Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа 4
Поиск экстремумов функции одной переменной
Поиск наибольших (наименьших) значений функции F(x) в некотором интервале ее области определения является простейшей из задач оптимального управления и реализуется достаточно просто, но отнюдь не элементарно.
Так решение этой задачи методами классического анализа требует продифференцировать функцию (здесь, как правило, нет проблем, хотя и может возникнуть вопрос о ее дифференцируемости), найти критические точки из уравнения F/ x =0 (а вы уверены, что вам удастся это сделать?), вычислить F(x) во внутренних критических точках и на концах интервала, после чего выбрать из полученных значений экстремальное.
Можно отказаться от поиска точного решения и пойти по пути прямого табулирования с шагом, равным значению допустимой погрешности (с запоминанием экстремального значения F(x) и соответствующего значения аргумента), но при высокой точности объем вычислений будет весьма велик: если величина допустимой погрешности порядка 10-6 исходного интервала, то потребуются миллионы вычислений и сравнений).
Одно из возможных решений задачи для «гладкой» (медленно изменяющейся, без скачков) функции состоит в разбиении интервала [A, B] на фиксированное число N (10, 20, 100 ?) частей длиной H=(B-A)/N, вычислении F(x) в соответствующих N+1 точках и запоминании наибольшего (наименьшего) из этих значений и соответствующей точки «экстремума» Z. После этого за очередной интервал разбиений выбирается окрестность найденной точки (Z-H, Z+H), если Z отлична от концов исходного интервала, и (A, A+H) или (B-H , B) в противном случае. Такой процесс продолжается до тех пор, пока очередной интервал не станет меньше заданной точности. Объем вычислений здесь не слишком велик (указанная выше точность поиска точки при N=10 будет обеспечена 60 вычислениями).
В случае унимодальной функции (обладающей единственным максимумом/минимумом) можно предложить более эффективные методы поиска (золотого сечения, табулирования до точки перевала и т.п.).
Составьте программу вычисления максимума F(x) на интервале [A, B] с точностью E (значения A, B и E должны вводиться с клавиатуры в процессе выполнения программы; способ задания значения N предоставляется на усмотрение составителя программы). Высказанные ранее для задачи табулирования функции замечания об учете области определения и «особых» точек должны быть реализованы. Едва ли вы получите работоспособную программу, если не учтете сделанных там же замечаний о приближенности представления вещественных величин.
Варианты заданий к лабораторной работе 4
|
№ п/п |
Функция F(x) |
A |
B |
№ п/п |
Функция F(x) |
A |
B |
|
1. |
x-5(e1/x-1)-1 |
0.1 |
0.3 |
26. |
( 1 - Cos (x) ) / |
1 |
3 |
|
2. |
Cos(x- / 4) / |
6 |
8 |
27. |
Sin( x- / 4) / |
7 |
9 |
|
3. |
Sin(x- / 4) / |
1 |
3 |
28. |
Sin( x- 3 / 4) / |
3 |
5 |
|
4. |
Sin(x- 3 / 4) / |
9 |
11 |
29. |
Cos( x- 3 / 4) / |
1 |
3 |
|
5. |
Cos(x- 3 / 4) / |
7 |
9 |
30. |
Sin(x) + 5 Sin(3x) |
0 |
1 |
|
6. |
Sin(x) + 5 Sin(3x) |
2 |
3 |
31. |
Cos(x) - Cos(3x) |
0 |
2 |
|
7. |
Cos(x) - Cos(3x) |
4 |
6 |
32. |
3 Sin(x) - Sin(3x) |
0 |
2 |
|
8. |
3 Sin(x) - Sin(3x) |
7 |
9 |
33. |
3 - 4 Cos(2x) + Cos(4x) |
0 |
2 |
|
9. |
3 - 4 Cos(2x) + Cos(4x) |
4 |
6 |
34. |
3 - 4 Cos(2x) + Cos(4x) |
7 |
9 |
|
10. |
3 + 4Cos(2x)-7Cos(4x) |
0 |
1 |
35. |
3 + 4Cos(2x)-7Cos(4x) |
2 |
3 |
|
11. |
3 + 4 Cos(2x) - 7 Cos(4x) |
5 |
6 |
36. |
10 Ln(1+x)Sin(x) |
0 |
1 |
|
12. |
e 1-x Ln(1+x2) |
0 |
2 |
37. |
e-x ( 1 - 1 / x2) |
1 |
2 |
|
13. |
e-x ( 1 - 1 / x3) |
1 |
2 |
38. |
ex |
0 |
1 |
|
14. |
( 1 + x ) |
0 |
1 |
39. |
0 |
2 |
|
|
15. |
5 Cos(3x) + 3 Cos(5x) |
1.5 |
2.5 |
40. |
35 Cos(4x) + 20 Cos(2x) |
1 |
2 |
|
16. |
( 1 +x 3 ) |
2 |
3 |
41. |
Cos(x/2) / ( 1 - x) |
0 |
2 |
|
17. |
Cos(x/2) / ( 1 - x2) |
5 |
7 |
42. |
x Ln(x) e -x |
1 |
3 |
|
18. |
x Ln(x) e -x/Sin(x) |
1 |
3 |
43. |
x Ln(x) 10 -x |
1 |
3 |
|
19. |
x2 Ln(x) 10 -x |
1 |
3 |
44. |
x e -x |
0 |
2 |
|
20. |
x Ln(1+x) e -x |
0 |
2 |
45. |
x2 Ln(x) Cos(x) |
1 |
2 |
|
21. |
Ln(1+x) Sin(x) / x2 |
7 |
9 |
46. |
Ln(1+x) Sin(x) / x |
0 |
2 |
|
22. |
Ln 2(x) - Cos(x+1) |
4 |
5 |
47. |
Cos( Ln(1+x)) e x |
2 |
4 |
|
23. |
Sin( Ln(1+x)) e -x |
0 |
2 |
48. |
- (x1.5 - x +1 ) ex/2 |
0 |
1 |
|
24. |
- (x2.5 - x +1 ) ex/2 |
0 |
1 |
49. |
- (x1.5 - x3 - 1 ) Sin(x) |
1 |
3 |
|
25. |
(x4 - x0.5 + 1 ) Sin(x) |
1 |
3 |
50. |
x e -x Ln(x) |
1 |
3 |