Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практичне заняття № 1
Первинна статистична оцінка результатів спостережень та перевірка гіпотез про нормальність закону розподілу виміряної величини
Мета заняття:статистична оцінка результатів спостережень та перевірка гіпотез про нормальність закону розподілу виміряної величини.
Завдання заняття: виконання розрахунків статистичних оцінок даних вимірювань та перевірка гіпотез про нормальність закону розподілу вимірюваної величини в середовищі ППП Excel та ППП MATLAB.
Тривалість 3 год.
Основні теоретичні положення
Спостереження - основа інженерної й наукової діяльності. Для опису їх доцільно роз межувати при спостереженнях два основних типи отримання інформації: 1) про поведінку ви значе ної сукупності великої кількості однорідних об'єктів; 2) про властивості цього визначе ного об'єкта протягом тривалого про міжку часу. У статистиці для опису будь-якої множини об'єк тів за стосовується поняття сукупнос ті. При цьому генеральною сукупністю називають множину об'єк тів, з яких проводиться відбір у процесі конкретизації спостере жень. Відібрані для спостере жень об'єкти є вибірковою сукупністю, або вибіркою, а число цих об'єктів називають її об'ємом.
Якщо спостереження здійснюють в ідентичних умовах на багатьох об'єктах , то можливий визначений закономірний результат. Результат кожного окремого спостереження нази вають варіантом, а послідовність варіантів, записану установленим способом (у по-рядку зро стан ня значень, у міру одержання інформації, у по ряд ку визначених якісних оцінок й ін.), - варіаційним рядом. Число однакових результатів при спостереженнях називають час то тою, а співвідношення цього числа до всього об'єму вибірки – відносною частотою. Якщо при ве ликій кількості спостережень відносна частота прагне до визначеного постійного значення, то цю властивість називають статистичною стійкістю, а число, до якого прагне відносна частота, є абстрактним вираженнм стійкості й зветься ймовірністю даного результату спостережуваної ве личи ни. Характеристики об'єктів спостереження, що приймають різні значення з певними ймовірностями, називають випадковими. Вив чення поводження випадкових величин є предметом статис тичного аналізу .
Таблиці спостережень дозволяють легко графічно подати експериментальний матеріал (рис. 1.1 і рис.1.2) у вигляді полігонів і гістограм частот, а також полігонів і гістограм відносних частот. Полігон, або частотний багатокутник, будують за допомогою лама них ліній, що з'єдну ють частоти й відносні частоти, приписані середнім для інтервалу значенням вихідної змінної.
Гістограма є східчастою фігурою, що складається із прямо кут ників з основами інтервалів зміни вихідної змінної й висотою, яка дорівнює відповідним частотам або відносним частотам.
На підставі таблиць спостережень будують полі гони й гі сто грами накопичених частот або відносних частот, які також міс тять корисну інформацію про результати спостережень (рис.1.3, рис.1.4). На підставі графічного подання результатів спостережень отримується первинну інформацію у вигляді опи со вих і чисельних ха рак теристик, які відображають характер кривих розподілу частот.
По графічному виду криві розподілу можна розділити на нормальні (дзвоноподібні, або унімодальні), бімодальні (дво вершинні), мультимодальні (багатовершинні), J-подібні, J-зво-ротні, U-подібні й ін. (рис. 1.5).
Таблиця 1. 1 – Спостереження величин k i c
|
Інтервал зміни вихідної змінної |
Середнє значен ня ви хід ної змінної в інтер валі |
Частота |
Накопичена частота |
|
Ymin…(Ymin+с) (Ymin+с)…(Ymin+2c) (Ymin+2с)…(Ymin+3c) . . [Ymin + (k-1) c]…Ymax |
. . |
n1 n2 n3 . . nk |
n1 n1 + n2 n1 + n2+ n3 n1 + n2+ …+ + nk |
|
Разом |
Рисунок 1. 1 - Гістограма частот
Рисунок 1. 2 - Полігон частот
Рисунок 1.3 - Гістограма накопичених частот
Рисунок 1. 4 - Полігон накопичених частот
а - нормальне; б - бімодальне; в - мультимодальне;
г - J-подібне; д - J-зворотне; е – U-подібне
Рисунок 1. 5 - Види кривих розподілу
Криві розподілу нормального типу можуть бути симетрич ними, з позитивною або негативною асиметрією (рис.1. 6).
а - симетричні; б, в - з позитивною й негативною симетрією
Рисунок 1.6 - Види кривих нормального розподілу
Крім того, залежно від форми вершини, криві нормального типу можуть бути нормально-, тупо- і гостровершинними (рис. 1.7).
а) б)
в)
Рисунок 1. 7 - Нормально- (а), тупо- (б) і гостро вершина - (в) криві розподілу
Кількісними характеристиками, що дають інформацію про природу розподілів, є так звані параметри розподілу. При унімодальних розподілах як характеристики центру викорис товуються три найбільше часто застосовуваних параметри:
мода - значення вихідної змінної Y, що відповідає вершині розподілу;
медіана - значення вихідної змінної Y, що ділить число об'єктів спостереження на дві рівні частини, тобто для зна чення Y маємо 50 % спостережень медіани й 50 % більше;
середнє арифметичне - значення вихідної змінної Y, розра хо ване за формулою:
(2.3)
Відзначимо, що для унімодального й симетричного розподілу , а при невеликій асиметрії :
.
Як інші параметри розподілу, які часто застосовують, доцільно виділити квартилі - три значення ви-хідної змінної, що ділять вибіркову сукупність на чотири час-тини, кожна з яких містить четверту частину об'єктів спостереження; YQ1, YQ3 - відповідно нижній й верхній квартилі (рис.1. 8).
За аналогією при розбивці сукупності на 10 й 100 рівних частин використають відповідно поняття декатилей і персен-тилей.
Важливою характеристикою унімодальних розподілів є розкид, або розсіювання, як міра цього - застосовують поняття розмаху R, стандартного (або середньо квадратичного) відхилення S, вибіркової дисперсії S2, коефіцієнта варіації δ ( %):
; (1.4)
; (1.5)
а) б)
Рисунок 1. 8 - Квартилі на кривій відносних частот (а) і на кривій накопичених відносних частот (б)
; (1.6)
(1.7)
Як параметри, що характеризують асиметрію (або скоше-ність) розподілу, використовують міру скошеності :
(1.8)
а для оцінки гостровершинності (або крутості) розподілу міру крутості, або ексцес,
(1.9)
Для симетричного розподілу , для позитивної асиме-трії > 0, для негативної – < 0. При гостровершинному розподілі маємо e>0, для нормального розподілу e = 0, для плосковершинної кривої розподілу e < 0.
Асиметрію унімодального розподілу можна оцінити й по методу Пірсона, що запропонував два коефіцієнти асиметрії:
; (2.10)
(2.11)
Ці коефіцієнти дорівнюють нулю для симетричного розпо ділу, позитивні або негативні залежно від того, позитивна або нега тивна асиметрія.
ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
При проведенні статистичного аналізу доводиться мати справу із проблемою оціню вання різного роду характеристик ви падкових величин і різних їх сукупностей. На під ставі результатів спостережень інженер або дослідник повинен ро-бити висновки про за ко ни розподілу і їх параметри, порів-нювати середні й дисперсії різних вибірок. При цьо му висува-ються різного роду статистичні гіпотези, які є по суті деякими припу щен ня ми, або їх заперечення.
Висунуту гіпотезу H0 називають основною (нульовою), а її альтернативу H1 – конку рую чою (альтернативною). При цьо-му розрізняють гіпотези прості, що містять тільки одну про-позицію (наприклад, H0 – випадкова величина X=5), і складні, які складаються з конечного або нескінченного числа простих (наприклад, припущення H0:X<10 складається з незліченної множини простих гіпотез H0 : X = ai, де ai – будь-яке число, менше 10).
Гіпотези бувають правильними й помилковими, тому в результаті статистичного ана лізу можуть бути прийняті по-милкові рішення, які будуть полягати в запереченні пра вильної гіпотези (помил0ки першого роду) або прийнятті помилкової гіпотези (помилки другого роду). При цьому варто мати на увазі, що наслідки цих помилок можуть бути іс тотно різними. Так, якщо гіпотеза стверджує: прихват колони труб, то помил-ка першого роду може привести до складної аварії через недбалість, а помилка другого роду - до матеріальних втрат внас-лідок зайвої обережності.
Для перевірки різного роду статистичних гіпотез вико-ристовують статистичні критерії K, якими називають випад-кову величину, призначену для перевірки нульової гіпотези. При цьому значенням критерію що спостерігається називають його значення, обчислене по вибірках. Після вибору статис-тичного критерію всю множину його значень розбивають на дві підмножини що не перетинаються, одна із яких містить зна чення критерію, що підтверджують нульову гіпотезу (об-ласть прийняття гіпотези), а інша - що відкидають основну гіпотезу (критична область). Керуючись викладеним, можна сформулювати основний принцип перевірки статистичних гіпотез у такий спосіб: якщо значення що спостерігається критерію належить критичній області, то гіпотезу відкидають, а якщо області прийняття гіпотези - її приймають.
У більшості практичних задач гіпотези перевіряють на підставі однобічних критеріїв, що диктується змістом задач.
В інженерній практиці доводиться розглядати випадкові події, що характеризуються як кількісно, так і якісно. Для перших (випадкові величини) у багатьох випадках можна використовувати нормальний закон розподілу ймовірностей, що описується за допомогою двох параметрів a і σ.
Статистичні гіпотези при використанні припущення про нормальність закону роз по ділу або близькості до останнього пе ревіряють за допомогою критеріїв, що одержали наз ву па раметричних. Для випадкових характеристик (кількісних і якісних, що не відповіда ють нормальному закону розподілу, використовують непараметричні критерії порівнян ня, які не вимагають припущень про характер розподілу результатів спостережень у генеральній су купності.
Слід зазначити, що параметричні критерії при меншій області застосовності мають теоретичну обґрунтованість, а непараметричні критерії мають більшу універсальність і прос то ту обчислень.
Для розподілів, близьких до нормальних, статистичні гі-по тези щодо середнього значення випадкової величини перевіряють на підставі критерію Стьюдента ( t-крите рію):
(1.4)
де – середнє значення випадкової величини у вибірці; σ – середня квадратична помил ка випадкової величини X.
Якщо задатися рівнем значимості α або ймовірністю від повідності отриманої вибір кової середньої значенню мате матичного очікування M(X) для генеральної сукупності, то ну льову гіпотезу H0 : = M(X) перевіряють за правилом:
< tтаб , (1.5)
де tтаб – табличне значення критерію Стьюдента, визнечене для значення рівня значимості α/2 і ймовірності P = 1 – α/2 і числі ступенів волі f = N – 1 при об'ємі вибірки N (додаток Г).
Це правило застосовують тому, що розподіл величини – M(X) вважається си мет ричним щодо нуля й використову єть ся двосторонній критерій. Введення поняття ступеня волі пов'язане з обмеженістю вибірки, а її значення f = N – 1 вказує на той факт, що ви бір ка була використана для визначення величини .
Наведена умова дозволяє оцінити довірчі границі отри-маного значення вибіркової середньої з умови:
М(Х) – tтаб = ≤ ≤ М(Х) + tтаб , (1.6)
яке дає інтервал значень вибіркової середньої. Якщо випад кова величина перебуває в зазначених границях, то вона є не відмінною від середньої. У протилежному випадку можна стверджувати відмінність випадкової величини від вибір ко-вого середнього значення.
Умова (1.6) часто використовують для відбору аномаль них точок у повторних дослідах відповідно до правила трьох сигм:
> 3 σх ,
для вибірок великого об'єму, а для вибірок малого об'єму
> tтаб σх ,
де tтаб – табличне значення t, обумовлене при заданому рівні значимості α і числі ступенів f = N – 1.
Як приклад використання наведених вище правил роз-глянемо результати спостережень за проходкою (м) на долото нового типу в 10 свердловинах з однаковими умовами бурін-ня: 10,0; 12,0; 16,0; 14,0; 13,0; 9,0; 12,0; 11,0; 10,0; 9,0:
Середнє значення для даної вибірки:
= (10+12+16+14+13+9+12+11+10+9) = 11,6 м,
а середнє квадратичне відхилення:
.
Необхідно перевірити гіпотезу H0 : = 13 м, що доз-волила б стверджувати тотожність проходки даної партії доліт з генеральним середнім значенням X*=13м для умов експери менту.
Відповідно до правила перевірки маємо:
Якщо задатися рівнем значимості α = 0,05, що відповідає ймовірності P = 0,975 при двосторонній області прийняття гіпоте зи, то для f = N – 1 = 9 табличне значення:
tтаб = 2,26 > t = 1,95.
Отже, гіпотеза H0 підтверджується, і відмінності серед-ньої проходки від генеральної середньої практично немає.
Довірчий інтервал отриманої вибіркової середньої мож-на записати в такий спосіб:
або
Серед наведених вибіркових значень величина 16,0 виг-лядає трохи завищеною відносно середнього значення. Пере-вірка на аномальність дає наступний результат:
16 – 11,6 = 4,4 < 2,26 · 2,27 = 5,1,
тобто зазначене значення не є аномальним.
Порядок виконання роботи
Обробка результатів роботи та їх аналіз
Оформлення та захист звіту
Запитання до самоконтролю