксиоме счётности.
в) Показать, что топологическое пространство с естественной топологией сепарабельно.
1.14 а) Доказать, что из второй аксиомы счётности следует первая.
б) Построить пример топологического пространства без первой аксиомы счетности.
в) Доказать, что пространство рациональных точек отрезка нульмерно.
1.15 а) Является ли наследственными первая и вторая аксиомы счётности.
б) Показать, что пространство сепарабельно.
в) Доказать, что числовая прямая с естественной метрикой есть полное сепарабельное метрическое пространство.
1.16 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с топологией стрелки.
б) Доказать, что вторая аксиома счётности наследственна.
в) Показать, что множество нигде не плотно в тогда и только тогда, когда .
1.17 а) На полуинтервале определим все полуинтервалы вида , где как базу некоторой топологии . Полученное топологическое пространство обозначим через . Показать, что удовлетворяет первой аксиоме счетности.
б) Доказать, что в метрических пространствах сепарабельность наследственна.
в) Показать, что множество нигде не плотно в тогда и только тогда, когда в любом непустом открытом множестве существует такое непустое открытое подмножество , что .
1.18 а) На полуинтервале определим все полуинтервалы вида , где как базу некоторой топологии . Полученное топологическое пространство обозначим через . Показать, что сепарабельно.
б) Доказать, что пространство и любое его подпространство сепарабельно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
в) Доказать, что пересечение конечного числа открытых всюду плотных в пространстве множеств всюду плотно в .
1.19 а) На полуинтервале определим все полуинтервалы вида , где как базу некоторой топологии . Полученное топологическое пространство обозначим через . Показать, что не имеет счетной базы.
б) Доказать, что из всякого покрытия пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счётности, открытыми множествами можно выделить счётный набор множеств, также являющийся покрытием.
в) Доказать, что объединение конечного числа нигде не плотных в пространстве множеств нигде не плотно в .
1.20 а) Пусть сепарабельное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности. Показать, что любое всюду плотное в подпространство сепарабельно.
б) Доказать, что, если пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, то для любого множества верно .
в) Доказать, что любое непустое подмножество пространства с тривиальной топологией всюду плотно в нём.
1.21 а) Доказать, что любое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности.
б) Сохраняется ли при непрерывном отображении первая аксиома счётности?
в) Доказать, что нигде не плотное открытое множество пусто.
1.22 а) Доказать, что если метризуемое пространство имеет счетную базу, то оно сепарабельно.
б) Сохраняется ли при непрерывном биективном отображении вторая аксиома счётности?
в) Доказать, что топология пространства , в котором любое всюду плотное подмножество совпадает с , дискретна.
1.23 а) Доказать, что прямая с топологией Зоргенфрея не удовлетворяет второй аксиоме счетности.
б) Доказать, что пространство и любое его подпространство сепарабельно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
в) Доказать, что топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда любая точка изолирована в .
1.24 а) Показать, что конечное дискретное пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности.
б) Доказать, что из любой базы топологического пространства с естественной
топологией можно выделить счетный набор множеств, также являющийся базой
пространства .
в) Доказать, что метризуемое топологическое пространство тогда и только тогда сепарабельно, когда оно имеет счётную базу.
1.25 а) Показать, что из второй аксиомы счетности следует первая аксиома счетности.
б) Доказать, что в топологическом пространстве с естественной топологией всякая совокупность попарно непересекающихся открытых множеств счетна.
в) Доказать, что сепарабельное метрическое пространство имеет мощность не большую мощности континуума.
1.26 а) Показать, что пространство имеет счетную базу.
б) Показать, что метрическое пространство, топология которого дискретна, полно.
в) Доказать, что вполне ограниченное метрическое пространство сепарабельно.
1.27 а) Привести пример топологического пространства со счетной базой.
б) Привести пример нигде не плотного множества в топологическом пространстве с топологией Зарисского.
в) Показать, что топологическое пространство с топологией Зоргенфрея сепарабельно.
1.28 а) Построить счетную ФСО точки 2 в естественной топологии на .
б) Показать, что всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет на прямой предельную точку.
в) Показать, что топологическое пространство с антидискретной топологией сепарабельно.
1.29 а) Доказать, что числовая прямая с естественной метрикой есть полное сепарабельное метрическое пространство.
б) Докажите, что всякое нигде не плотное множество на прямой нульмерно.
в) Показать, что топологическое пространство с дискретной топологией не является сепарабельным.
1.30 а) Доказать, что пространство рациональных точек отрезка нульмерно.
б) Доказать, что замкнутое (метрическое) подпространство полного метрического пространства является полным метрическим подпространством.
в) Доказать, что топологическое пространство с топологией Зарисского сепарабельно.
б) Сохраняется ли при непрерывном отображении регулярность, если - непрерывное сюръективное отображение, переводящее каждое замкнутое множество в замкнутое?
2.2 а) Является ли наследственной вторая аксиома отделимости?
б) Доказать, что, если топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости, то любое одноточечное множество замкнуто в .
б) Доказать, что, если топологическое пространство удовлетворяет первой
аксиоме отделимости, то любое конечное множество замкнуто в .
б) Доказать, что всякое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости.
2.5 а) Является ли наследственной регулярность топологических пространств?
б) Доказать, что всякое метрическое пространство Хаусдорфово.
б) Доказать, что всякое регулярное пространство Хаусдорфово.
2.7 а) Является ли наследственной регулярность метрических пространств?
б) Доказать, что всякое метрическое пространство регулярно.
2.8 а) Является ли наследственной нормальность в с естественной топологией?
б) Доказать, что всякое нормальное пространство регулярно.
2.9 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении первая аксиома отделимости?
б) Доказать, что в Хаусдорфовом пространстве ни одна последовательность не может иметь более одного предела.
2.10 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении вторая аксиома отделимости?
б) Доказать, что множество всех неподвижных точек непрерывного отображения Хаусдорфова пространства в себя является замкнутым.
2.11 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении третья аксиома отделимости?
б) Доказать, что пространство удовлетворяет третьей аксиоме отделимости тогда и только тогда, когда в любой окрестности каждой его точки содержится замыкание некоторой окрестности этой точки.
2.12 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении четвёртая аксиома отделимости?
б) Доказать, что всякое замкнутое подпространство нормального пространства нормально.
2.13 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении регулярность топологических пространств?
б) Доказать, что любое регулярное пространство со счётной базой нормально.
2.14 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении нормальность топологических пространств.
б) Показать, что окружность гомеоморфна границе квадрата.
2.15 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении нормальность, если - непрерывное сюръективное отображение, переводящее каждое замкнутое множество в замкнутое?
б) Показать, что любое регулярное пространство со счётной базой метризуемо.
2.16 а) Доказать, что в топологическом пространстве все одноэлементные подмножества замкнуты тогда и только тогда, когда у любой из двух различных точек пространства существует такая окрестность, которая не содержит другую точку.
б) Доказать, что пространство с дискретной топологией Хаусдорфово.
2.17 а) Показать, что топология более сильная чем Хаусдорфова тоже Хаусдорфова.
б) Указать все сходящиеся последовательности в пространстве с дискретной топологией.
б) Указать все сходящиеся последовательности в пространстве с антидискретной топологией.
2.19 а) Показать, что в Хаусдорфовом пространстве топология, индуцированная на любом конечном подмножестве, дискретна.
б) Пусть бесконечное множество. Наделим его топологией, в которой замкнутыми множествами будет и его конечные подмножества. Показать, что топологическое пространство не Хаусдорфово.
2.20 а) Доказать, что в - пространстве любое множество является пересечением некоторого семейства открытых множеств.
б) Пусть является - пространством, - предельная точка множества и - произвольная окрестность точки . Доказать, что множество бесконечно.
б) Пусть - Хаусдорфово пространство, в котором любое подмножество либо открыто, либо замкнуто. Доказать, что в не может существовать более одной предельной точки.
2.22 а) Доказать, что - пространство, единственная точка которого не изолирована, является нормальным пространством.
б) Доказать, что нормальное пространство со счетной базой метризуемо (теорема Урысона).
2.23 а) Будет ли нормальным с топологией Зарисского?
б) Доказать, что - пространство наследственно.
2.24 а) Доказать, что - пространство наследственно.
б) Будет ли пространство с топологией стрелки - пространством?
2.25 а) Удовлетворяет ли первой аксиоме отделимости топологическое пространство с топологией Зоргенфрея?
б) Какие аксиомы отделимости выполняются в с дискретной и антидискретной топологией?
2.26 а) Выполняется ли третья аксиома отделимости в топологическом пространстве с топологией Зарисского?
б) На полуинтервале определим все полуинтервалы вида , где как базу некоторой топологии . Полученное топологическое пространство обозначим через . Показать, что - - пространство.
2.27 а) Доказать, что - пространство тогда и только тогда регулярно, когда для любой окрестности произвольной точки существует такая окрестность точки , что .
б) Построить пример хаусдорфова нерегулярного пространства.
2.28 а) Будет ли топологическое пространство с естественной топологией - пространством?
б) Является ли счетное регулярное пространство нормальным?
2.29 а) Выполняется ли аксиома в топологическом пространстве с естественной топологией?
б) Пусть - множество всех действительных чисел с топологией, базой которой является семейство всех полуоткрытых промежутков. Показать, что - нормальное пространство.
2.30 а) Выполняется ли аксиома в топологическом пространстве с естественной топологией?
б) Показать, что любое Хаусдорфово пространство является - пространством.
Упражнения.
Построить пример, показывающий, что сепарабельность не наследственна.
Построить метрическое пространство, не удовлетворяющее второй аксиоме
счетности.
удовлетворяющего второй аксиоме счетности, может не удовлетворять этой аксиоме.
любой его базы можно выделить счетный набор множеств, также являющийся базой
пространства .
непересекающихся открытых множеств счетна.
Доказать, что регулярное пространство со счетной базой нормально.
Построить пример топологического пространства без первой аксиомы счетности, (без второй аксиомы счетности).
10. Какие из следующих пространств Хаусдорфовы:
а) дискретное пространство;
б) антидискретное пространство;
в) стрелка.
Обладают ли в нем непересекающимися окрестностями точки 0 и 1? Какими?
Докажите, что множество неподвижных точек непрерывного отображения Хаусдорфова пространства в себя является замкнутым.
14. Какие из следующих топологических свойств наследственны:
а) конечность множества точек;
б) бесконечность топологической структуры;
в) бесконечность множества точек;
г) связность;
д) линейная связность.
15. Докажите, что пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости тогда и
только тогда, когда любая его точка совпадает с пересечением ее окрестностей.
16. Являются ли замкнутым в Хаусдорфовом пространстве все конечные множества.
17. Приведите пример, показывающий, что из первой аксиомы отделимости вторая не
следует.
18. Докажите, что всякое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме
отделимости.
19. Докажите, что в каждом множестве существует самая грубая топологическая
структура, удовлетворяющая первой аксиоме отделимости. Какова она?
20. Постройте нерегулярное Хаусдорфово пространство.
21. Постройте пространство, удовлетворяющее третьей аксиоме отделимости и не
удовлетворяющее второй.
22. Докажите, что пространство удовлетворяет третьей аксиоме отделимости тогда и
только тогда, когда в любой окрестности его точки содержится замыкание некоторой окрестности этой точки.
23. Постройте ненормальное регулярное пространство.
24. Постройте пространство, удовлетворяющее четвертой аксиоме отделимости и не
удовлетворяющее третьей.
25. Докажите, что пространство удовлетворяет четвертой аксиоме отделимости тогда и только тогда, когда в любой окрестности любого его замкнутого множества содержится замыкание некоторой окрестности этого множества.
26. Пусть – непрерывное сюръективное отображение, переводящее каждое
замкнутое множество в замкнутое. Докажите, что если - нормально, то и нормально.
удовлетворяет первой аксиоме счетности, существует последовательность, сходящаяся одновременно к двум различным точкам.
28. Докажите, что, если пространство нормально, то нормальным является и любое
замкнутое подпространство .
Доказать, что метрическое топологическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа.