Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Специальность 220201 Управление и информатика в технических
системах .
Кафедра Информационных и управляющих систем /.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
«ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ» .
(Тема лабораторной работы)
Шифр ВКР ЛР – 02068108 – 11
Автор ________________ _________ Клёцкин А.А. .
(Подпись) (Дата) (Фамилия, инициалы)
Руководитель ________________ _________ Хромых Е.А. .
(Подпись) (Дата) (Фамилия, инициалы)
ВОРОНЕЖ – 2006 г.
Цель работы: получение практических навыков разработки математической модели технологического объекта на примере моделирования реактора смешения и ее использования для исследования процессов, протекающих в реакторах указанного типа; изучение приближенных методов решения систем линейных уравнений, а также получение навыков реализации и исследование эффективности работы этих методов на ЭВМ.
Для химического реактора смешения непрерывного действия, функционирующего в изотермическом стационарном режиме, разработать математическую модель. Используя методы простых итераций и Зейделя, а также один из точных методов, рассчитать концентрации реагентов на выходе реактора и исследовать зависимость последних от времени пребывания. Осуществить сравнительный анализ эффективности работы использованных методов решения систем линейных уравнений на ЭВМ. Вид химической реакции, протекающей в реакторе, константы скоростей отдельных стадий, концентрации исходных реагентов и точные методы решения систем линейных уравнений заданы в таблице. Время пребывания изменяется в диапазоне 1 < < 10 (с шагом 1), степень точности получения решения численными методами =.
2. Исходные данные
Реакция, протекающая в реакторе смешения непрерывного действия
3. Математическая формулировка
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕАКТОРА СМЕШЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ.
Математическое описание реактора смешения можно получить исходя из уравнений модели идеального смешения, если учесть скорость образования продуктов в реакционной зоне. Если положить, что в процессе химического превращения число молей реагентов не изменяется, то можно записать:
где V- объем реактора смешения;, - вектор концентраций продуктов на входе и выходе из реактора соответственно; t - время; - скорость подачи продукта в зону реакции; W- скорость образования вещества.
При наличии теплового эффекта реакции и теплообмена с внешним носителем необходимо использовать соотношение, определяющее изменение температуры в зоне реакции. Уравнение теплового баланса модели идеального смешения представляется в следующем виде:
где - теплоемкость реагирующей смеси; - температура реагентов на входе; T - температура реагентов на выходе; - температура теплоносителя; Q - тепловой эффект реакции; - коэффициент теплопередачи; F - поверхность теплообмена.
Уравнения (1) и (2) представляют собой математическое описание реактора смешения в случае нестационарных режимов. При совместном решении этих уравнений можно получить графики зависимости концентрации реагентов и температуры в реакторе в нестационарных условиях.
Стационарные условия работы реактора смешения характеризуются уравнениями (1) и (2) при .
;
где - среднее время пребывания реагентов в аппарате.
Задачей, возникающей при расчете реакторов смешения, является определение концентраций веществ на выходе реактора для заданных концентраций на входе и времени пребывания. В случае линейной кинетики (для реакций первого и псевдопервого порядка) соотношения (3) представляют собой систему линейных уравнений при изотермическом режиме работы реактора (T=const). В результате решения полученной системы уравнений будут получены концентрации реагентов на выходе.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ.
Изменение концентраций реагентов и величины потока реакционной смеси являются результатом химической реакции, а интенсивность источника массы i-го компонента может быть определена как скорость химически реакции по этому реагенту.
Скоростью химической реакции называется изменение (уменьшение или увеличение) числа молей реагентов в результате химического взаимодействия в единицу времени на единицу объема для гомогенных реакций или на единицу поверхности (массы) для гетерогенных процессов.
Понятие "скорость образования реагента" удобно для характеристики только простейших химических реакций типа . В случае многостадийной химической реакции, в которой наряду с исходными реагентами и продуктами реакции получают некоторые промежуточные вещества, для характеристики состава реакционной смеси необходимо задание концентраций более, чем одного реагента. Это требует включения в состав математического описания реактора уравнений, описывающих изменение концентраций всех реагентов. В общем случае для m-стадийной реакции, в которой участвуют n реагентов, задача описания механизма сложной химической реакции определяется как задача выбора k независимых "ключевых" реагентов.
Для многостадийных реакций вместо скорости образования реагента в химической реакции вводится понятие скорости элементарной стадии химической реакции.
Скорость элементарной стадии определяется как скорость образования реагента на данной стадии, отнесенная к его стехиометрическому коэффициенту в химическом превращении на рассматриваемой стадии. Стехиометрическому коэффициенту присваивается знак "+", если реагент образуется на данной стадии и знак "-" в противоположном случае. Тогда скорость образования любого i-го компонента в результате сложной реакции определяется как:
,
где - рациональные числа, называемые стехиометрическими коэффициентам; - скорость j-той элементарной стадии.
В случае линейной кинетики химической реакции.
+1, если i-тое вещество образуется,
-1, если i-тое вещество расходуется,
0, если i-тое вещество не участвует в ходе
Согласно закону действующих масс скорость реакции пропорциональна исходной концентрации реагирующих веществ.
r1 = k1∙XA
r2 = k2∙XC
r3 = k3∙XC
где k1, k2, k3 - коэффициенты пропорциональности или константы скорости реакции,
XA, XС, XD- концентрации веществ A, C, D в зоне реакции.
Скорости образования реагентов A, C, D:
WA = - r1 + r2= - k1∙XA + k2∙XC
WC = r1 – r2 – r3 = k1∙XA – k2∙XC – k3∙XC
WD = r3 = k3∙XC
По схеме реакции получаем систему уравнений:
Полученную систему уравнений решим приближенными методами
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
К приближенным методам относятся итерационные методы решения систем.
Итерационным процессом называется повторяющийся процесс вычислений искомой величины по ее значению на предыдущем шаге.
Для построения итерационных процессов в линейных системах уравнений их надо приводить к каноническому виду.
Вид называется нормальным видом.
Вид - каноническим.
Если в правую часть системы, записанной в каноническом виде, подставить какое-либо значение вектора, то при известных значениях матриц L и - можно подсчитать новое значение X и подставить его снова в правую часть системы и т.д.
Полученную последовательность векторов , , ... называют итерационной последовательностью.
Если последовательность сходится, т.е. имеет предел, то этот предел будет решением(точным) исходной системы уравнений.
Для организации приближенного вычисления корней системы линейных уравнений необходимо выполнение следующих действий:
1) привести систему к каноническому виду;
2) определить условие сходимости последовательности по коэффициентам системы, приведенной к каноническому виду;
3) построить итерационный процесс;
4) определить достижение заданной степени точности решения, так как точное решение может быть получено при бесконечном итерационном процессе.
Система уравнений имеет вид
Преобразуем систему уравнений таким образом, чтобы выполнялось условие сходимости:
Метод простых итераций:
(*)
Составим матрицы коэффициентов при неизвестных и при входных концентрациях:
Условием сходимости последовательности к пределу, является выполнение следующего требования:
для всех
или
для всех
то есть необходимо, чтобы сумма модулей коэффициентов канонической системы уравнений по строкам или столбцам была меньше 1.
Для построения итерационной процедуры необходимо выбрать первоначальное значение X0A, X0C, X0D. Рекомендуется в качестве этих значений выбирать либо 0, либо значения свободных членов.
Формульная запись метода простых итераций имеет вид:
,
В приближенных методах задается степень точности получения решения :
Условием достижения заданной степени точности является выполнение следующего неравенства:
(***)
Метод Зейделя
Другим вариантом итерационного процесса поиска корней системы линейных уравнений является метод Зейделя, который отличается от метода простых итераций тем, что при вычислении (i+1)-го приближения неизвестной величины учитываются уже полученные (i+1)-е приближения неизвестных . Формульная запись метода имеет следующий вид:
(20)
где j=2,3,…n; i=0,1,2,… .
Метод Зейделя обеспечивает более быструю сходимость к решению.
Система уравнений для решения методом Зейделя имеет вид:
(**)
4. Выбор метода решения
В качестве метода решения необходимо использовать циклический вычислительный процесс.
5. Алгоритм
6. Решение задачи в MathCAD
По схеме реакции составим систему уравнений:
Решим данную систему, используя метод Крамера:
Метод простых итераций
Преобразуем систему:
Проверка на сходимость
Сходимость выполняется по столбцам для t = 6
Метод Зейделя
7. Таблица результатов
|
Значение τ |
Метод Крамера |
Метод простых итераций |
|||||||
|
XA |
XС |
XD |
Сумма |
XA |
XС |
XD |
Сумма |
Шаг итерации i |
|
|
1 |
0.566 |
0.334 |
0.1 |
1 |
0.565 |
0.334 |
0.1 |
0.999 |
11 |
|
2 |
0.585 |
0.259 |
0.156 |
1 |
0.584 |
0.259 |
0.154 |
0.997 |
12 |
|
3 |
0.589 |
0.216 |
0.195 |
1 |
0.588 |
0.216 |
0.193 |
0.997 |
14 |
|
4 |
0.586 |
0.188 |
0.226 |
1 |
0.585 |
0.188 |
0.224 |
0.997 |
16 |
|
5 |
0.579 |
0.168 |
0.253 |
1 |
0.578 |
0.168 |
0.25 |
0.996 |
17 |
|
6 |
0.571 |
0.153 |
0.276 |
1 |
0.57 |
0.153 |
0.273 |
0.997 |
19 |
|
7 |
0.561 |
0.141 |
0.297 |
1 |
0.561 |
0.141 |
0.295 |
0.997 |
21 |
|
8 |
0.552 |
0.132 |
0.316 |
1 |
0.551 |
0.132 |
0.313 |
0.996 |
22 |
|
9 |
0.542 |
0.124 |
0.334 |
1 |
0.541 |
0.124 |
0.331 |
0.996 |
24 |
|
10 |
0.532 |
0.117 |
0.351 |
1 |
0.532 |
0.117 |
0.347 |
0.996 |
25 |
|
Метод Зейделя |
|||||
|
Значение τ |
XA |
XС |
XD |
Сумма |
Шаг итерации i |
|
1 |
0.566 |
0.334 |
0.1 |
0.999 |
1 |
|
2 |
0.585 |
0.259 |
0.154 |
0.999 |
8 |
|
3 |
0.589 |
0.216 |
0.193 |
0.999 |
10 |
|
4 |
0.586 |
0.188 |
0.224 |
0.999 |
11 |
|
5 |
0.58 |
0.168 |
0.25 |
0.998 |
12 |
|
6 |
0.571 |
0.153 |
0.273 |
0.998 |
13 |
|
7 |
0.562 |
0.142 |
0.295 |
0.998 |
15 |
|
8 |
0.552 |
0.132 |
0.314 |
0.998 |
16 |
|
9 |
0.543 |
0.124 |
0.332 |
0.998 |
17 |
|
10 |
0.533 |
0.117 |
0.347 |
0.997 |
17 |
8. Вывод
В ходе выполнения лабораторной работы я освоил приближенные методы решения систем линейных уравнений. При выполнении работы выяснилось, что условие сходимости системы выполняется для τ = 6, однако значения концентраций, полученных при решении методом простых итераций и методом Зейделя получаются правильными и для τ в интервале от 6 до 10. Правильность решения я определил сравнением с решением, полученным точным методом Крамера. При увеличении τ точность полученного решения уменьшается. Можно сделать вывод, что решение системы методом Зейделя получается при меньшем повторении цикла, чем решение методом простых итераций.
XA1=0
XC1=0
XD1=0
17
3
Решение системы
методом Зейделя
τ = 1
τ 10
τ = τ +1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3
D
16
2
1
16
С
Со с. 8
18
Конец
A
3
10
Система (*)
6
Графики
7
8
Цикл по τ
15
D
2
1
С
На с. 9
16
9
14
Aτ, Cτ, Dτ, Iτ, Tτ
τ = 1
τ 10
τ = τ +1
8
4
Решение системы
методом Крамера
Со с. 7
На с. 8
8
Цикл по τ
5
Aτ, Cτ, Dτ
A
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
Условие сходимости
(***)
Нет
i = i + 1
Да
Система (**)
2
Ввод
X0A, X0C, X0D,
k1, k2, k3, ε
Начало
1
Графики
13
Aτ = XAi+1
Cτ = XCi+1
Dτ = XDi+1
Iτ = i, Tτ = τ
12
11