Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГЛАВА VII. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ
ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
7.1. Истечение жидкости через малое круглое отверстие
В современной гидравлической аппаратуре имеется большое количество форсунок, жиклеров, дросселей и других элементов, работающих по типу отверстий в тонкой или толстой стенках. Поэтому для расчетов режимов работы элементов гидроаппаратуры необходимо изучение закономерностей таких течений.
Рис. 7.1
Рассмотрим несколько случаев истечения жидкости из резервуаров через отверстия или насадки (короткие трубки разной формы) в атмосферу или в пространство, заполненное той же жидкостью. В этих случаях в процессе истечения запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость в резервуаре, превращается (с определенными потерями) в кинетическую энергию струи или капель. Основной вопрос при рассмотрении таких случаев истечения – определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадок.
Рассмотрим большой резервуар с жидкостью (рис. 7.1), свободная поверхность которой находится при атмосферном давлении pатм. На глубине H от поверхности жидкости в стенке резервуара устроено малое круглое отверстие диаметром d0. Отверстие можно считать малым, если его диаметр значительно (в несколько раз) меньше напора H. В случае, когда толщина стенки меньше диаметра отверстия, стенка считается тонкой.
Рис. 7.2
Частицы жидкости внутри резервуара приближаются к отверстию из всего прилегающего объема, двигаясь ускоренно. У кромки отверстия струя отрывается от стенки и несколько сжимается (рис. 7.2). Сжатие происходит потому, что движение плавно переходит от разнонаправленного (в резервуаре) к осевому (в истекающей струе). Цилиндрическую форму струя принимает на расстоянии 0,5 – 0,7 d 0 от стенки, в дальнейшем сжатия не происходит.
Степень сжатия характеризуется коэффициентом сжатия ε, равным отношению площади сжатой струи к площади отверстия.
.
Если отверстие малое, то, как показывают исследования, коэффициент сжатия не зависит от напора перед отверстием и его размера.
Для определения необходимых нам величин – расхода и скорости в струе – запишем уравнение Бернулли для движения жидкости, выбрав в качестве одного сечения 0–0 плоскость свободной поверхности резервуара, а в качестве другого сечения 1–1 – сжатое сечение струи:
.
Так как площадь свободной поверхности резервуара много больше площади отверстия, то можно считать, что уровень свободной поверхности не снижается и , т. е. истечение происходит при постоянном напоре H. Давление на свободной поверхности резервуара и на поверхности сжатой струи равно атмосферному:
.
В качестве плоскости сравнения выберем ось струи, тогда
z0 = H, zсж = 0.
Потери напора определятся как:
,
здесь – коэффициент сопротивления отверстия.
Учитывая все это, получим
,
откуда
.
Тогда скорость сж
.
Введем обозначение:
|
. |
(7.1) |
Параметр φ называется коэффициентом скорости.
Получаем
|
. |
(7.2) |
Найдем расход жидкости через отверстие:
.
Используя определение коэффициента сжатия, получаем
.
Величина – это и есть коэффициент расхода. Тогда
|
. |
(7.3) |
Оценим численные значения коэффициентов, входящих в эти выражения.
Для развитого турбулентного течения в струе профиль скоростей в сжатом сечении близок к прямоугольному и = 1. Тогда
.
Коэффициент сопротивления отверстия можно принять равным , а коэффициент сжатия струи – ε = 0,64. Отсюда получим φ = 0,96 и µ = 0,62.
Заметим, что при истечении без сжатия струи µ = φ.
Выражения (7.2) и (7.3) и служат для решения основной задачи расчета – определения скорости и расхода при истечении жидкости через малое круглое отверстие в тонкой стенке.
Обратим внимание на следующие особенности смысла коэффициен-тов скорости φ и расхода µ.
В случае истечения из отверстия идеальной жидкости трение и завихрения отсутствуют, поэтому , а = 1, следовательно, из (7.1) получаем φ = 1, и скорость истечения идеальной жидкости по (7.2) будет
.
Тогда при течении реальных жидкостей из формулы (7.2) получим
,
т. е. коэффициент скорости есть отношение реальной скорости истечения к скорости идеальной жидкости. Действительная скорость истечения всегда несколько меньше идеальной из-за сопротивления, значит, коэффициент скорости всегда меньше единицы.
Из формулы (7.3) получаем для коэффициента расхода выражение
.
Заметим, что – это скорость истечения идеальной жидкости, а произведение ее на площадь отверстия ω0 дает расход жидкости, который был бы, если бы отверстие не имело сопротивления, и не было бы сжатия. На самом деле сжатие будет даже и у идеальной жидкости. Но тем не менее получаем, что коэффициент расхода есть отношение реального расхода к некому теоретическому идеализированному расходу при течении без сжатия и без сопротивления.
.
Действительный расход также всегда меньше теоретического и, следовательно, коэффициент расхода всегда меньше единицы вследствие влияния двух факторов – сжатия струи и наличия сопротивления.
Все безразмерные коэффициенты, введенные в рассмотрение:
зависят от типа отверстия или насадка, от сил тяжести и поверхностного натяжения, а также от основного критерия гидродинамического подобия – числа Re. Для малого отверстия () влияние сил тяжести практически не проявляется. Заметное влияние сил поверхностного натяжения наблюдается только при малых напорах.
7.2. Истечение под уровень (затопленное отверстие)
Часто приходится иметь дело со случаями, когда истечение из резервуара происходит не в атмосферу, а в пространство, затопленное той же жидкостью. Такое истечение называется истечением под уровень или истечением через затопленное отверстие (рис. 7.3).
Рис. 7.3
Уравнение Бернулли, записанное для сечений 0–0 и 2–2 и плоскости сравнения, проходящей через ось отверстия, будет:
.
Потери складываются из сопротивления отверстия и сопротивления истечения сжатой струи, т. е.
.
Здесь – коэффициент сопротивления отверстия, имеющий примерно то же значение, что и при истечении в атмосферу;
– скорость истечения в сжатом сечении струи.
Тогда
.
Откуда
,
.
Таким образом, при истечении через затопленное отверстие имеем те же расчетные формулы, что и при истечении в атмосферу, только расчетный напор H в этом случае представляет собой разность гидростатических напоров по обе стороны стенки. Скорость и расход в этом случае не зависят от высоты расположения отверстия. Коэффициенты сжатия и расхода при истечении под уровень можно принимать те же, что и при истечении в воздух.
7.3. Истечение через насадки
В технических приложениях часто встречаются случаи истечения через короткие патрубки, присоединенные к отверстию без закругления входной кромки. Длина таких трубок-насадок составляет несколько (3–4) диаметров отверстия. Аналогичные течения могут возникать в случае сверления отверстия в толстой стенке резервуара. Истечение из отверстий в толстых стенках в гидравлическом отношении аналогично по своей природе истечению из насадок.
Рис. 7.4
Насадки могут быть цилиндрическими внешними (рис. 7.4.а) и внутренними (рис. 7.4.б), отверстия и насадки помимо цилиндрической формы могут быть конически расходящимися (рис. 7.4.в), конически сходящимися (рис. 7.4.г) или их комбинацией.
Истечение через цилиндрический насадок в атмосферу может происходить двояко.
Первый режим: струя после входа в насадок сжимается примерно так же, как и при истечении из отверстия в тонкой стенке. Затем, вследствие взаимодействия с окружающей ее завихренностью, струя расширяется и из насадка выходит полным сечением. Этот режим течения называют безотрывным (рис. 7.5.а).
|
а |
б |
|
Рис. 7.5 |
Так как на выходе из насадка диаметр струи равен диаметру отверстия, то ε = 1 и, следовательно µ = φ.
Осредненные значения коэффициентов для этого режима истечения маловязких жидкостей (а значит, для больших значений Re) следующие:
µ = φ = 0,8; = 0,5.
В суженном сечении струи, там, где скорость увеличена, давление понижено по сравнению с давлением в резервуаре перед насадком и с давлением на выходе, т. е. там образуется вакуум. При этом, чем больше напор, под которым происходит истечение, и, следовательно, чем больше расход через насадок, тем меньше давление в суженном месте струи. При некотором критическом напоре происходит смена режимов течения, переход от безотрывного течения ко второму режиму.
Во втором режиме струя после сжатия на входе уже не расширяется, а сохраняет цилиндрическую сжатую форму и перемещается внутри насадка, не соприкасаясь со стенками (рис. 7.5.б). Истечение становится таким же, как из отверстия в тонкой стенке с такими же значениями коэффициентов.
При этом в обоих режимах расчетная формула для расхода через насадки остается та же, что и для отверстия
.
Формулы для расчета скорости и расхода на выходе из цилиндрических насадков могут быть использованы и для определения скорости и расхода из насадков других видов, однако необходимо выбрать соответствующие значения коэффициентов скорости φ и расхода μ. Значения коэффициентов определяются по результатам экспериментальных исследований насадков. Так, например, сравнение истечений из внешних цилиндрического и конически расходящегося насадков дает следующие результаты. При малом угле конусности () сопротивления в насадках приблизительно одинаковы. Казалось бы, и коэффициенты скорости должны быть близки. На самом деле скорость на выходе из внешнего цилиндрического насадка почти в два раза больше.
Рис. 7.6
Для улучшения свойств цилиндрического насадка (уменьшения сопротивления и повышения коэффициента расхода) можно закруглить входную кромку или устроить на входе в цилиндрический насадок коническую часть с углом около 60°. Чем больше радиус закругления, тем выше коэффициент расхода и ниже коэффициент сопротивления. В пределе, при радиусе кривизны, равном толщине стенки, цилиндрический насадок приближается к соплу. Сопло очерчивается приблизительно по форме естественно сжимающейся струи (рис. 7.6). Благодаря этому обеспечиваются безотрывность течения внутри насадка и параллельноструйность в выходном сечении. Сопло имеет коэффициент расхода, близкий к единице, и очень малые потери. Коэффициент сжатия ε = 1. Значение коэффициента сопротивления сопла то же, что и при плавном сужении, т. е. = 0,03–0,1, соответственно µ = φ = 0,99–0,96.
7.4. Истечение через прямоугольное отверстие и водослив
Рассмотрим истечение через большое (широкое) прямоугольное отверстие (рис. 7.7).
Верхняя кромка отверстия расположена на глубине H1, а нижняя – на глубине H2 от свободной поверхности жидкости. Ширина отверстия – b.
Рис. 7.7
Элементарный расход через прямоугольный элемент площади можно записать как:
.
Для того чтобы найти расход через все отверстие, проинтегрируем выражение для элементарного расхода по h в пределах от H1 до H2, считая µ постоянным.
.
Это формула для расхода через прямоугольное отверстие. Но эта формула, как правило, не имеет самостоятельного значения. Она важна как исходная для получения формулы для прямоугольного водослива с тонкой стенкой. Такой водослив получается, если в рассмотренной схеме положим H1 = 0 (рис. 7.8).
Рис. 7.8
Обозначим . Назовем величину коэффициентом расхода для водослива. Тогда:
|
. |
(7.4) |
Значение m в первом приближении можно получить, принимая как для малого круглого отверстия, µ = 0,62. Тогда m ≈ 0,42.
В наших рассуждениях мы не учитывали скорость подхода воды к водосливу и высоту водослива С. С учетом этих величин можно уточнить формулу (7.4).
Условием нормального действия водослива является обеспечение свободного подвода воздуха под струю. Прямоугольный водослив часто используется как измеритель расхода; с этой же целью используются водосливы и иной формы, например, треугольные.
7.5. Истечение при переменном напоре
Рассмотрим опорожнение открытого в атмосферу сосуда произвольной формы через донное отверстие или насадок с коэффициентом расхода µ (рис. 7.9).
Рис. 7.9
В этом случае истечение будет проходить при переменном, постепенно уменьшающемся напоре. Если напор, а следовательно, и скорость истечения, будут меняться медленно, то движение в каждый момент времени можно рассматривать как установившееся (квазистационарное) и применять для решения уравнение Бернулли.
Обозначим переменную площадь свободной поверхности жидкости S, переменную высоту уровня жидкости, отсчитываемую от дна, – h, площадь отверстия в дне – ω0. Тогда для бесконечно малого промежутка времени dt справедливо уравнение сохранения объемов
или .
Знак «минус» в формуле возникает потому, что положительному приращению dt соответствует отрицательное приращение dh.
Время полного опорожнения сосуда высотой H найдем, интегрируя это уравнение по переменной высоте уровня в пределах высоты всего сосуда (считаем µ = const):
.
Этот интеграл можно сосчитать, если известен закон изменения площади свободной поверхности S по высоте резервуара. В частности, для призматического сосуда S = const и получаем
|
. |
(7.5) |
Числитель этой формулы равен удвоенному объему сосуда, а знаменатель представляет собой расход в начальный момент времени при опорожнении, т. е. при напоре, равном H. Следовательно, время опорожнения сосуда в два раза больше времени истечения такого же объема жидкости при постоянном напоре H.
7.6. Выравнивание уровней жидкости в резервуарах
Рассмотрим процесс выравнивания уровней жидкости в двух резервуарах, соединенных между собой трубопроводом, площадь сечения которого ω0 (рис. 7.10).
Рис. 7.10
На трубопроводе расположен затвор. Изначально уровень жидкости в одном резервуаре (левом на рис.7.10) находится на высоте z1 относительно некоторой плоскости сравнения, а уровень жидкости в другом резервуаре – на высоте z2, разность уровней (начальный напор) – H. Предположим, что в некоторый момент времени затвор мгновенно открывается. Жидкость начнет переливаться из одного резервуара в другой. За некоторый малый промежуток времени dt уровень жидкости в одном из резервуаров понизится на dz1, а уровень жидкости в другом резервуаре повысится на dz2.
Условие баланса объемов жидкости в резервуарах за промежуток времени dt запишется как
,
где S1 и S2 – площади поверхности жидкости в резервуарах;
dQ – расход жидкости в трубопроводе.
Знак «минус» указывает на понижение уровня жидкости в первом резервуаре.
Это уравнение можно представить в виде двух равенств
|
, |
(7.6) |
|
|
. |
(7.7) |
Действующий напор в каждый момент времени будет равен (рис. 7.10):
.
Продифференцировав это выражение, получим
.
Выразим dz1 из равенства (7.6):
.
Тогда
,
откуда
.
Подставим полученное выражение в уравнение (7.7):
.
Здесь введено обозначение – приведенная площадь поверхностей жидкости в резервуарах.
С другой стороны, расход жидкости, протекающей по трубопроводу, определяется формулой (6.13). Используя ее, для движения жидкости по трубопроводу при действующем текущем значении напора, равном h, можно записать
.
Сравнивая два последних равенства, получим
,
откуда
.
Интегрируя это соотношение в пределах времени от 0 до t и соответствующих этим моментам времени напоров H и h, получим
|
. |
(7.8) |
Интегрируя, мы считали коэффициент расхода μ постоянным.
Формула (7.8) позволяет определить время выравнивания уровней жидкости в резервуарах. Это время T наступает, когда текущий напор h становится равным нулю. Тогда
.
Рассмотрим несколько частных случаев.
Пусть наполнение второго резервуара происходит из подводящего канала, имеющего . В этом случае
,
и время наполнения резервуара
.
В случае опорожнения первого резервуара в канал с получим:
,
.
Получаем формулу, аналогичную формуле (7.5) для опорожнения резервуара при переменном напоре.
В случае если , то и
.
В действительности время открытия затвора на трубопроводе не равно нулю. Пусть время открытия затвора равно t0. Процесс расчета времени выравнивания уровней жидкости в резервуарах усложнится. Время выравнивания будет складываться из двух периодов:
Для первого периода, используя формулу (7.8), можно записать
.
Здесь h0 – напор, соответствующий моменту времени t0.
Поскольку определяется, как правило, эмпирическим путем, интеграл в левой части этого равенства вычисляется численно или одним из приближенных методов.
Для второго периода при постоянном значении μ будет справедлива формула
.
Таким образом, время полного выравнивания уровней жидкости в резервуарах
|
. |
(7.9) |
В практических расчетах время открытия затвора t0 обычно задается. Тогда из формулы (7.8) при известном начальном напоре H и времени t0 находится значение h0, и затем из уравнения (7.9) находится время выравнивания T.
PAGE 166