Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Работа с текстом
Задание 1. Прочитайте текст, выделите основную информацию, затем озаглавьте текст.
Быть может, Евклид и не принадлежит к числу таких новаторов в математике, как Фалес или Архимед. Но он, вне всякого сомнения, являлся непревзойденным систематизатором науки. Своими учебниками (т.е. книгами, составившими его «Начала») Евклид охватил всю элементарную математику эпохи Платона.
«Начала» (другой перевод названия - «Элементы») представляют собой завершение целого ряда не дошедших до нас математических произведений. Например, в пятой книге «Начал» излагается теория отношений по Евдоксу, в десятой книге — теория иррациональных величин по Теэтету, в тринадцатой - теория правильных многогранников, также восходящая к Теэтету.
Разумеется, излагая открытия Теэтета, Евдокса и других своих предшественников, Евклид добавил много нового, дал полные доказательства того, что не было окончательно установлено ранее. Есть в «Началах» и некоторые находки, видимо принадлежащие самому Евклиду. Одна из наиболее ярких таких находок - теорема о бесконечности множества простых чисел.
Несколько слов о том, как построены «Начала». Следуя логической системе своего учителя Аристотеля, Евклид пытается дать аксиоматическое изложение геометрии. Это можно пояснить следующим образом.
Если рассмотреть доказательство некоторой теоремы, то можно увидеть те более простые факты, с помощью которых оно построено. Эти простые факты, в свою очередь, вытекают из еще более простых фактов и т.д. Выполнив такой анализ для всех теорем геометрии, мы получим список простейших фактов, обладающих следующими свойствами: во-первых, они совершенно «очевидны» и потому не требуют доказательства. А во-вторых, из них можно вывести, идя обратным путем, все теоремы геометрии. Такие простейшие факты называются аксиомами, а все остальные факты геометрии являются теоремами, и каждую теорему можно доказать с помощью аксиом и ранее установленных теорем. Таким образом, все здание геометрии стоит на фундаменте из небольшого числа аксиом.
Евклид различал аксиомы и постулаты. Постулатами он называл требования, которыми следует руководствоваться при геометрических построениях. Например, один из постулатов гласит, что «из любого центра любым радиусом можно описать окружность». Среди постулатов, сформулированных Евклидом, были и такие: «Через две точки можно провести прямую»; «Две прямые не могут заключать пространства» (это можно понять так, что если две прямые имеют две общие точки, то они должны совпасть) и др.
С понятиями дело обстоит аналогично. К примеру, окружность определяется как геометрическое место точек на плоскости, отстоящих от данной точки О (центра) на данное расстояние г. Таким образом, чтобы дать определение окружности, надо знать, что такое «точка», «расстояние», «плоскость» и т.д. В конце концов, можно выделить небольшое число наиболее простых понятий, с помощью которых определяются все остальные понятия. «Первоначальные» же понятия настолько просты и ясны, что их уже не требуется определять.
Впрочем, Евклид не хотел оставлять без определения даже простейшие понятия. Так, он пишет: «Точка есть то, что не имеет частей». Однако неясно, что означает «не иметь частей». (Скорее всего, Евклид хочет просто пояснить, что геометрическая точка не имеет размеров). Неудивительно, что это туманное определение Евклид нигде дальше не использует.
Интересно проследить, как проводятся в «Началах» самые первые доказательства. По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть «совмещены» всеми своими точками (т.е. перемещая одну фигуру как твердое целое, можно точно наложить ее на вторую фигуру). Но Евклид не определяет, что значит «совместить». Таким образом, его «определение» равенства фигур на самом деле есть обращение к нашему повседневному опыту, к перемещению тел «как твердого целого». Далее, с помощью этого «определения» Евклид доказывает признаки равенства треугольников. В последующих же рассуждениях он больше не пользуется наложением фигур, а ссылается на уже сформулированные признаки равенства треугольников. Например, чтобы доказать равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Евклид проводит биссектрису угла при вершине и показывает, что полученные «половинки» равны по первому признаку. А поскольку в равных треугольниках-половинках против равных сторон лежат равные углы, следовательно, углы при основании исходного треугольника равны.
В целом творение Евклида величественно. Созданная им система изложения геометрии была настолько хороша, что просуществовала более двух тысяч лет. Вплоть до XX столетия в странах Европы (в том числе в России) геометрию в школах преподавали по переводам или популярным обработкам Евклидовых «Начал».
Но последующие поколения математиков не во всем соглашались с системой аксиом и определений Евклида и пытались ее улучшить. Например, аксиома о том, что все прямые углы равны между собой, оказалась ненужной: это предложение удалось доказать как теорему исходя из остальных аксиом.
Подверглись сомнению и некоторые другие аксиомы и постулаты Евклида. Особенно неудовлетворение всегда вызывал пятый постулат, утверждавший: если две прямые, пересеченные третьей, образуют по одну сторону от третьей прямой внутренние углы, сумма которых менее двух прямых углов, то при продолжении этих двух прямых они непременно пересекутся, причем именно с той стороны от третьей прямой, где сумма односторонних углов менее 180°.
Об этом постулате уже нельзя сказать «он столь прост и очевиден, что не требует доказательства», не правда ли? Есть в геометрии теоремы, которые выражают гораздо более простые и очевидные геометрические факты, например теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Неудивительно, что на протяжении веков многие математики пытались доказать пятый постулат Евклида как теорему.